Theorem nn0zd 9578

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9475	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  nnzd  9579  eluzmn  9740  xnn0dcle  10010  xnn0letri  10011  fseq1p1m1  10302  difelfznle  10343  flltdivnn0lt  10536  zmodfz  10580  addmodid  10606  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  expnegzap  10807  expaddzaplem  10816  expaddzap  10817  expmulzap  10819  nn0ltexp2  10943  nn0opthd  10956  facdiv  10972  facwordi  10974  faclbnd  10975  facavg  10980  bcval  10983  bcval5  10997  bcpasc  11000  hashfiv01gt1  11016  isfinite4im  11026  fihashneq0  11028  fseq1hash  11035  fnfz0hash  11067  ffzo0hash  11069  zfz1isolemiso  11074  wrdfin  11103  wrdffz  11105  wrdsymb0  11117  wrdlenge1n0  11118  lswwrd  11131  ccatfvalfi  11140  ccatcl  11141  ccatlen  11143  ccatval2  11146  ccatval3  11147  ccatvalfn  11149  ccatsymb  11150  ccatval21sw  11153  ccatass  11156  ccatrn  11157  lswccatn0lsw  11159  ccatalpha  11161  ccats1val2  11186  ccat1st1st  11187  fzowrddc  11194  swrdnd  11206  swrdspsleq  11214  swrdccat2  11218  pfxval  11221  pfxwrdsymbg  11237  pfxtrcfv0  11241  pfxtrcfvl  11244  ccatpfx  11248  pfxccat1  11249  lenrevpfxcctswrd  11259  wrdind  11269  wrd2ind  11270  swrdccatin1  11272  swrdccatin2  11276  pfxccatin12  11280  swrdccat  11282  pfxccatpfx2  11284  pfxccat3a  11285  swrdccat3blem  11286  swrdccat3b  11287  resqrexlemga  11549  zabscl  11612  fsum0diaglem  11966  modfsummodlemstep  11983  binomlem  12009  binom1p  12011  binom1dif  12013  arisum2  12025  geosergap  12032  geoserap  12033  pwm1geoserap1  12034  geolim2  12038  cvgratnnlemrate  12056  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  efcvgfsum  12193  efaddlem  12200  dvdsdc  12324  divalglemnn  12444  divalgmod  12453  bitsfzolem  12480  bitsfzo  12481  bitsmod  12482  bitsfi  12483  bitsinv1lem  12487  bitsinv1  12488  zeqzmulgcd  12506  gcd0id  12515  gcdneg  12518  gcdaddm  12520  modgcd  12527  gcdmultipled  12529  bezoutlemnewy  12532  bezoutlemstep  12533  bezoutlemmain  12534  bezoutlemzz  12538  bezoutlemmo  12542  bezoutlemle  12544  bezoutlemsup  12545  dfgcd3  12546  dvdsgcdb  12549  gcdass  12551  mulgcd  12552  gcdzeq  12558  dvdsmulgcd  12561  bezoutr  12568  bezoutr1  12569  nn0seqcvgd  12578  algfx  12589  eucalgval2  12590  eucalginv  12593  eucalglt  12594  eucalg  12596  gcddvdslcm  12610  lcmneg  12611  lcmgcdlem  12614  lcmdvds  12616  lcmgcdeq  12620  lcmdvdsb  12621  lcmass  12622  mulgcddvds  12631  rpmulgcd2  12632  qredeu  12634  divgcdcoprm0  12638  divgcdcoprmex  12639  cncongr1  12640  cncongr2  12641  sqnprm  12673  rpexp  12690  sqpweven  12712  2sqpwodd  12713  divnumden  12733  phivalfi  12749  phicl2  12751  phiprmpw  12759  crth  12761  phimullem  12762  eulerthlemfi  12765  eulerthlema  12767  hashgcdeq  12777  phisum  12778  odzdvds  12783  powm2modprm  12790  coprimeprodsq  12795  pcprendvds  12828  pcpremul  12831  pceu  12833  pcdiv  12840  pcqcl  12844  pcdvdsb  12858  pc2dvds  12868  pcprmpw2  12871  dvdsprmpweqle  12875  pcadd  12878  fldivp1  12886  pcfaclem  12887  pcfac  12888  pcbc  12889  pockthlem  12894  1arith  12905  mul4sqlem  12931  4sqlemafi  12933  4sqlemffi  12934  4sqleminfi  12935  4sqexercise1  12936  4sqlemsdc  12938  4sqlem11  12939  4sqlem12  12940  4sqlem14  12942  ennnfoneleminc  12997  ennnfonelemrnh  13002  ennnfonelemim  13010  znunit  14638  psrbaglesuppg  14651  psrbagfi  14652  psr1clfi  14667  elply2  15424  plyf  15426  elplyd  15430  ply1termlem  15431  ply1term  15432  plyaddlem1  15436  plymullem1  15437  plyaddlem  15438  plycoeid3  15446  plycolemc  15447  plycjlemc  15449  plycn  15451  plyrecj  15452  dvply1  15454  dvply2g  15455  wilthlem1  15669  sgmppw  15681  lgsval  15698  lgsfvalg  15699  lgsfcl2  15700  lgsval2lem  15704  lgsmod  15720  lgsdir2  15727  lgsne0  15732  lgsprme0  15736  gausslemma2dlem0h  15750  gausslemma2dlem0i  15751  gausslemma2dlem2  15756  gausslemma2dlem6  15761  gausslemma2d  15763  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgseisenlem4  15767  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  m1lgs  15779  2lgslem1a  15782  2lgslem3a  15787  2lgslem3b  15788  2lgslem3c  15789  2lgslem3d  15790  2lgslem3d1  15794  2lgs  15798  2lgsoddprmlem2  15800  2lgsoddprm  15807  2sqlem8  15817  wksfval  16063  wlkex  16066  iswlkg  16070  clwwlkccatlem  16137  umgrclwwlkge2  16139  nninffeq  16446