Theorem nn0zd 9600

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9497	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3225	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  nnzd  9601  eluzmn  9762  xnn0dcle  10037  xnn0letri  10038  fseq1p1m1  10329  difelfznle  10370  flltdivnn0lt  10565  zmodfz  10609  addmodid  10635  modaddmodup  10650  modaddmodlo  10651  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  expnegzap  10836  expaddzaplem  10845  expaddzap  10846  expmulzap  10848  nn0ltexp2  10972  nn0opthd  10985  facdiv  11001  facwordi  11003  faclbnd  11004  facavg  11009  bcval  11012  bcval5  11026  bcpasc  11029  hashfiv01gt1  11045  isfinite4im  11055  fihashneq0  11057  fseq1hash  11065  fnfz0hash  11097  ffzo0hash  11099  zfz1isolemiso  11104  wrdfin  11136  wrdffz  11138  wrdsymb0  11150  wrdlenge1n0  11151  lswwrd  11164  ccatfvalfi  11173  ccatcl  11174  ccatlen  11176  ccatval2  11179  ccatval3  11180  ccatvalfn  11182  ccatsymb  11183  ccatval21sw  11186  ccatass  11189  ccatrn  11190  lswccatn0lsw  11192  ccatalpha  11194  ccats1val2  11221  ccat1st1st  11222  fzowrddc  11232  swrdnd  11244  swrdspsleq  11252  swrdccat2  11256  pfxval  11259  pfxwrdsymbg  11275  pfxtrcfv0  11279  pfxtrcfvl  11282  ccatpfx  11286  pfxccat1  11287  lenrevpfxcctswrd  11297  wrdind  11307  wrd2ind  11308  swrdccatin1  11310  swrdccatin2  11314  pfxccatin12  11318  swrdccat  11320  pfxccatpfx2  11322  pfxccat3a  11323  swrdccat3blem  11324  swrdccat3b  11325  resqrexlemga  11588  zabscl  11651  fsum0diaglem  12006  modfsummodlemstep  12023  binomlem  12049  binom1p  12051  binom1dif  12053  arisum2  12065  geosergap  12072  geoserap  12073  pwm1geoserap1  12074  geolim2  12078  cvgratnnlemrate  12096  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  mertensabs  12103  efcvgfsum  12233  efaddlem  12240  dvdsdc  12364  divalglemnn  12484  divalgmod  12493  bitsfzolem  12520  bitsfzo  12521  bitsmod  12522  bitsfi  12523  bitsinv1lem  12527  bitsinv1  12528  zeqzmulgcd  12546  gcd0id  12555  gcdneg  12558  gcdaddm  12560  modgcd  12567  gcdmultipled  12569  bezoutlemnewy  12572  bezoutlemstep  12573  bezoutlemmain  12574  bezoutlemzz  12578  bezoutlemmo  12582  bezoutlemle  12584  bezoutlemsup  12585  dfgcd3  12586  dvdsgcdb  12589  gcdass  12591  mulgcd  12592  gcdzeq  12598  dvdsmulgcd  12601  bezoutr  12608  bezoutr1  12609  nn0seqcvgd  12618  algfx  12629  eucalgval2  12630  eucalginv  12633  eucalglt  12634  eucalg  12636  gcddvdslcm  12650  lcmneg  12651  lcmgcdlem  12654  lcmdvds  12656  lcmgcdeq  12660  lcmdvdsb  12661  lcmass  12662  mulgcddvds  12671  rpmulgcd2  12672  qredeu  12674  divgcdcoprm0  12678  divgcdcoprmex  12679  cncongr1  12680  cncongr2  12681  sqnprm  12713  rpexp  12730  sqpweven  12752  2sqpwodd  12753  divnumden  12773  phivalfi  12789  phicl2  12791  phiprmpw  12799  crth  12801  phimullem  12802  eulerthlemfi  12805  eulerthlema  12807  hashgcdeq  12817  phisum  12818  odzdvds  12823  powm2modprm  12830  coprimeprodsq  12835  pcprendvds  12868  pcpremul  12871  pceu  12873  pcdiv  12880  pcqcl  12884  pcdvdsb  12898  pc2dvds  12908  pcprmpw2  12911  dvdsprmpweqle  12915  pcadd  12918  fldivp1  12926  pcfaclem  12927  pcfac  12928  pcbc  12929  pockthlem  12934  1arith  12945  mul4sqlem  12971  4sqlemafi  12973  4sqlemffi  12974  4sqleminfi  12975  4sqexercise1  12976  4sqlemsdc  12978  4sqlem11  12979  4sqlem12  12980  4sqlem14  12982  ennnfoneleminc  13037  ennnfonelemrnh  13042  ennnfonelemim  13050  znunit  14679  psrbaglesuppg  14692  psrbagfi  14693  psr1clfi  14708  elply2  15465  plyf  15467  elplyd  15471  ply1termlem  15472  ply1term  15473  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plyaddlem  15479  plycoeid3  15487  plycolemc  15488  plycjlemc  15490  plycn  15492  plyrecj  15493  dvply1  15495  dvply2g  15496  wilthlem1  15710  sgmppw  15722  lgsval  15739  lgsfvalg  15740  lgsfcl2  15741  lgsval2lem  15745  lgsmod  15761  lgsdir2  15768  lgsne0  15773  lgsprme0  15777  gausslemma2dlem0h  15791  gausslemma2dlem0i  15792  gausslemma2dlem2  15797  gausslemma2dlem6  15802  gausslemma2d  15804  lgseisenlem1  15805  lgseisenlem2  15806  lgseisenlem3  15807  lgseisenlem4  15808  lgsquadlem1  15812  lgsquadlem2  15813  m1lgs  15820  2lgslem1a  15823  2lgslem3a  15828  2lgslem3b  15829  2lgslem3c  15830  2lgslem3d  15831  2lgslem3d1  15835  2lgs  15839  2lgsoddprmlem2  15841  2lgsoddprm  15848  2sqlem8  15858  vdegp1bid  16172  wksfval  16179  wlkex  16182  iswlkg  16186  clwwlkccatlem  16257  umgrclwwlkge2  16259  clwwlknonex2lem2  16295  eupthfi  16308  eupth2lem3lem3fi  16327  eupth2lem3lem4fi  16330  eupth2lem3fi  16333  eupth2lemsfi  16335  nninffeq  16648  gfsumval  16707  gsumgfsum1  16708