ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0d GIF version

Theorem nnnn0d 9161
Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnnn0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnnn0d (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnnn0d
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 9111 . 2 ℕ ⊆ ℕ0
2 nnnn0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
31, 2sselid 3138 1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2135  cn 8851  0cn0 9108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2726  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-n0 9109
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9169  nnzd  9306  eluzge2nn0  9501  modsumfzodifsn  10325  addmodlteq  10327  expnnval  10452  expgt1  10487  expaddzaplem  10492  expaddzap  10493  expmulzap  10495  expnbnd  10572  facwordi  10647  faclbnd  10648  facavg  10653  bcm1k  10667  bcval5  10670  1elfz0hash  10713  resqrexlemnm  10954  resqrexlemcvg  10955  summodc  11318  zsumdc  11319  bcxmas  11424  geo2sum  11449  geo2lim  11451  geoisum1  11454  geoisum1c  11455  cvgratnnlembern  11458  cvgratnnlemsumlt  11463  cvgratnnlemfm  11464  mertenslemi1  11470  prodmodclem3  11510  prodmodclem2a  11511  zproddc  11514  fprodseq  11518  eftabs  11591  efcllemp  11593  eftlub  11625  eirraplem  11711  dvdsfac  11792  divalglemnqt  11851  divalglemeunn  11852  gcdval  11886  gcdcl  11893  dvdsgcdidd  11921  mulgcd  11943  rplpwr  11954  rppwr  11955  lcmcl  11998  lcmgcdnn  12008  nprmdvds1  12066  isprm5lem  12067  rpexp  12079  pw2dvdslemn  12091  sqpweven  12101  2sqpwodd  12102  nn0sqrtelqelz  12132  phiprmpw  12148  crth  12150  eulerthlema  12156  eulerthlemth  12158  eulerth  12159  fermltl  12160  odzcllem  12168  odzdvds  12171  odzphi  12172  modprm0  12180  prm23lt5  12189  pythagtriplem6  12196  pythagtriplem7  12197  pcprmpw2  12258  dvdsprmpweqle  12262  pcprod  12270  pcfac  12274  pcbc  12275  expnprm  12277  pockthlem  12280  pockthg  12281  prmunb  12286  mul4sqlem  12317  logbgcd1irraplemexp  13484  cvgcmp2nlemabs  13804  trilpolemlt1  13813  redcwlpolemeq1  13826  nconstwlpolem0  13834
  Copyright terms: Public domain W3C validator