Theorem nn0zd 9599

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9496	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3225	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  nnzd  9600  eluzmn  9761  xnn0dcle  10036  xnn0letri  10037  fseq1p1m1  10328  difelfznle  10369  flltdivnn0lt  10563  zmodfz  10607  addmodid  10633  modaddmodup  10648  modaddmodlo  10649  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  expnegzap  10834  expaddzaplem  10843  expaddzap  10844  expmulzap  10846  nn0ltexp2  10970  nn0opthd  10983  facdiv  10999  facwordi  11001  faclbnd  11002  facavg  11007  bcval  11010  bcval5  11024  bcpasc  11027  hashfiv01gt1  11043  isfinite4im  11053  fihashneq0  11055  fseq1hash  11063  fnfz0hash  11095  ffzo0hash  11097  zfz1isolemiso  11102  wrdfin  11131  wrdffz  11133  wrdsymb0  11145  wrdlenge1n0  11146  lswwrd  11159  ccatfvalfi  11168  ccatcl  11169  ccatlen  11171  ccatval2  11174  ccatval3  11175  ccatvalfn  11177  ccatsymb  11178  ccatval21sw  11181  ccatass  11184  ccatrn  11185  lswccatn0lsw  11187  ccatalpha  11189  ccats1val2  11216  ccat1st1st  11217  fzowrddc  11227  swrdnd  11239  swrdspsleq  11247  swrdccat2  11251  pfxval  11254  pfxwrdsymbg  11270  pfxtrcfv0  11274  pfxtrcfvl  11277  ccatpfx  11281  pfxccat1  11282  lenrevpfxcctswrd  11292  wrdind  11302  wrd2ind  11303  swrdccatin1  11305  swrdccatin2  11309  pfxccatin12  11313  swrdccat  11315  pfxccatpfx2  11317  pfxccat3a  11318  swrdccat3blem  11319  swrdccat3b  11320  resqrexlemga  11583  zabscl  11646  fsum0diaglem  12000  modfsummodlemstep  12017  binomlem  12043  binom1p  12045  binom1dif  12047  arisum2  12059  geosergap  12066  geoserap  12067  pwm1geoserap1  12068  geolim2  12072  cvgratnnlemrate  12090  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  efcvgfsum  12227  efaddlem  12234  dvdsdc  12358  divalglemnn  12478  divalgmod  12487  bitsfzolem  12514  bitsfzo  12515  bitsmod  12516  bitsfi  12517  bitsinv1lem  12521  bitsinv1  12522  zeqzmulgcd  12540  gcd0id  12549  gcdneg  12552  gcdaddm  12554  modgcd  12561  gcdmultipled  12563  bezoutlemnewy  12566  bezoutlemstep  12567  bezoutlemmain  12568  bezoutlemzz  12572  bezoutlemmo  12576  bezoutlemle  12578  bezoutlemsup  12579  dfgcd3  12580  dvdsgcdb  12583  gcdass  12585  mulgcd  12586  gcdzeq  12592  dvdsmulgcd  12595  bezoutr  12602  bezoutr1  12603  nn0seqcvgd  12612  algfx  12623  eucalgval2  12624  eucalginv  12627  eucalglt  12628  eucalg  12630  gcddvdslcm  12644  lcmneg  12645  lcmgcdlem  12648  lcmdvds  12650  lcmgcdeq  12654  lcmdvdsb  12655  lcmass  12656  mulgcddvds  12665  rpmulgcd2  12666  qredeu  12668  divgcdcoprm0  12672  divgcdcoprmex  12673  cncongr1  12674  cncongr2  12675  sqnprm  12707  rpexp  12724  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  divnumden  12767  phivalfi  12783  phicl2  12785  phiprmpw  12793  crth  12795  phimullem  12796  eulerthlemfi  12799  eulerthlema  12801  hashgcdeq  12811  phisum  12812  odzdvds  12817  powm2modprm  12824  coprimeprodsq  12829  pcprendvds  12862  pcpremul  12865  pceu  12867  pcdiv  12874  pcqcl  12878  pcdvdsb  12892  pc2dvds  12902  pcprmpw2  12905  dvdsprmpweqle  12909  pcadd  12912  fldivp1  12920  pcfaclem  12921  pcfac  12922  pcbc  12923  pockthlem  12928  1arith  12939  mul4sqlem  12965  4sqlemafi  12967  4sqlemffi  12968  4sqleminfi  12969  4sqexercise1  12970  4sqlemsdc  12972  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  4sqlem14  12976  ennnfoneleminc  13031  ennnfonelemrnh  13036  ennnfonelemim  13044  znunit  14672  psrbaglesuppg  14685  psrbagfi  14686  psr1clfi  14701  elply2  15458  plyf  15460  elplyd  15464  ply1termlem  15465  ply1term  15466  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plyaddlem  15472  plycoeid3  15480  plycolemc  15481  plycjlemc  15483  plycn  15485  plyrecj  15486  dvply1  15488  dvply2g  15489  wilthlem1  15703  sgmppw  15715  lgsval  15732  lgsfvalg  15733  lgsfcl2  15734  lgsval2lem  15738  lgsmod  15754  lgsdir2  15761  lgsne0  15766  lgsprme0  15770  gausslemma2dlem0h  15784  gausslemma2dlem0i  15785  gausslemma2dlem2  15790  gausslemma2dlem6  15795  gausslemma2d  15797  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  m1lgs  15813  2lgslem1a  15816  2lgslem3a  15821  2lgslem3b  15822  2lgslem3c  15823  2lgslem3d  15824  2lgslem3d1  15828  2lgs  15832  2lgsoddprmlem2  15834  2lgsoddprm  15841  2sqlem8  15851  vdegp1bid  16165  wksfval  16172  wlkex  16175  iswlkg  16179  clwwlkccatlem  16250  umgrclwwlkge2  16252  clwwlknonex2lem2  16288  eupthfi  16301  nninffeq  16622  gfsumval  16680  gsumgfsum1  16681