Theorem sseldi 3100

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
sseldi.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sseldi	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sseldi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseldi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		sseli.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
3	2	sseli 3098	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  mptrcl  5511  riotacl  5752  riotasbc  5753  elmpocl  5976  ofrval  6000  f1od2  6140  mpoxopn0yelv  6144  tpostpos  6169  smores  6197  supubti  6894  suplubti  6895  prarloclemcalc  7334  rereceu  7721  recriota  7722  rexrd  7839  eqord1  8269  nnred  8757  nncnd  8758  un0addcl  9034  un0mulcl  9035  nnnn0d  9054  nn0red  9055  nn0xnn0d  9073  suprzclex  9173  nn0zd  9195  zred  9197  rpred  9513  ige2m1fz  9921  zmodfzp1  10152  seq3caopr2  10286  expcl2lemap  10336  m1expcl  10347  summodclem2a  11182  zsumdc  11185  clim2prod  11340  ntrivcvgap  11349  prodmodclem2a  11377  zproddc  11380  lcmn0cl  11785  ennnfonelemg  11952  lmrcl  12399  lmss  12454  upxp  12480  isxms2  12660  iooretopg  12736  tgqioo  12755  limccoap  12855  dvcl  12860  dvidlemap  12868  dvcnp2cntop  12871  isomninnlem  13400  trilpolemeq1  13408  trilpolemlt1  13409  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419