Theorem nnnn0d 9023

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnnn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 8973	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		nnnn0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sseldi 3090	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ℕcn 8713  ℕ₀cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9031  nnzd  9165  eluzge2nn0  9358  modsumfzodifsn  10162  addmodlteq  10164  expnnval  10289  expgt1  10324  expaddzaplem  10329  expaddzap  10330  expmulzap  10332  expnbnd  10408  facwordi  10479  faclbnd  10480  facavg  10485  bcm1k  10499  bcval5  10502  1elfz0hash  10545  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  summodc  11145  zsumdc  11146  bcxmas  11251  geo2sum  11276  geo2lim  11278  geoisum1  11281  geoisum1c  11282  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemsumlt  11290  cvgratnnlemfm  11291  mertenslemi1  11297  eftabs  11351  efcllemp  11353  eftlub  11385  eirraplem  11472  dvdsfac  11547  divalglemnqt  11606  divalglemeunn  11607  gcdval  11637  gcdcl  11644  dvdsgcdidd  11671  mulgcd  11693  rplpwr  11704  rppwr  11705  lcmcl  11742  lcmgcdnn  11752  nprmdvds1  11809  rpexp  11820  pw2dvdslemn  11832  sqpweven  11842  2sqpwodd  11843  nn0sqrtelqelz  11873  phiprmpw  11887  crth  11889  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemlt1  13223