Theorem nn0zd 9465

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9363	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3182	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  nnzd  9466  xnn0dcle  9896  xnn0letri  9897  fseq1p1m1  10188  difelfznle  10229  flltdivnn0lt  10413  zmodfz  10457  addmodid  10483  modaddmodup  10498  modaddmodlo  10499  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  expnegzap  10684  expaddzaplem  10693  expaddzap  10694  expmulzap  10696  nn0ltexp2  10820  nn0opthd  10833  facdiv  10849  facwordi  10851  faclbnd  10852  facavg  10857  bcval  10860  bcval5  10874  bcpasc  10877  hashfiv01gt1  10893  isfinite4im  10903  fihashneq0  10905  fseq1hash  10912  fnfz0hash  10943  ffzo0hash  10945  zfz1isolemiso  10950  wrdfin  10973  wrdffz  10975  wrdsymb0  10986  wrdlenge1n0  10987  resqrexlemga  11207  zabscl  11270  fsum0diaglem  11624  modfsummodlemstep  11641  binomlem  11667  binom1p  11669  binom1dif  11671  arisum2  11683  geosergap  11690  geoserap  11691  pwm1geoserap1  11692  geolim2  11696  cvgratnnlemrate  11714  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  efcvgfsum  11851  efaddlem  11858  dvdsdc  11982  divalglemnn  12102  divalgmod  12111  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  bitsfi  12141  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  zeqzmulgcd  12164  gcd0id  12173  gcdneg  12176  gcdaddm  12178  modgcd  12185  gcdmultipled  12187  bezoutlemnewy  12190  bezoutlemstep  12191  bezoutlemmain  12192  bezoutlemzz  12196  bezoutlemmo  12200  bezoutlemle  12202  bezoutlemsup  12203  dfgcd3  12204  dvdsgcdb  12207  gcdass  12209  mulgcd  12210  gcdzeq  12216  dvdsmulgcd  12219  bezoutr  12226  bezoutr1  12227  nn0seqcvgd  12236  algfx  12247  eucalgval2  12248  eucalginv  12251  eucalglt  12252  eucalg  12254  gcddvdslcm  12268  lcmneg  12269  lcmgcdlem  12272  lcmdvds  12274  lcmgcdeq  12278  lcmdvdsb  12279  lcmass  12280  mulgcddvds  12289  rpmulgcd2  12290  qredeu  12292  divgcdcoprm0  12296  divgcdcoprmex  12297  cncongr1  12298  cncongr2  12299  sqnprm  12331  rpexp  12348  sqpweven  12370  2sqpwodd  12371  divnumden  12391  phivalfi  12407  phicl2  12409  phiprmpw  12417  crth  12419  phimullem  12420  eulerthlemfi  12423  eulerthlema  12425  hashgcdeq  12435  phisum  12436  odzdvds  12441  powm2modprm  12448  coprimeprodsq  12453  pcprendvds  12486  pcpremul  12489  pceu  12491  pcdiv  12498  pcqcl  12502  pcdvdsb  12516  pc2dvds  12526  pcprmpw2  12529  dvdsprmpweqle  12533  pcadd  12536  fldivp1  12544  pcfaclem  12545  pcfac  12546  pcbc  12547  pockthlem  12552  1arith  12563  mul4sqlem  12589  4sqlemafi  12591  4sqlemffi  12592  4sqleminfi  12593  4sqexercise1  12594  4sqlemsdc  12596  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  ennnfoneleminc  12655  ennnfonelemrnh  12660  ennnfonelemim  12668  znunit  14293  psrbaglesuppg  14306  psrbagfi  14307  psr1clfi  14322  elply2  15079  plyf  15081  elplyd  15085  ply1termlem  15086  ply1term  15087  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plyaddlem  15093  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  plycjlemc  15104  plycn  15106  plyrecj  15107  dvply1  15109  dvply2g  15110  wilthlem1  15324  sgmppw  15336  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsfcl2  15355  lgsval2lem  15359  lgsmod  15375  lgsdir2  15382  lgsne0  15387  lgsprme0  15391  gausslemma2dlem0h  15405  gausslemma2dlem0i  15406  gausslemma2dlem2  15411  gausslemma2dlem6  15416  gausslemma2d  15418  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  m1lgs  15434  2lgslem1a  15437  2lgslem3a  15442  2lgslem3b  15443  2lgslem3c  15444  2lgslem3d  15445  2lgslem3d1  15449  2lgs  15453  2lgsoddprmlem2  15455  2lgsoddprm  15462  2sqlem8  15472  nninffeq  15775