Theorem nn0zd 9776

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9671	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  nnzd  9777  eluzmn  9943  xnn0dcle  10220  xnn0letri  10221  fseq1p1m1  10517  difelfznle  10558  flltdivnn0lt  10759  zmodfz  10803  addmodid  10829  modaddmodup  10844  modaddmodlo  10845  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  expnegzap  11030  expaddzaplem  11039  expaddzap  11040  expmulzap  11042  nn0ltexp2  11168  nn0opthd  11181  facdiv  11197  facwordi  11199  faclbnd  11200  facavg  11205  bcval  11208  bcval5  11222  bcpasc  11225  hashfiv01gt1  11242  isfinite4im  11252  fihashneq0  11254  fseq1hash  11262  fnfz0hash  11296  ffzo0hash  11298  sseqn  11300  hashfibclem  11303  hashf1  11308  zfz1isolemiso  11312  wrdfin  11344  wrdffz  11346  wrdsymb0  11358  wrdlenge1n0  11359  lswwrd  11372  ccatfvalfi  11381  ccatcl  11382  ccatlen  11384  ccatval2  11387  ccatval3  11388  ccatvalfn  11390  ccatsymb  11391  ccatval21sw  11394  ccatass  11397  ccatrn  11398  lswccatn0lsw  11400  ccatalpha  11402  ccats1val2  11429  ccat1st1st  11430  fzowrddc  11440  swrdnd  11452  swrdspsleq  11460  swrdccat2  11464  pfxval  11467  pfxwrdsymbg  11483  pfxtrcfv0  11487  pfxtrcfvl  11490  ccatpfx  11494  pfxccat1  11495  lenrevpfxcctswrd  11505  wrdind  11515  wrd2ind  11516  swrdccatin1  11518  swrdccatin2  11522  pfxccatin12  11526  swrdccat  11528  pfxccatpfx2  11530  pfxccat3a  11531  swrdccat3blem  11532  swrdccat3b  11533  resqrexlemga  11810  zabscl  11874  fsum0diaglem  12231  modfsummodlemstep  12248  binomlem  12274  binom1p  12276  binom1dif  12278  arisum2  12290  geosergap  12297  geoserap  12298  pwm1geoserap1  12299  geolim2  12303  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efcvgfsum  12458  efaddlem  12465  dvdsdc  12589  divalglemnn  12709  divalgmod  12718  bitsfzolem  12745  bitsfzo  12746  bitsmod  12747  bitsfi  12748  bitsinv1lem  12752  bitsinv1  12753  zeqzmulgcd  12771  gcd0id  12780  gcdneg  12783  gcdaddm  12785  modgcd  12792  gcdmultipled  12794  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  bezoutlemmain  12799  bezoutlemzz  12803  bezoutlemmo  12807  bezoutlemle  12809  bezoutlemsup  12810  dfgcd3  12811  dvdsgcdb  12814  gcdass  12816  mulgcd  12817  gcdzeq  12823  dvdsmulgcd  12826  bezoutr  12833  bezoutr1  12834  nn0seqcvgd  12843  algfx  12854  eucalgval2  12855  eucalginv  12858  eucalglt  12859  eucalg  12861  gcddvdslcm  12875  lcmneg  12876  lcmgcdlem  12879  lcmdvds  12881  lcmgcdeq  12885  lcmdvdsb  12886  lcmass  12887  mulgcddvds  12896  rpmulgcd2  12897  qredeu  12899  divgcdcoprm0  12903  divgcdcoprmex  12904  cncongr1  12905  cncongr2  12906  sqnprm  12939  rpexp  12956  sqpweven  12979  2sqpwodd  12980  divnumden  13000  phivalfi  13018  phicl2  13020  phiprmpw  13028  crth  13030  phimullem  13031  eulerthlemfi  13034  eulerthlema  13036  hashgcdeq  13046  phisum  13047  odzdvds  13052  powm2modprm  13059  coprimeprodsq  13064  pcprendvds  13097  pcpremul  13100  pceu  13102  pcdiv  13109  pcqcl  13113  pcdvdsb  13127  pc2dvds  13137  pcprmpw2  13140  dvdsprmpweqle  13144  pcadd  13147  fldivp1  13155  pcfaclem  13156  pcfac  13157  pcbc  13158  pockthlem  13163  1arith  13174  mul4sqlem  13200  4sqlemafi  13202  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqexercise1  13205  4sqlemsdc  13207  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  4sqlem14  13211  ballotfilemofi  13276  ballotfilemfval  13286  ballotfilemfelz  13287  ballotfilemgval  13324  ennnfoneleminc  13359  ennnfonelemrnh  13364  ennnfonelemim  13372  gsumvalfi  14241  gzsumgsum1  14242  gsumf1ofi  14249  gsummhmfi  14263  gsumressfi  14266  znunit  15102  asclmulg  15152  psrbagfi  15166  psrbagdceq  15167  psrbaglesuppg  15170  psrbaglecl  15172  psrbagcon  15174  psrbaglefifi  15175  psrbagconf1o  15177  gsumbagdiaglem  15184  psrass1filem  15186  psr1clfi  15207  psrass1fi  15210  elply2  15978  plyf  15980  elplyd  15984  ply1termlem  15985  ply1term  15986  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plyaddlem  15992  plycoeid3  16000  plycolemc  16001  plycjlemc  16003  plycn  16005  plyrecj  16006  dvply1  16008  dvply2g  16009  zprmlogbaplem1  16232  zprmlogbaplem2  16233  birthdaylem2  16243  wilthlem1  16249  ppiqnncl  16295  sgmppw  16303  ppiqub  16310  chtublem  16312  bcmax  16322  bposlem1  16328  bposlem5  16332  bposlem6  16333  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgsval2lem  16351  lgsmod  16367  lgsdir2  16374  lgsne0  16379  lgsprme0  16383  gausslemma2dlem0h  16397  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem2  16403  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  m1lgs  16426  2lgslem1a  16429  2lgslem3a  16434  2lgslem3b  16435  2lgslem3c  16436  2lgslem3d  16437  2lgslem3d1  16441  2lgs  16445  2lgsoddprmlem2  16447  2lgsoddprm  16454  2sqlem8  16464  vdegp1bid  16778  wksfval  16785  wlkex  16788  iswlkg  16792  clwwlkccatlem  16863  umgrclwwlkge2  16865  clwwlknonex2lem2  16901  eupthfi  16914  eupth2lem3lem3fi  16933  eupth2lem3lem4fi  16936  eupth2lem3fi  16939  eupth2lemsfi  16941  konigsberglem5  16955  nninffeq  17286