Theorem nn0zd 9373

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9271	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3154	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  nnzd  9374  xnn0dcle  9802  xnn0letri  9803  fseq1p1m1  10094  difelfznle  10135  flltdivnn0lt  10304  zmodfz  10346  addmodid  10372  modaddmodup  10387  modaddmodlo  10388  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  expnegzap  10554  expaddzaplem  10563  expaddzap  10564  expmulzap  10566  nn0ltexp2  10689  nn0opthd  10702  facdiv  10718  facwordi  10720  faclbnd  10721  facavg  10726  bcval  10729  bcval5  10743  bcpasc  10746  hashfiv01gt1  10762  isfinite4im  10772  fihashneq0  10774  fseq1hash  10781  fnfz0hash  10812  ffzo0hash  10814  zfz1isolemiso  10819  resqrexlemga  11032  zabscl  11095  fsum0diaglem  11448  modfsummodlemstep  11465  binomlem  11491  binom1p  11493  binom1dif  11495  arisum2  11507  geosergap  11514  geoserap  11515  pwm1geoserap1  11516  geolim2  11520  cvgratnnlemrate  11538  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  efcvgfsum  11675  efaddlem  11682  dvdsdc  11805  divalglemnn  11923  divalgmod  11932  zeqzmulgcd  11971  gcd0id  11980  gcdneg  11983  gcdaddm  11985  modgcd  11992  gcdmultipled  11994  bezoutlemnewy  11997  bezoutlemstep  11998  bezoutlemmain  11999  bezoutlemzz  12003  bezoutlemmo  12007  bezoutlemle  12009  bezoutlemsup  12010  dfgcd3  12011  dvdsgcdb  12014  gcdass  12016  mulgcd  12017  gcdzeq  12023  dvdsmulgcd  12026  bezoutr  12033  bezoutr1  12034  nn0seqcvgd  12041  algfx  12052  eucalgval2  12053  eucalginv  12056  eucalglt  12057  eucalg  12059  gcddvdslcm  12073  lcmneg  12074  lcmgcdlem  12077  lcmdvds  12079  lcmgcdeq  12083  lcmdvdsb  12084  lcmass  12085  mulgcddvds  12094  rpmulgcd2  12095  qredeu  12097  divgcdcoprm0  12101  divgcdcoprmex  12102  cncongr1  12103  cncongr2  12104  sqnprm  12136  rpexp  12153  sqpweven  12175  2sqpwodd  12176  divnumden  12196  phivalfi  12212  phicl2  12214  phiprmpw  12222  crth  12224  phimullem  12225  eulerthlemfi  12228  eulerthlema  12230  hashgcdeq  12239  phisum  12240  odzdvds  12245  powm2modprm  12252  coprimeprodsq  12257  pcprendvds  12290  pcpremul  12293  pceu  12295  pcdiv  12302  pcqcl  12306  pcdvdsb  12319  pc2dvds  12329  pcprmpw2  12332  dvdsprmpweqle  12336  pcadd  12339  fldivp1  12346  pcfaclem  12347  pcfac  12348  pcbc  12349  pockthlem  12354  1arith  12365  mul4sqlem  12391  ennnfoneleminc  12412  ennnfonelemrnh  12417  ennnfonelemim  12425  lgsval  14408  lgsfvalg  14409  lgsfcl2  14410  lgsval2lem  14414  lgsmod  14430  lgsdir2  14437  lgsne0  14442  lgsprme0  14446  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  m1lgs  14455  2lgsoddprmlem2  14457  2sqlem8  14473  nninffeq  14772