Theorem nn0zd 9446

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9344	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3181	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  nnzd  9447  xnn0dcle  9877  xnn0letri  9878  fseq1p1m1  10169  difelfznle  10210  flltdivnn0lt  10394  zmodfz  10438  addmodid  10464  modaddmodup  10479  modaddmodlo  10480  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  expnegzap  10665  expaddzaplem  10674  expaddzap  10675  expmulzap  10677  nn0ltexp2  10801  nn0opthd  10814  facdiv  10830  facwordi  10832  faclbnd  10833  facavg  10838  bcval  10841  bcval5  10855  bcpasc  10858  hashfiv01gt1  10874  isfinite4im  10884  fihashneq0  10886  fseq1hash  10893  fnfz0hash  10924  ffzo0hash  10926  zfz1isolemiso  10931  wrdfin  10954  wrdffz  10956  wrdsymb0  10967  wrdlenge1n0  10968  resqrexlemga  11188  zabscl  11251  fsum0diaglem  11605  modfsummodlemstep  11622  binomlem  11648  binom1p  11650  binom1dif  11652  arisum2  11664  geosergap  11671  geoserap  11672  pwm1geoserap1  11673  geolim2  11677  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  efcvgfsum  11832  efaddlem  11839  dvdsdc  11963  divalglemnn  12083  divalgmod  12092  bitsfzolem  12118  bitsfzo  12119  zeqzmulgcd  12137  gcd0id  12146  gcdneg  12149  gcdaddm  12151  modgcd  12158  gcdmultipled  12160  bezoutlemnewy  12163  bezoutlemstep  12164  bezoutlemmain  12165  bezoutlemzz  12169  bezoutlemmo  12173  bezoutlemle  12175  bezoutlemsup  12176  dfgcd3  12177  dvdsgcdb  12180  gcdass  12182  mulgcd  12183  gcdzeq  12189  dvdsmulgcd  12192  bezoutr  12199  bezoutr1  12200  nn0seqcvgd  12209  algfx  12220  eucalgval2  12221  eucalginv  12224  eucalglt  12225  eucalg  12227  gcddvdslcm  12241  lcmneg  12242  lcmgcdlem  12245  lcmdvds  12247  lcmgcdeq  12251  lcmdvdsb  12252  lcmass  12253  mulgcddvds  12262  rpmulgcd2  12263  qredeu  12265  divgcdcoprm0  12269  divgcdcoprmex  12270  cncongr1  12271  cncongr2  12272  sqnprm  12304  rpexp  12321  sqpweven  12343  2sqpwodd  12344  divnumden  12364  phivalfi  12380  phicl2  12382  phiprmpw  12390  crth  12392  phimullem  12393  eulerthlemfi  12396  eulerthlema  12398  hashgcdeq  12408  phisum  12409  odzdvds  12414  powm2modprm  12421  coprimeprodsq  12426  pcprendvds  12459  pcpremul  12462  pceu  12464  pcdiv  12471  pcqcl  12475  pcdvdsb  12489  pc2dvds  12499  pcprmpw2  12502  dvdsprmpweqle  12506  pcadd  12509  fldivp1  12517  pcfaclem  12518  pcfac  12519  pcbc  12520  pockthlem  12525  1arith  12536  mul4sqlem  12562  4sqlemafi  12564  4sqlemffi  12565  4sqleminfi  12566  4sqexercise1  12567  4sqlemsdc  12569  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  4sqlem14  12573  ennnfoneleminc  12628  ennnfonelemrnh  12633  ennnfonelemim  12641  znunit  14215  psrbaglesuppg  14226  elply2  14971  plyf  14973  elplyd  14977  ply1termlem  14978  ply1term  14979  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plyaddlem  14985  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  plycjlemc  14996  plycn  14998  plyrecj  14999  dvply1  15001  dvply2g  15002  wilthlem1  15216  sgmppw  15228  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsfcl2  15247  lgsval2lem  15251  lgsmod  15267  lgsdir2  15274  lgsne0  15279  lgsprme0  15283  gausslemma2dlem0h  15297  gausslemma2dlem0i  15298  gausslemma2dlem2  15303  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2d  15310  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  m1lgs  15326  2lgslem1a  15329  2lgslem3a  15334  2lgslem3b  15335  2lgslem3c  15336  2lgslem3d  15337  2lgslem3d1  15341  2lgs  15345  2lgsoddprmlem2  15347  2lgsoddprm  15354  2sqlem8  15364  nninffeq  15664