ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltp1le GIF version

Theorem zltp1le 9120
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 8755 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀))
21a1i 9 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀)))
3 znnsub 9117 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
4 zre 9070 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 9070 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1re 7777 . . . . 5 1 ∈ ℝ
7 leaddsub2 8213 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
86, 7mp3an2 1303 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
94, 5, 8syl2an 287 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
102, 3, 93imtr4d 202 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
114adantr 274 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ltp1d 8700 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13 peano2re 7910 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1411, 13syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
155adantl 275 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 ltletr 7865 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1216 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1812, 17mpand 425 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
1910, 18impbid 128 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7631  1c1 7633   + caddc 7635   < clt 7812  cle 7813  cmin 7945  cn 8732  cz 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067
This theorem is referenced by:  zleltp1  9121  zlem1lt  9122  zgt0ge1  9124  nnltp1le  9126  nn0ltp1le  9128  btwnnz  9157  uzind2  9175  fzind  9178  btwnapz  9193  eluzp1l  9362  eluz2b1  9407  zltaddlt1le  9801  fzsplit2  9842  m1modge3gt1  10156  seq3f1olemqsumkj  10283  seq3f1olemqsumk  10284  bcval5  10521  seq3coll  10597  cvgratnnlemseq  11307  nn0o1gt2  11613  divalglemnqt  11628  zsupcllemstep  11649  infssuzex  11653  isprm3  11810  dvdsnprmd  11817  prmgt1  11823  oddprmge3  11826  znege1  11867  hashdvds  11908
  Copyright terms: Public domain W3C validator