Theorem nn0zd 9492

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9389	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3190	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372

This theorem is referenced by:  nnzd  9493  xnn0dcle  9923  xnn0letri  9924  fseq1p1m1  10215  difelfznle  10256  flltdivnn0lt  10445  zmodfz  10489  addmodid  10515  modaddmodup  10530  modaddmodlo  10531  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  expnegzap  10716  expaddzaplem  10725  expaddzap  10726  expmulzap  10728  nn0ltexp2  10852  nn0opthd  10865  facdiv  10881  facwordi  10883  faclbnd  10884  facavg  10889  bcval  10892  bcval5  10906  bcpasc  10909  hashfiv01gt1  10925  isfinite4im  10935  fihashneq0  10937  fseq1hash  10944  fnfz0hash  10975  ffzo0hash  10977  zfz1isolemiso  10982  wrdfin  11011  wrdffz  11013  wrdsymb0  11024  wrdlenge1n0  11025  lswwrd  11038  ccatfvalfi  11046  ccatcl  11047  ccatlen  11049  ccatval2  11052  ccatval3  11053  ccatvalfn  11055  ccatsymb  11056  ccatval21sw  11059  ccatass  11062  ccatrn  11063  lswccatn0lsw  11065  resqrexlemga  11276  zabscl  11339  fsum0diaglem  11693  modfsummodlemstep  11710  binomlem  11736  binom1p  11738  binom1dif  11740  arisum2  11752  geosergap  11759  geoserap  11760  pwm1geoserap1  11761  geolim2  11765  cvgratnnlemrate  11783  mertenslemi1  11788  mertenslem2  11789  mertensabs  11790  efcvgfsum  11920  efaddlem  11927  dvdsdc  12051  divalglemnn  12171  divalgmod  12180  bitsfzolem  12207  bitsfzo  12208  bitsmod  12209  bitsfi  12210  bitsinv1lem  12214  bitsinv1  12215  zeqzmulgcd  12233  gcd0id  12242  gcdneg  12245  gcdaddm  12247  modgcd  12254  gcdmultipled  12256  bezoutlemnewy  12259  bezoutlemstep  12260  bezoutlemmain  12261  bezoutlemzz  12265  bezoutlemmo  12269  bezoutlemle  12271  bezoutlemsup  12272  dfgcd3  12273  dvdsgcdb  12276  gcdass  12278  mulgcd  12279  gcdzeq  12285  dvdsmulgcd  12288  bezoutr  12295  bezoutr1  12296  nn0seqcvgd  12305  algfx  12316  eucalgval2  12317  eucalginv  12320  eucalglt  12321  eucalg  12323  gcddvdslcm  12337  lcmneg  12338  lcmgcdlem  12341  lcmdvds  12343  lcmgcdeq  12347  lcmdvdsb  12348  lcmass  12349  mulgcddvds  12358  rpmulgcd2  12359  qredeu  12361  divgcdcoprm0  12365  divgcdcoprmex  12366  cncongr1  12367  cncongr2  12368  sqnprm  12400  rpexp  12417  sqpweven  12439  2sqpwodd  12440  divnumden  12460  phivalfi  12476  phicl2  12478  phiprmpw  12486  crth  12488  phimullem  12489  eulerthlemfi  12492  eulerthlema  12494  hashgcdeq  12504  phisum  12505  odzdvds  12510  powm2modprm  12517  coprimeprodsq  12522  pcprendvds  12555  pcpremul  12558  pceu  12560  pcdiv  12567  pcqcl  12571  pcdvdsb  12585  pc2dvds  12595  pcprmpw2  12598  dvdsprmpweqle  12602  pcadd  12605  fldivp1  12613  pcfaclem  12614  pcfac  12615  pcbc  12616  pockthlem  12621  1arith  12632  mul4sqlem  12658  4sqlemafi  12660  4sqlemffi  12661  4sqleminfi  12662  4sqexercise1  12663  4sqlemsdc  12665  4sqlem11  12666  4sqlem12  12667  4sqlem14  12669  ennnfoneleminc  12724  ennnfonelemrnh  12729  ennnfonelemim  12737  znunit  14363  psrbaglesuppg  14376  psrbagfi  14377  psr1clfi  14392  elply2  15149  plyf  15151  elplyd  15155  ply1termlem  15156  ply1term  15157  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plyaddlem  15163  plycoeid3  15171  plycolemc  15172  plycjlemc  15174  plycn  15176  plyrecj  15177  dvply1  15179  dvply2g  15180  wilthlem1  15394  sgmppw  15406  lgsval  15423  lgsfvalg  15424  lgsfcl2  15425  lgsval2lem  15429  lgsmod  15445  lgsdir2  15452  lgsne0  15457  lgsprme0  15461  gausslemma2dlem0h  15475  gausslemma2dlem0i  15476  gausslemma2dlem2  15481  gausslemma2dlem6  15486  gausslemma2d  15488  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem3  15491  lgseisenlem4  15492  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem2  15497  m1lgs  15504  2lgslem1a  15507  2lgslem3a  15512  2lgslem3b  15513  2lgslem3c  15514  2lgslem3d  15515  2lgslem3d1  15519  2lgs  15523  2lgsoddprmlem2  15525  2lgsoddprm  15532  2sqlem8  15542  nninffeq  15890