Theorem nn0zd 9332

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9230	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  nnzd  9333  xnn0dcle  9759  xnn0letri  9760  fseq1p1m1  10050  difelfznle  10091  flltdivnn0lt  10260  zmodfz  10302  addmodid  10328  modaddmodup  10343  modaddmodlo  10344  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  expnegzap  10510  expaddzaplem  10519  expaddzap  10520  expmulzap  10522  nn0ltexp2  10644  nn0opthd  10656  facdiv  10672  facwordi  10674  faclbnd  10675  facavg  10680  bcval  10683  bcval5  10697  bcpasc  10700  hashfiv01gt1  10716  isfinite4im  10727  fihashneq0  10729  fseq1hash  10736  fnfz0hash  10767  ffzo0hash  10769  zfz1isolemiso  10774  resqrexlemga  10987  zabscl  11050  fsum0diaglem  11403  modfsummodlemstep  11420  binomlem  11446  binom1p  11448  binom1dif  11450  arisum2  11462  geosergap  11469  geoserap  11470  pwm1geoserap1  11471  geolim2  11475  cvgratnnlemrate  11493  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  mertensabs  11500  efcvgfsum  11630  efaddlem  11637  dvdsdc  11760  divalglemnn  11877  divalgmod  11886  zeqzmulgcd  11925  gcd0id  11934  gcdneg  11937  gcdaddm  11939  modgcd  11946  gcdmultipled  11948  bezoutlemnewy  11951  bezoutlemstep  11952  bezoutlemmain  11953  bezoutlemzz  11957  bezoutlemmo  11961  bezoutlemle  11963  bezoutlemsup  11964  dfgcd3  11965  dvdsgcdb  11968  gcdass  11970  mulgcd  11971  gcdzeq  11977  dvdsmulgcd  11980  bezoutr  11987  bezoutr1  11988  nn0seqcvgd  11995  algfx  12006  eucalgval2  12007  eucalginv  12010  eucalglt  12011  eucalg  12013  gcddvdslcm  12027  lcmneg  12028  lcmgcdlem  12031  lcmdvds  12033  lcmgcdeq  12037  lcmdvdsb  12038  lcmass  12039  mulgcddvds  12048  rpmulgcd2  12049  qredeu  12051  divgcdcoprm0  12055  divgcdcoprmex  12056  cncongr1  12057  cncongr2  12058  sqnprm  12090  rpexp  12107  sqpweven  12129  2sqpwodd  12130  divnumden  12150  phivalfi  12166  phicl2  12168  phiprmpw  12176  crth  12178  phimullem  12179  eulerthlemfi  12182  eulerthlema  12184  hashgcdeq  12193  phisum  12194  odzdvds  12199  powm2modprm  12206  coprimeprodsq  12211  pcprendvds  12244  pcpremul  12247  pceu  12249  pcdiv  12256  pcqcl  12260  pcdvdsb  12273  pc2dvds  12283  pcprmpw2  12286  dvdsprmpweqle  12290  pcadd  12293  fldivp1  12300  pcfaclem  12301  pcfac  12302  pcbc  12303  pockthlem  12308  1arith  12319  mul4sqlem  12345  ennnfoneleminc  12366  ennnfonelemrnh  12371  ennnfonelemim  12379  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsfcl2  13701  lgsval2lem  13705  lgsmod  13721  lgsdir2  13728  lgsne0  13733  lgsprme0  13737  2sqlem8  13753  nninffeq  14053