Theorem oawordi 6160

Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oawordi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem oawordi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥) Fn V)
3		simpl3 944	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
4		simpl1 942	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
5		simpl2 943	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		simpr 108	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	rdgss 6078	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴) ⊆ (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
8	3, 4	jca 300	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
9		oav 6145	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐶 +𝑜 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +𝑜 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐴))
11	3, 5	jca 300	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
12		oav 6145	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 +𝑜 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +𝑜 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐶)‘𝐵))
14	7, 10, 13	3sstr4d 3053	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵))
15	14	ex 113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  Vcvv 2612   ⊆ wss 2984   ↦ cmpt 3865  Oncon0 4153  suc csuc 4155   Fn wfn 4962  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589  reccrdg 6064   +_𝑜 coa 6108

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-oadd 6115

This theorem is referenced by:  oaword1  6162