Theorem mul02d 8719

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 8714	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   · cmul 8184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  mulneg1  8722  mulap0r  8944  mulap0  8983  un0mulcl  9599  mul2lt0rgt0  10163  mul2lt0np  10166  lincmb01cmp  10407  iccf1o  10409  bcval5  11203  hashxp  11269  remul2  11640  immul2  11647  fsumconst  12223  binomlem  12252  fprodeq0  12386  fprodeq0g  12407  efne0  12447  dvds0  12575  mulmoddvds  12632  mulgcd  12795  bezoutr1  12812  lcmgcd  12858  qnumgt0  12978  pcexp  13090  mulgnn0ass  13963  dvmptcmulcn  15824  dvef  15830  ply1termlem  15845  plyaddlem1  15850  plymullem1  15851  plycoeid3  15860  sin0pilem1  15885  sinhalfpip  15924  sinhalfpim  15925  coshalfpip  15926  coshalfpim  15927  lgsdir2  16164  lgsdir  16166  lgsdirnn0  16178  lgsdinn0  16179  lgsquad2lem2  16213