Theorem mul02d 8374

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 8369	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5892  ℂcc 7834  0cc0 7836   · cmul 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-sub 8155

This theorem is referenced by:  mulneg1  8377  mulap0r  8597  mulap0  8636  un0mulcl  9235  mul2lt0rgt0  9785  mul2lt0np  9788  lincmb01cmp  10028  iccf1o  10029  bcval5  10770  hashxp  10833  remul2  10909  immul2  10916  fsumconst  11489  binomlem  11518  fprodeq0  11652  fprodeq0g  11673  efne0  11713  dvds0  11840  mulmoddvds  11896  mulgcd  12044  bezoutr1  12061  lcmgcd  12105  qnumgt0  12225  pcexp  12336  mulgnn0ass  13091  dvmptcmulcn  14620  dvef  14625  sin0pilem1  14639  sinhalfpip  14678  sinhalfpim  14679  coshalfpip  14680  coshalfpim  14681  lgsdir2  14872  lgsdir  14874  lgsdirnn0  14886  lgsdinn0  14887