Theorem oawordi 6488

Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oawordi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oawordi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6463	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V)
3		simpl3 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
4		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
5		simpl2 1003	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	rdgss 6402	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴) ⊆ (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
8	3, 4	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
9		oav 6473	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
11	3, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
12		oav 6473	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
14	7, 10, 13	3sstr4d 3215	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵))
15	14	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144   ↦ cmpt 4079  Oncon0 4378  suc csuc 4380   Fn wfn 5226  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  reccrdg 6388   +_o coa 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439

This theorem is referenced by:  oaword1  6490