Theorem mplelsfi 15241

Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplelsfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelsfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplelsfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		mplrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelsfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplelbas 15236	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
8	7	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   finSupp cfsupp 7292  Basecbs 13410  0_gc0g 13669   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6929  df-ixp 6987  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-psr 15157  df-mpl 15159

This theorem is used by:  mplsubrglemcl  15249