Theorem nn0zd 9716

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9612	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3240	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  nnzd  9717  eluzmn  9878  xnn0dcle  10154  xnn0letri  10155  fseq1p1m1  10450  difelfznle  10491  flltdivnn0lt  10688  zmodfz  10732  addmodid  10758  modaddmodup  10773  modaddmodlo  10774  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  expnegzap  10959  expaddzaplem  10968  expaddzap  10969  expmulzap  10971  nn0ltexp2  11096  nn0opthd  11109  facdiv  11125  facwordi  11127  faclbnd  11128  facavg  11133  bcval  11136  bcval5  11150  bcpasc  11153  hashfiv01gt1  11170  isfinite4im  11180  fihashneq0  11182  fseq1hash  11190  fnfz0hash  11224  ffzo0hash  11226  sseqn  11228  hashfibclem  11231  zfz1isolemiso  11236  wrdfin  11268  wrdffz  11270  wrdsymb0  11282  wrdlenge1n0  11283  lswwrd  11296  ccatfvalfi  11305  ccatcl  11306  ccatlen  11308  ccatval2  11311  ccatval3  11312  ccatvalfn  11314  ccatsymb  11315  ccatval21sw  11318  ccatass  11321  ccatrn  11322  lswccatn0lsw  11324  ccatalpha  11326  ccats1val2  11353  ccat1st1st  11354  fzowrddc  11364  swrdnd  11376  swrdspsleq  11384  swrdccat2  11388  pfxval  11391  pfxwrdsymbg  11407  pfxtrcfv0  11411  pfxtrcfvl  11414  ccatpfx  11418  pfxccat1  11419  lenrevpfxcctswrd  11429  wrdind  11439  wrd2ind  11440  swrdccatin1  11442  swrdccatin2  11446  pfxccatin12  11450  swrdccat  11452  pfxccatpfx2  11454  pfxccat3a  11455  swrdccat3blem  11456  swrdccat3b  11457  resqrexlemga  11733  zabscl  11796  fsum0diaglem  12151  modfsummodlemstep  12168  binomlem  12194  binom1p  12196  binom1dif  12198  arisum2  12210  geosergap  12217  geoserap  12218  pwm1geoserap1  12219  geolim2  12223  cvgratnnlemrate  12241  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  efcvgfsum  12378  efaddlem  12385  dvdsdc  12509  divalglemnn  12629  divalgmod  12638  bitsfzolem  12665  bitsfzo  12666  bitsmod  12667  bitsfi  12668  bitsinv1lem  12672  bitsinv1  12673  zeqzmulgcd  12691  gcd0id  12700  gcdneg  12703  gcdaddm  12705  modgcd  12712  gcdmultipled  12714  bezoutlemnewy  12717  bezoutlemstep  12718  bezoutlemmain  12719  bezoutlemzz  12723  bezoutlemmo  12727  bezoutlemle  12729  bezoutlemsup  12730  dfgcd3  12731  dvdsgcdb  12734  gcdass  12736  mulgcd  12737  gcdzeq  12743  dvdsmulgcd  12746  bezoutr  12753  bezoutr1  12754  nn0seqcvgd  12763  algfx  12774  eucalgval2  12775  eucalginv  12778  eucalglt  12779  eucalg  12781  gcddvdslcm  12795  lcmneg  12796  lcmgcdlem  12799  lcmdvds  12801  lcmgcdeq  12805  lcmdvdsb  12806  lcmass  12807  mulgcddvds  12816  rpmulgcd2  12817  qredeu  12819  divgcdcoprm0  12823  divgcdcoprmex  12824  cncongr1  12825  cncongr2  12826  sqnprm  12858  rpexp  12875  sqpweven  12897  2sqpwodd  12898  divnumden  12918  phivalfi  12934  phicl2  12936  phiprmpw  12944  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlemfi  12950  eulerthlema  12952  hashgcdeq  12962  phisum  12963  odzdvds  12968  powm2modprm  12975  coprimeprodsq  12980  pcprendvds  13013  pcpremul  13016  pceu  13018  pcdiv  13025  pcqcl  13029  pcdvdsb  13043  pc2dvds  13053  pcprmpw2  13056  dvdsprmpweqle  13060  pcadd  13063  fldivp1  13071  pcfaclem  13072  pcfac  13073  pcbc  13074  pockthlem  13079  1arith  13090  mul4sqlem  13116  4sqlemafi  13118  4sqlemffi  13119  4sqleminfi  13120  4sqexercise1  13121  4sqlemsdc  13123  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  4sqlem14  13127  ballotfilemofi  13163  ballotfilemfval  13173  ballotfilemfelz  13174  ballotfilemgval  13211  ennnfoneleminc  13246  ennnfonelemrnh  13251  ennnfonelemim  13259  gfsumval  14102  gsumgfsum1  14103  znunit  14933  psrbaglesuppg  14947  psrbagfi  14949  psrbaglecl  14950  psrbagcon  14952  psrbagconf1o  14954  psr1clfi  14969  elply2  15726  plyf  15728  elplyd  15732  ply1termlem  15733  ply1term  15734  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  plyaddlem  15740  plycoeid3  15748  plycolemc  15749  plycjlemc  15751  plycn  15753  plyrecj  15754  dvply1  15756  dvply2g  15757  wilthlem1  15974  sgmppw  15986  lgsval  16003  lgsfvalg  16004  lgsfcl2  16005  lgsval2lem  16009  lgsmod  16025  lgsdir2  16032  lgsne0  16037  lgsprme0  16041  gausslemma2dlem0h  16055  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem2  16061  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  m1lgs  16084  2lgslem1a  16087  2lgslem3a  16092  2lgslem3b  16093  2lgslem3c  16094  2lgslem3d  16095  2lgslem3d1  16099  2lgs  16103  2lgsoddprmlem2  16105  2lgsoddprm  16112  2sqlem8  16122  vdegp1bid  16436  wksfval  16443  wlkex  16446  iswlkg  16450  clwwlkccatlem  16521  umgrclwwlkge2  16523  clwwlknonex2lem2  16559  eupthfi  16572  eupth2lem3lem3fi  16591  eupth2lem3lem4fi  16594  eupth2lem3fi  16597  eupth2lemsfi  16599  konigsberglem5  16613  nninffeq  16924