Theorem sincosq2sgn 15928

Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq2sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15893	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		pire 15887	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
3		rexr 8371	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
4		rexr 8371	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
5		elioo2 10323	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
7	1, 2, 6	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
8		resubcl 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 8	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
10		0xr 8372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11	1	rexri 8383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
12		elioo2 10323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2))))
13	10, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)))
14		sincosq1sgn 15927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
15	13, 14	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
16	9, 15	syl3an1 1311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
17	16	3expib 1237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
18		0re 8326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		ltsub13 8771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
20	18, 1, 19	mp3an13 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
21		recn 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	subid1d 8626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
23	22	breq2d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) < (𝐴 − 0) ↔ (π / 2) < 𝐴))
24	20, 23	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < 𝐴))
25		ltsubadd 8760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
26	1, 1, 25	mp3an23 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
27		pidiv2halves 15896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	27	breq2i 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < ((π / 2) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < π)
29	26, 28	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < π))
30	24, 29	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) ↔ ((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
31	9	resincld 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
32	31	lt0neg2d 8844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
33	32	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
34	17, 30, 33	3imtr3d 202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
35	1	recni 8338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
36		pncan3 8534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
37	35, 21, 36	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
38	37	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
39	9	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
40		coshalfpip 15923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
42	38, 41	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
43	42	breq1d 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
44	37	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
45		sinhalfpip 15921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
46	39, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
47	44, 46	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
48	47	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘𝐴) ↔ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
49	43, 48	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
50	34, 49	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴))))
51	50	3impib 1232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)))
52	51	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
53	7, 52	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179   + caddc 8182  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   − cmin 8497  -cneg 8498   / cdiv 9002  2c2 9355  (,)cioo 10290  sincsin 12411  cosccos 12412  πcpi 12414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-sin 12417  df-cos 12418  df-pi 12420  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

This theorem is used by:  sincosq3sgn  15929