Theorem oawordi 6636

Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oawordi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oawordi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6611	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V)
3		simpl3 1028	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
4		simpl1 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
5		simpl2 1027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	rdgss 6548	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴) ⊆ (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
8	3, 4	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
9		oav 6621	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
11	3, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
12		oav 6621	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
14	7, 10, 13	3sstr4d 3272	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵))
15	14	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   ↦ cmpt 4150  Oncon0 4460  suc csuc 4462   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  reccrdg 6534   +_o coa 6578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585

This theorem is referenced by:  oaword1  6638