Theorem nn0zd 9302

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9200	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3135	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183

This theorem is referenced by:  nnzd  9303  xnn0dcle  9729  xnn0letri  9730  fseq1p1m1  10019  difelfznle  10060  flltdivnn0lt  10229  zmodfz  10271  addmodid  10297  modaddmodup  10312  modaddmodlo  10313  modsumfzodifsn  10321  addmodlteq  10323  expnegzap  10479  expaddzaplem  10488  expaddzap  10489  expmulzap  10491  nn0ltexp2  10612  nn0opthd  10624  facdiv  10640  facwordi  10642  faclbnd  10643  facavg  10648  bcval  10651  bcval5  10665  bcpasc  10668  hashfiv01gt1  10684  isfinite4im  10695  fihashneq0  10697  fseq1hash  10703  fnfz0hash  10731  ffzo0hash  10733  zfz1isolemiso  10738  resqrexlemga  10951  zabscl  11014  fsum0diaglem  11367  modfsummodlemstep  11384  binomlem  11410  binom1p  11412  binom1dif  11414  arisum2  11426  geosergap  11433  geoserap  11434  pwm1geoserap1  11435  geolim2  11439  cvgratnnlemrate  11457  mertenslemi1  11462  mertenslem2  11463  mertensabs  11464  efcvgfsum  11594  efaddlem  11601  dvdsdc  11724  divalglemnn  11840  divalgmod  11849  zeqzmulgcd  11888  gcd0id  11897  gcdneg  11900  gcdaddm  11902  modgcd  11909  gcdmultipled  11911  bezoutlemnewy  11914  bezoutlemstep  11915  bezoutlemmain  11916  bezoutlemzz  11920  bezoutlemmo  11924  bezoutlemle  11926  bezoutlemsup  11927  dfgcd3  11928  dvdsgcdb  11931  gcdass  11933  mulgcd  11934  gcdzeq  11940  dvdsmulgcd  11943  bezoutr  11950  bezoutr1  11951  nn0seqcvgd  11952  algfx  11963  eucalgval2  11964  eucalginv  11967  eucalglt  11968  eucalg  11970  gcddvdslcm  11984  lcmneg  11985  lcmgcdlem  11988  lcmdvds  11990  lcmgcdeq  11994  lcmdvdsb  11995  lcmass  11996  mulgcddvds  12005  rpmulgcd2  12006  qredeu  12008  divgcdcoprm0  12012  divgcdcoprmex  12013  cncongr1  12014  cncongr2  12015  sqnprm  12047  rpexp  12062  sqpweven  12084  2sqpwodd  12085  divnumden  12105  phivalfi  12121  phicl2  12123  phiprmpw  12131  crth  12133  phimullem  12134  eulerthlemfi  12137  eulerthlema  12139  hashgcdeq  12148  phisum  12149  odzdvds  12154  powm2modprm  12161  coprimeprodsq  12166  pcprendvds  12199  pcpremul  12202  pceu  12204  pcdiv  12211  pcqcl  12215  pcdvdsb  12228  pc2dvds  12238  pcprmpw2  12241  dvdsprmpweqle  12245  pcadd  12248  fldivp1  12255  pcfaclem  12256  pcfac  12257  pcbc  12258  ennnfoneleminc  12281  ennnfonelemrnh  12286  ennnfonelemim  12294  nninffeq  13734