ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0zd GIF version

Theorem nn0zd 9190
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0zd (𝜑𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 9091 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
31, 2sseldi 3095 1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  0cn0 8996  cz 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074
This theorem is referenced by:  nnzd  9191  fseq1p1m1  9898  difelfznle  9936  flltdivnn0lt  10101  zmodfz  10143  addmodid  10169  modaddmodup  10184  modaddmodlo  10185  modsumfzodifsn  10193  addmodlteq  10195  expnegzap  10351  expaddzaplem  10360  expaddzap  10361  expmulzap  10363  nn0opthd  10492  facdiv  10508  facwordi  10510  faclbnd  10511  facavg  10516  bcval  10519  bcval5  10533  bcpasc  10536  hashfiv01gt1  10552  isfinite4im  10563  fihashneq0  10565  fseq1hash  10571  fnfz0hash  10599  ffzo0hash  10601  zfz1isolemiso  10606  resqrexlemga  10819  zabscl  10882  fsum0diaglem  11233  modfsummodlemstep  11250  binomlem  11276  binom1p  11278  binom1dif  11280  arisum2  11292  geosergap  11299  geoserap  11300  pwm1geoserap1  11301  geolim2  11305  cvgratnnlemrate  11323  mertenslemi1  11328  mertenslem2  11329  mertensabs  11330  efcvgfsum  11397  efaddlem  11404  dvdsdc  11524  divalglemnn  11638  divalgmod  11647  zeqzmulgcd  11682  gcd0id  11690  gcdneg  11693  gcdaddm  11695  modgcd  11702  gcdmultipled  11704  bezoutlemnewy  11707  bezoutlemstep  11708  bezoutlemmain  11709  bezoutlemzz  11713  bezoutlemmo  11717  bezoutlemle  11719  bezoutlemsup  11720  dfgcd3  11721  dvdsgcdb  11724  gcdass  11726  mulgcd  11727  gcdzeq  11733  dvdsmulgcd  11736  bezoutr  11743  bezoutr1  11744  nn0seqcvgd  11745  algfx  11756  eucalgval2  11757  eucalginv  11760  eucalglt  11761  eucalg  11763  gcddvdslcm  11777  lcmneg  11778  lcmgcdlem  11781  lcmdvds  11783  lcmgcdeq  11787  lcmdvdsb  11788  lcmass  11789  mulgcddvds  11798  rpmulgcd2  11799  qredeu  11801  divgcdcoprm0  11805  divgcdcoprmex  11806  cncongr1  11807  cncongr2  11808  sqnprm  11839  rpexp  11854  sqpweven  11876  2sqpwodd  11877  divnumden  11897  phivalfi  11911  phicl2  11913  phiprmpw  11921  crth  11923  phimullem  11924  hashgcdeq  11927  ennnfoneleminc  11947  ennnfonelemrnh  11952  ennnfonelemim  11960  nninffeq  13364
  Copyright terms: Public domain W3C validator