ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul02d GIF version

Theorem mul02d 8147
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mul01d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul02d (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 mul01d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul02 8142 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  cc 7611  0cc0 7613   · cmul 7618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928
This theorem is referenced by:  mulneg1  8150  mulap0r  8370  mulap0  8408  un0mulcl  9004  mul2lt0rgt0  9540  mul2lt0np  9543  lincmb01cmp  9779  iccf1o  9780  bcval5  10502  hashxp  10565  remul2  10638  immul2  10645  fsumconst  11216  binomlem  11245  efne0  11373  dvds0  11497  mulmoddvds  11550  mulgcd  11693  bezoutr1  11710  lcmgcd  11748  qnumgt0  11865  dvmptcmulcn  12841  dvef  12845  sin0pilem1  12851  sinhalfpip  12890  sinhalfpim  12891  coshalfpip  12892  coshalfpim  12893
  Copyright terms: Public domain W3C validator