Theorem sincosq2sgn 15147

Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq2sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15112	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		pire 15106	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
3		rexr 8089	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
4		rexr 8089	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
5		elioo2 10013	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
7	1, 2, 6	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
8		resubcl 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 8	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
10		0xr 8090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11	1	rexri 8101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
12		elioo2 10013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2))))
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)))
14		sincosq1sgn 15146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
15	13, 14	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
16	9, 15	syl3an1 1282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
17	16	3expib 1208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
18		0re 8043	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		ltsub13 8487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
20	18, 1, 19	mp3an13 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
21		recn 8029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	subid1d 8343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
23	22	breq2d 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) < (𝐴 − 0) ↔ (π / 2) < 𝐴))
24	20, 23	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < 𝐴))
25		ltsubadd 8476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
26	1, 1, 25	mp3an23 1340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
27		pidiv2halves 15115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	27	breq2i 4042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < ((π / 2) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < π)
29	26, 28	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < π))
30	24, 29	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) ↔ ((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
31	9	resincld 11905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
32	31	lt0neg2d 8560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
33	32	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
34	17, 30, 33	3imtr3d 202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
35	1	recni 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
36		pncan3 8251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
37	35, 21, 36	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
38	37	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
39	9	recnd 8072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
40		coshalfpip 15142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
42	38, 41	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
43	42	breq1d 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
44	37	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
45		sinhalfpip 15140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
46	39, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
47	44, 46	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
48	47	breq2d 4046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘𝐴) ↔ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
49	43, 48	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
50	34, 49	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴))))
51	50	3impib 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)))
52	51	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
53	7, 52	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896   + caddc 7899  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078   − cmin 8214  -cneg 8215   / cdiv 8716  2c2 9058  (,)cioo 9980  sincsin 11826  cosccos 11827  πcpi 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833  df-pi 11835  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  sincosq3sgn  15148