Theorem nn0zd 9513

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9410	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3195	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  nnzd  9514  xnn0dcle  9944  xnn0letri  9945  fseq1p1m1  10236  difelfznle  10277  flltdivnn0lt  10469  zmodfz  10513  addmodid  10539  modaddmodup  10554  modaddmodlo  10555  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  expnegzap  10740  expaddzaplem  10749  expaddzap  10750  expmulzap  10752  nn0ltexp2  10876  nn0opthd  10889  facdiv  10905  facwordi  10907  faclbnd  10908  facavg  10913  bcval  10916  bcval5  10930  bcpasc  10933  hashfiv01gt1  10949  isfinite4im  10959  fihashneq0  10961  fseq1hash  10968  fnfz0hash  10999  ffzo0hash  11001  zfz1isolemiso  11006  wrdfin  11035  wrdffz  11037  wrdsymb0  11048  wrdlenge1n0  11049  lswwrd  11062  ccatfvalfi  11071  ccatcl  11072  ccatlen  11074  ccatval2  11077  ccatval3  11078  ccatvalfn  11080  ccatsymb  11081  ccatval21sw  11084  ccatass  11087  ccatrn  11088  lswccatn0lsw  11090  ccats1val2  11115  ccat1st1st  11116  fzowrddc  11123  swrdnd  11135  swrdspsleq  11143  swrdccat2  11147  pfxval  11150  pfxwrdsymbg  11166  pfxtrcfv0  11170  pfxtrcfvl  11173  ccatpfx  11177  pfxccat1  11178  lenrevpfxcctswrd  11188  wrdind  11198  wrd2ind  11199  resqrexlemga  11409  zabscl  11472  fsum0diaglem  11826  modfsummodlemstep  11843  binomlem  11869  binom1p  11871  binom1dif  11873  arisum2  11885  geosergap  11892  geoserap  11893  pwm1geoserap1  11894  geolim2  11898  cvgratnnlemrate  11916  mertenslemi1  11921  mertenslem2  11922  mertensabs  11923  efcvgfsum  12053  efaddlem  12060  dvdsdc  12184  divalglemnn  12304  divalgmod  12313  bitsfzolem  12340  bitsfzo  12341  bitsmod  12342  bitsfi  12343  bitsinv1lem  12347  bitsinv1  12348  zeqzmulgcd  12366  gcd0id  12375  gcdneg  12378  gcdaddm  12380  modgcd  12387  gcdmultipled  12389  bezoutlemnewy  12392  bezoutlemstep  12393  bezoutlemmain  12394  bezoutlemzz  12398  bezoutlemmo  12402  bezoutlemle  12404  bezoutlemsup  12405  dfgcd3  12406  dvdsgcdb  12409  gcdass  12411  mulgcd  12412  gcdzeq  12418  dvdsmulgcd  12421  bezoutr  12428  bezoutr1  12429  nn0seqcvgd  12438  algfx  12449  eucalgval2  12450  eucalginv  12453  eucalglt  12454  eucalg  12456  gcddvdslcm  12470  lcmneg  12471  lcmgcdlem  12474  lcmdvds  12476  lcmgcdeq  12480  lcmdvdsb  12481  lcmass  12482  mulgcddvds  12491  rpmulgcd2  12492  qredeu  12494  divgcdcoprm0  12498  divgcdcoprmex  12499  cncongr1  12500  cncongr2  12501  sqnprm  12533  rpexp  12550  sqpweven  12572  2sqpwodd  12573  divnumden  12593  phivalfi  12609  phicl2  12611  phiprmpw  12619  crth  12621  phimullem  12622  eulerthlemfi  12625  eulerthlema  12627  hashgcdeq  12637  phisum  12638  odzdvds  12643  powm2modprm  12650  coprimeprodsq  12655  pcprendvds  12688  pcpremul  12691  pceu  12693  pcdiv  12700  pcqcl  12704  pcdvdsb  12718  pc2dvds  12728  pcprmpw2  12731  dvdsprmpweqle  12735  pcadd  12738  fldivp1  12746  pcfaclem  12747  pcfac  12748  pcbc  12749  pockthlem  12754  1arith  12765  mul4sqlem  12791  4sqlemafi  12793  4sqlemffi  12794  4sqleminfi  12795  4sqexercise1  12796  4sqlemsdc  12798  4sqlem11  12799  4sqlem12  12800  4sqlem14  12802  ennnfoneleminc  12857  ennnfonelemrnh  12862  ennnfonelemim  12870  znunit  14496  psrbaglesuppg  14509  psrbagfi  14510  psr1clfi  14525  elply2  15282  plyf  15284  elplyd  15288  ply1termlem  15289  ply1term  15290  plyaddlem1  15294  plymullem1  15295  plyaddlem  15296  plycoeid3  15304  plycolemc  15305  plycjlemc  15307  plycn  15309  plyrecj  15310  dvply1  15312  dvply2g  15313  wilthlem1  15527  sgmppw  15539  lgsval  15556  lgsfvalg  15557  lgsfcl2  15558  lgsval2lem  15562  lgsmod  15578  lgsdir2  15585  lgsne0  15590  lgsprme0  15594  gausslemma2dlem0h  15608  gausslemma2dlem0i  15609  gausslemma2dlem2  15614  gausslemma2dlem6  15619  gausslemma2d  15621  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem3  15624  lgseisenlem4  15625  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  m1lgs  15637  2lgslem1a  15640  2lgslem3a  15645  2lgslem3b  15646  2lgslem3c  15647  2lgslem3d  15648  2lgslem3d1  15652  2lgs  15656  2lgsoddprmlem2  15658  2lgsoddprm  15665  2sqlem8  15675  nninffeq  16098