Theorem nndivtr 9049

Description: Transitive property of divisibility: if 𝐴 divides 𝐵 and 𝐵 divides 𝐶, then 𝐴 divides 𝐶. Typically, 𝐶 would be an integer, although the theorem holds for complex 𝐶. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nndivtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nndivtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 9028	. . 3 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ)
2		nncn 9015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		nncn 9015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		nnap0 9036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
7	5, 6	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
8	7	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
9		nnap0 9036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 # 0)
10	2, 9	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	10	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12		divmul24ap 8760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
13	3, 4, 8, 11, 12	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
14	2, 9	dividapd 8830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
15	14	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
16	15	3ad2ant2 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
17		divclap 8722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
18	17	3expb 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
19	7, 18	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mulid2d 8062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
22	21	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
23	13, 16, 22	3eqtrd 2233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = (𝐶 / 𝐴))
24	23	eleq1d 2265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
25	1, 24	imbitrid 154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
26	25	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  permnn  10880  infpnlem1  12553