Theorem nn0zd 9698

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9595	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  nnzd  9699  eluzmn  9860  xnn0dcle  10135  xnn0letri  10136  fseq1p1m1  10428  difelfznle  10469  flltdivnn0lt  10664  zmodfz  10708  addmodid  10734  modaddmodup  10749  modaddmodlo  10750  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  expnegzap  10935  expaddzaplem  10944  expaddzap  10945  expmulzap  10947  nn0ltexp2  11071  nn0opthd  11084  facdiv  11100  facwordi  11102  faclbnd  11103  facavg  11108  bcval  11111  bcval5  11125  bcpasc  11128  hashfiv01gt1  11145  isfinite4im  11155  fihashneq0  11157  fseq1hash  11165  fnfz0hash  11199  ffzo0hash  11201  sseqn  11203  hashfibclem  11206  zfz1isolemiso  11211  wrdfin  11243  wrdffz  11245  wrdsymb0  11257  wrdlenge1n0  11258  lswwrd  11271  ccatfvalfi  11280  ccatcl  11281  ccatlen  11283  ccatval2  11286  ccatval3  11287  ccatvalfn  11289  ccatsymb  11290  ccatval21sw  11293  ccatass  11296  ccatrn  11297  lswccatn0lsw  11299  ccatalpha  11301  ccats1val2  11328  ccat1st1st  11329  fzowrddc  11339  swrdnd  11351  swrdspsleq  11359  swrdccat2  11363  pfxval  11366  pfxwrdsymbg  11382  pfxtrcfv0  11386  pfxtrcfvl  11389  ccatpfx  11393  pfxccat1  11394  lenrevpfxcctswrd  11404  wrdind  11414  wrd2ind  11415  swrdccatin1  11417  swrdccatin2  11421  pfxccatin12  11425  swrdccat  11427  pfxccatpfx2  11429  pfxccat3a  11430  swrdccat3blem  11431  swrdccat3b  11432  resqrexlemga  11708  zabscl  11771  fsum0diaglem  12126  modfsummodlemstep  12143  binomlem  12169  binom1p  12171  binom1dif  12173  arisum2  12185  geosergap  12192  geoserap  12193  pwm1geoserap1  12194  geolim2  12198  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  efcvgfsum  12353  efaddlem  12360  dvdsdc  12484  divalglemnn  12604  divalgmod  12613  bitsfzolem  12640  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  bitsfi  12643  bitsinv1lem  12647  bitsinv1  12648  zeqzmulgcd  12666  gcd0id  12675  gcdneg  12678  gcdaddm  12680  modgcd  12687  gcdmultipled  12689  bezoutlemnewy  12692  bezoutlemstep  12693  bezoutlemmain  12694  bezoutlemzz  12698  bezoutlemmo  12702  bezoutlemle  12704  bezoutlemsup  12705  dfgcd3  12706  dvdsgcdb  12709  gcdass  12711  mulgcd  12712  gcdzeq  12718  dvdsmulgcd  12721  bezoutr  12728  bezoutr1  12729  nn0seqcvgd  12738  algfx  12749  eucalgval2  12750  eucalginv  12753  eucalglt  12754  eucalg  12756  gcddvdslcm  12770  lcmneg  12771  lcmgcdlem  12774  lcmdvds  12776  lcmgcdeq  12780  lcmdvdsb  12781  lcmass  12782  mulgcddvds  12791  rpmulgcd2  12792  qredeu  12794  divgcdcoprm0  12798  divgcdcoprmex  12799  cncongr1  12800  cncongr2  12801  sqnprm  12833  rpexp  12850  sqpweven  12872  2sqpwodd  12873  divnumden  12893  phivalfi  12909  phicl2  12911  phiprmpw  12919  crth  12921  phimullem  12922  eulerthlemfi  12925  eulerthlema  12927  hashgcdeq  12937  phisum  12938  odzdvds  12943  powm2modprm  12950  coprimeprodsq  12955  pcprendvds  12988  pcpremul  12991  pceu  12993  pcdiv  13000  pcqcl  13004  pcdvdsb  13018  pc2dvds  13028  pcprmpw2  13031  dvdsprmpweqle  13035  pcadd  13038  fldivp1  13046  pcfaclem  13047  pcfac  13048  pcbc  13049  pockthlem  13054  1arith  13065  mul4sqlem  13091  4sqlemafi  13093  4sqlemffi  13094  4sqleminfi  13095  4sqexercise1  13096  4sqlemsdc  13098  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  4sqlem14  13102  ballotfilemofi  13138  ennnfoneleminc  13162  ennnfonelemrnh  13167  ennnfonelemim  13175  znunit  14807  psrbaglesuppg  14821  psrbagfi  14823  psrbaglecl  14824  psrbagcon  14826  psrbagconf1o  14828  psr1clfi  14843  elply2  15600  plyf  15602  elplyd  15606  ply1termlem  15607  ply1term  15608  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plyaddlem  15614  plycoeid3  15622  plycolemc  15623  plycjlemc  15625  plycn  15627  plyrecj  15628  dvply1  15630  dvply2g  15631  wilthlem1  15848  sgmppw  15860  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  lgsfcl2  15879  lgsval2lem  15883  lgsmod  15899  lgsdir2  15906  lgsne0  15911  lgsprme0  15915  gausslemma2dlem0h  15929  gausslemma2dlem0i  15930  gausslemma2dlem2  15935  gausslemma2dlem6  15940  gausslemma2d  15942  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem3  15945  lgseisenlem4  15946  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  m1lgs  15958  2lgslem1a  15961  2lgslem3a  15966  2lgslem3b  15967  2lgslem3c  15968  2lgslem3d  15969  2lgslem3d1  15973  2lgs  15977  2lgsoddprmlem2  15979  2lgsoddprm  15986  2sqlem8  15996  vdegp1bid  16310  wksfval  16317  wlkex  16320  iswlkg  16324  clwwlkccatlem  16395  umgrclwwlkge2  16397  clwwlknonex2lem2  16433  eupthfi  16446  eupth2lem3lem3fi  16465  eupth2lem3lem4fi  16468  eupth2lem3fi  16471  eupth2lemsfi  16473  konigsberglem5  16487  nninffeq  16798  gfsumval  16862  gsumgfsum1  16863