Theorem nn0zd 9404

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9302	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285

This theorem is referenced by:  nnzd  9405  xnn0dcle  9834  xnn0letri  9835  fseq1p1m1  10126  difelfznle  10167  flltdivnn0lt  10337  zmodfz  10379  addmodid  10405  modaddmodup  10420  modaddmodlo  10421  modsumfzodifsn  10429  addmodlteq  10431  expnegzap  10588  expaddzaplem  10597  expaddzap  10598  expmulzap  10600  nn0ltexp2  10724  nn0opthd  10737  facdiv  10753  facwordi  10755  faclbnd  10756  facavg  10761  bcval  10764  bcval5  10778  bcpasc  10781  hashfiv01gt1  10797  isfinite4im  10807  fihashneq0  10809  fseq1hash  10816  fnfz0hash  10847  ffzo0hash  10849  zfz1isolemiso  10854  resqrexlemga  11067  zabscl  11130  fsum0diaglem  11483  modfsummodlemstep  11500  binomlem  11526  binom1p  11528  binom1dif  11530  arisum2  11542  geosergap  11549  geoserap  11550  pwm1geoserap1  11551  geolim2  11555  cvgratnnlemrate  11573  mertenslemi1  11578  mertenslem2  11579  mertensabs  11580  efcvgfsum  11710  efaddlem  11717  dvdsdc  11840  divalglemnn  11958  divalgmod  11967  zeqzmulgcd  12006  gcd0id  12015  gcdneg  12018  gcdaddm  12020  modgcd  12027  gcdmultipled  12029  bezoutlemnewy  12032  bezoutlemstep  12033  bezoutlemmain  12034  bezoutlemzz  12038  bezoutlemmo  12042  bezoutlemle  12044  bezoutlemsup  12045  dfgcd3  12046  dvdsgcdb  12049  gcdass  12051  mulgcd  12052  gcdzeq  12058  dvdsmulgcd  12061  bezoutr  12068  bezoutr1  12069  nn0seqcvgd  12076  algfx  12087  eucalgval2  12088  eucalginv  12091  eucalglt  12092  eucalg  12094  gcddvdslcm  12108  lcmneg  12109  lcmgcdlem  12112  lcmdvds  12114  lcmgcdeq  12118  lcmdvdsb  12119  lcmass  12120  mulgcddvds  12129  rpmulgcd2  12130  qredeu  12132  divgcdcoprm0  12136  divgcdcoprmex  12137  cncongr1  12138  cncongr2  12139  sqnprm  12171  rpexp  12188  sqpweven  12210  2sqpwodd  12211  divnumden  12231  phivalfi  12247  phicl2  12249  phiprmpw  12257  crth  12259  phimullem  12260  eulerthlemfi  12263  eulerthlema  12265  hashgcdeq  12274  phisum  12275  odzdvds  12280  powm2modprm  12287  coprimeprodsq  12292  pcprendvds  12325  pcpremul  12328  pceu  12330  pcdiv  12337  pcqcl  12341  pcdvdsb  12355  pc2dvds  12365  pcprmpw2  12368  dvdsprmpweqle  12372  pcadd  12375  fldivp1  12383  pcfaclem  12384  pcfac  12385  pcbc  12386  pockthlem  12391  1arith  12402  mul4sqlem  12428  4sqlemafi  12430  4sqlemffi  12431  4sqleminfi  12432  4sqexercise1  12433  4sqlemsdc  12435  4sqlem11  12436  4sqlem12  12437  4sqlem14  12439  ennnfoneleminc  12465  ennnfonelemrnh  12470  ennnfonelemim  12478  psrbaglesuppg  13967  wilthlem1  14875  lgsval  14883  lgsfvalg  14884  lgsfcl2  14885  lgsval2lem  14889  lgsmod  14905  lgsdir2  14912  lgsne0  14917  lgsprme0  14921  lgseisenlem1  14928  lgseisenlem2  14929  m1lgs  14930  2lgsoddprmlem2  14932  2sqlem8  14948  nninffeq  15248