Theorem nn0zd 9311

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9209	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  nnzd  9312  xnn0dcle  9738  xnn0letri  9739  fseq1p1m1  10029  difelfznle  10070  flltdivnn0lt  10239  zmodfz  10281  addmodid  10307  modaddmodup  10322  modaddmodlo  10323  modsumfzodifsn  10331  addmodlteq  10333  expnegzap  10489  expaddzaplem  10498  expaddzap  10499  expmulzap  10501  nn0ltexp2  10623  nn0opthd  10635  facdiv  10651  facwordi  10653  faclbnd  10654  facavg  10659  bcval  10662  bcval5  10676  bcpasc  10679  hashfiv01gt1  10695  isfinite4im  10706  fihashneq0  10708  fseq1hash  10714  fnfz0hash  10745  ffzo0hash  10747  zfz1isolemiso  10752  resqrexlemga  10965  zabscl  11028  fsum0diaglem  11381  modfsummodlemstep  11398  binomlem  11424  binom1p  11426  binom1dif  11428  arisum2  11440  geosergap  11447  geoserap  11448  pwm1geoserap1  11449  geolim2  11453  cvgratnnlemrate  11471  mertenslemi1  11476  mertenslem2  11477  mertensabs  11478  efcvgfsum  11608  efaddlem  11615  dvdsdc  11738  divalglemnn  11855  divalgmod  11864  zeqzmulgcd  11903  gcd0id  11912  gcdneg  11915  gcdaddm  11917  modgcd  11924  gcdmultipled  11926  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemstep  11930  bezoutlemmain  11931  bezoutlemzz  11935  bezoutlemmo  11939  bezoutlemle  11941  bezoutlemsup  11942  dfgcd3  11943  dvdsgcdb  11946  gcdass  11948  mulgcd  11949  gcdzeq  11955  dvdsmulgcd  11958  bezoutr  11965  bezoutr1  11966  nn0seqcvgd  11973  algfx  11984  eucalgval2  11985  eucalginv  11988  eucalglt  11989  eucalg  11991  gcddvdslcm  12005  lcmneg  12006  lcmgcdlem  12009  lcmdvds  12011  lcmgcdeq  12015  lcmdvdsb  12016  lcmass  12017  mulgcddvds  12026  rpmulgcd2  12027  qredeu  12029  divgcdcoprm0  12033  divgcdcoprmex  12034  cncongr1  12035  cncongr2  12036  sqnprm  12068  rpexp  12085  sqpweven  12107  2sqpwodd  12108  divnumden  12128  phivalfi  12144  phicl2  12146  phiprmpw  12154  crth  12156  phimullem  12157  eulerthlemfi  12160  eulerthlema  12162  hashgcdeq  12171  phisum  12172  odzdvds  12177  powm2modprm  12184  coprimeprodsq  12189  pcprendvds  12222  pcpremul  12225  pceu  12227  pcdiv  12234  pcqcl  12238  pcdvdsb  12251  pc2dvds  12261  pcprmpw2  12264  dvdsprmpweqle  12268  pcadd  12271  fldivp1  12278  pcfaclem  12279  pcfac  12280  pcbc  12281  pockthlem  12286  1arith  12297  mul4sqlem  12323  ennnfoneleminc  12344  ennnfonelemrnh  12349  ennnfonelemim  12357  lgsval  13545  lgsfvalg  13546  lgsfcl2  13547  lgsval2lem  13551  lgsmod  13567  lgsdir2  13574  lgsne0  13579  lgsprme0  13583  2sqlem8  13599  nninffeq  13900