Theorem nn0zd 9590

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9487	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3223	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  nnzd  9591  eluzmn  9752  xnn0dcle  10027  xnn0letri  10028  fseq1p1m1  10319  difelfznle  10360  flltdivnn0lt  10554  zmodfz  10598  addmodid  10624  modaddmodup  10639  modaddmodlo  10640  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  expnegzap  10825  expaddzaplem  10834  expaddzap  10835  expmulzap  10837  nn0ltexp2  10961  nn0opthd  10974  facdiv  10990  facwordi  10992  faclbnd  10993  facavg  10998  bcval  11001  bcval5  11015  bcpasc  11018  hashfiv01gt1  11034  isfinite4im  11044  fihashneq0  11046  fseq1hash  11054  fnfz0hash  11086  ffzo0hash  11088  zfz1isolemiso  11093  wrdfin  11122  wrdffz  11124  wrdsymb0  11136  wrdlenge1n0  11137  lswwrd  11150  ccatfvalfi  11159  ccatcl  11160  ccatlen  11162  ccatval2  11165  ccatval3  11166  ccatvalfn  11168  ccatsymb  11169  ccatval21sw  11172  ccatass  11175  ccatrn  11176  lswccatn0lsw  11178  ccatalpha  11180  ccats1val2  11207  ccat1st1st  11208  fzowrddc  11218  swrdnd  11230  swrdspsleq  11238  swrdccat2  11242  pfxval  11245  pfxwrdsymbg  11261  pfxtrcfv0  11265  pfxtrcfvl  11268  ccatpfx  11272  pfxccat1  11273  lenrevpfxcctswrd  11283  wrdind  11293  wrd2ind  11294  swrdccatin1  11296  swrdccatin2  11300  pfxccatin12  11304  swrdccat  11306  pfxccatpfx2  11308  pfxccat3a  11309  swrdccat3blem  11310  swrdccat3b  11311  resqrexlemga  11574  zabscl  11637  fsum0diaglem  11991  modfsummodlemstep  12008  binomlem  12034  binom1p  12036  binom1dif  12038  arisum2  12050  geosergap  12057  geoserap  12058  pwm1geoserap1  12059  geolim2  12063  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  efcvgfsum  12218  efaddlem  12225  dvdsdc  12349  divalglemnn  12469  divalgmod  12478  bitsfzolem  12505  bitsfzo  12506  bitsmod  12507  bitsfi  12508  bitsinv1lem  12512  bitsinv1  12513  zeqzmulgcd  12531  gcd0id  12540  gcdneg  12543  gcdaddm  12545  modgcd  12552  gcdmultipled  12554  bezoutlemnewy  12557  bezoutlemstep  12558  bezoutlemmain  12559  bezoutlemzz  12563  bezoutlemmo  12567  bezoutlemle  12569  bezoutlemsup  12570  dfgcd3  12571  dvdsgcdb  12574  gcdass  12576  mulgcd  12577  gcdzeq  12583  dvdsmulgcd  12586  bezoutr  12593  bezoutr1  12594  nn0seqcvgd  12603  algfx  12614  eucalgval2  12615  eucalginv  12618  eucalglt  12619  eucalg  12621  gcddvdslcm  12635  lcmneg  12636  lcmgcdlem  12639  lcmdvds  12641  lcmgcdeq  12645  lcmdvdsb  12646  lcmass  12647  mulgcddvds  12656  rpmulgcd2  12657  qredeu  12659  divgcdcoprm0  12663  divgcdcoprmex  12664  cncongr1  12665  cncongr2  12666  sqnprm  12698  rpexp  12715  sqpweven  12737  2sqpwodd  12738  divnumden  12758  phivalfi  12774  phicl2  12776  phiprmpw  12784  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlemfi  12790  eulerthlema  12792  hashgcdeq  12802  phisum  12803  odzdvds  12808  powm2modprm  12815  coprimeprodsq  12820  pcprendvds  12853  pcpremul  12856  pceu  12858  pcdiv  12865  pcqcl  12869  pcdvdsb  12883  pc2dvds  12893  pcprmpw2  12896  dvdsprmpweqle  12900  pcadd  12903  fldivp1  12911  pcfaclem  12912  pcfac  12913  pcbc  12914  pockthlem  12919  1arith  12930  mul4sqlem  12956  4sqlemafi  12958  4sqlemffi  12959  4sqleminfi  12960  4sqexercise1  12961  4sqlemsdc  12963  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  4sqlem14  12967  ennnfoneleminc  13022  ennnfonelemrnh  13027  ennnfonelemim  13035  znunit  14663  psrbaglesuppg  14676  psrbagfi  14677  psr1clfi  14692  elply2  15449  plyf  15451  elplyd  15455  ply1termlem  15456  ply1term  15457  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plyaddlem  15463  plycoeid3  15471  plycolemc  15472  plycjlemc  15474  plycn  15476  plyrecj  15477  dvply1  15479  dvply2g  15480  wilthlem1  15694  sgmppw  15706  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsfcl2  15725  lgsval2lem  15729  lgsmod  15745  lgsdir2  15752  lgsne0  15757  lgsprme0  15761  gausslemma2dlem0h  15775  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem2  15781  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  m1lgs  15804  2lgslem1a  15807  2lgslem3a  15812  2lgslem3b  15813  2lgslem3c  15814  2lgslem3d  15815  2lgslem3d1  15819  2lgs  15823  2lgsoddprmlem2  15825  2lgsoddprm  15832  2sqlem8  15842  wksfval  16119  wlkex  16122  iswlkg  16126  clwwlkccatlem  16195  umgrclwwlkge2  16197  clwwlknonex2lem2  16233  eupthfi  16246  nninffeq  16558