ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndivtr GIF version

Theorem nndivtr 8961
Description: Transitive property of divisibility: if ๐ด divides ๐ต and ๐ต divides ๐ถ, then ๐ด divides ๐ถ. Typically, ๐ถ would be an integer, although the theorem holds for complex ๐ถ. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
nndivtr (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem nndivtr
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 8940 . . 3 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„•)
2 nncn 8927 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
323ad2ant2 1019 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 simp3 999 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 nncn 8927 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 nnap0 8948 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด # 0)
75, 6jca 306 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0))
873ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0))
9 nnap0 8948 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต # 0)
102, 9jca 306 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))
11103ad2ant2 1019 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))
12 divmul24ap 8673 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)))
133, 4, 8, 11, 12syl22anc 1239 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)))
142, 9dividapd 8743 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
1514oveq1d 5890 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (1 ยท (๐ถ / ๐ด)))
16153ad2ant2 1019 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (1 ยท (๐ถ / ๐ด)))
17 divclap 8635 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
18173expb 1204 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
197, 18sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2019ancoms 268 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2120mulid2d 7976 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ด))
22213adant2 1016 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ด))
2313, 16, 223eqtrd 2214 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = (๐ถ / ๐ด))
2423eleq1d 2246 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•))
251, 24imbitrid 154 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•))
2625imp 124 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920
This theorem is referenced by:  permnn  10751  infpnlem1  12357
  Copyright terms: Public domain W3C validator