Theorem nn0zd 8836

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 8738	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3021	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  ℕ₀cn0 8643  ℤcz 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721

This theorem is referenced by:  nnzd  8837  fseq1p1m1  9475  difelfznle  9511  flltdivnn0lt  9676  zmodfz  9718  addmodid  9744  modaddmodup  9759  modaddmodlo  9760  modsumfzodifsn  9768  addmodlteq  9770  expnegzap  9954  expaddzaplem  9963  expaddzap  9964  expmulzap  9966  nn0opthd  10095  facdiv  10111  facwordi  10113  faclbnd  10114  facavg  10119  bcval  10122  ibcval5  10136  bcpasc  10139  hashfiv01gt1  10155  isfinite4im  10166  fihashneq0  10168  fseq1hash  10174  fnfz0hash  10202  ffzo0hash  10204  zfz1isolemiso  10209  resqrexlemga  10421  zabscl  10484  fsum0diaglem  10797  modfsummodlemstep  10814  binomlem  10839  binom1p  10841  binom1dif  10843  arisum2  10854  geosergap  10861  geoserap  10862  pwm1geoserap1  10863  geolim2  10867  dvdsdc  10886  divalglemnn  11000  divalgmod  11009  zeqzmulgcd  11044  gcd0id  11052  gcdneg  11055  gcdaddm  11057  modgcd  11064  bezoutlemnewy  11067  bezoutlemstep  11068  bezoutlemmain  11069  bezoutlemzz  11073  bezoutlemmo  11077  bezoutlemle  11079  bezoutlemsup  11080  dfgcd3  11081  dvdsgcdb  11084  gcdass  11086  mulgcd  11087  gcdzeq  11093  dvdsmulgcd  11096  bezoutr  11103  bezoutr1  11104  nn0seqcvgd  11105  ialgfx  11116  eucalgval2  11117  eucalginv  11120  eucalglt  11121  eucialg  11123  gcddvdslcm  11137  lcmneg  11138  lcmgcdlem  11141  lcmdvds  11143  lcmgcdeq  11147  lcmdvdsb  11148  lcmass  11149  mulgcddvds  11158  rpmulgcd2  11159  qredeu  11161  divgcdcoprm0  11165  divgcdcoprmex  11166  cncongr1  11167  cncongr2  11168  sqnprm  11199  rpexp  11214  sqpweven  11235  2sqpwodd  11236  divnumden  11256  phivalfi  11270  phicl2  11272  phiprmpw  11280  crth  11282  phimullem  11283  hashgcdeq  11286