Theorem nn0zd 9069

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 8970	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3059	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1461  ℕ₀cn0 8875  ℤcz 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953

This theorem is referenced by:  nnzd  9070  fseq1p1m1  9761  difelfznle  9799  flltdivnn0lt  9964  zmodfz  10006  addmodid  10032  modaddmodup  10047  modaddmodlo  10048  modsumfzodifsn  10056  addmodlteq  10058  expnegzap  10214  expaddzaplem  10223  expaddzap  10224  expmulzap  10226  nn0opthd  10355  facdiv  10371  facwordi  10373  faclbnd  10374  facavg  10379  bcval  10382  bcval5  10396  bcpasc  10399  hashfiv01gt1  10415  isfinite4im  10426  fihashneq0  10428  fseq1hash  10434  fnfz0hash  10462  ffzo0hash  10464  zfz1isolemiso  10469  resqrexlemga  10681  zabscl  10744  fsum0diaglem  11095  modfsummodlemstep  11112  binomlem  11138  binom1p  11140  binom1dif  11142  arisum2  11154  geosergap  11161  geoserap  11162  pwm1geoserap1  11163  geolim2  11167  cvgratnnlemrate  11185  mertenslemi1  11190  mertenslem2  11191  mertensabs  11192  efcvgfsum  11218  efaddlem  11225  dvdsdc  11343  divalglemnn  11457  divalgmod  11466  zeqzmulgcd  11501  gcd0id  11509  gcdneg  11512  gcdaddm  11514  modgcd  11521  bezoutlemnewy  11524  bezoutlemstep  11525  bezoutlemmain  11526  bezoutlemzz  11530  bezoutlemmo  11534  bezoutlemle  11536  bezoutlemsup  11537  dfgcd3  11538  dvdsgcdb  11541  gcdass  11543  mulgcd  11544  gcdzeq  11550  dvdsmulgcd  11553  bezoutr  11560  bezoutr1  11561  nn0seqcvgd  11562  algfx  11573  eucalgval2  11574  eucalginv  11577  eucalglt  11578  eucalg  11580  gcddvdslcm  11594  lcmneg  11595  lcmgcdlem  11598  lcmdvds  11600  lcmgcdeq  11604  lcmdvdsb  11605  lcmass  11606  mulgcddvds  11615  rpmulgcd2  11616  qredeu  11618  divgcdcoprm0  11622  divgcdcoprmex  11623  cncongr1  11624  cncongr2  11625  sqnprm  11656  rpexp  11671  sqpweven  11692  2sqpwodd  11693  divnumden  11713  phivalfi  11727  phicl2  11729  phiprmpw  11737  crth  11739  phimullem  11740  hashgcdeq  11743  ennnfoneleminc  11763  ennnfonelemrnh  11768  ennnfonelemim  11776  nninffeq  12897