ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recriota GIF version

Theorem recriota 7891
Description: Two ways to express the reciprocal of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
recriota (๐‘ โˆˆ N โ†’ (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘™,๐‘Ÿ,๐‘ข

Proof of Theorem recriota
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pitore 7851 . . 3 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
2 pitoregt0 7850 . . 3 (๐‘ โˆˆ N โ†’ 0 <โ„ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
3 axprecex 7881 . . 3 ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง 0 <โ„ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))
41, 2, 3syl2anc 411 . 2 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))
5 simprrr 540 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1)
6 simprl 529 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
71adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
82adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ 0 <โ„ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
9 rereceu 7890 . . . . . 6 ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง 0 <โ„ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1)
107, 8, 9syl2anc 411 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1)
11 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ))
1211eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1 โ†” (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))
1312riota2 5855 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†” (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = ๐‘ฆ))
146, 10, 13syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†” (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = ๐‘ฆ))
155, 14mpbid 147 . . 3 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = ๐‘ฆ)
165oveq2d 5893 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ)) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท 1))
17 axresscn 7861 . . . . . . . . . 10 โ„ โŠ† โ„‚
1817, 7sselid 3155 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚)
19 recnnre 7852 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
2019adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
2117, 20sselid 3155 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚)
22 axmulcom 7872 . . . . . . . . 9 ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚ โˆง โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ))
2318, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ))
24 recidpirq 7859 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) = 1)
2524adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) = 1)
2623, 25eqtr3d 2212 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) = 1)
2726oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท ๐‘ฆ))
2817, 6sselid 3155 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
29 axmulass 7874 . . . . . . 7 ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚ โˆง โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ)))
3021, 18, 28, 29syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ((โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ) ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ)))
31 ax1cn 7862 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
32 axmulcom 7872 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1))
3331, 28, 32sylancr 414 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 1))
3427, 30, 333eqtr3d 2218 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยท 1))
35 ax1rid 7878 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฆ ยท 1) = ๐‘ฆ)
366, 35syl 14 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (๐‘ฆ ยท 1) = ๐‘ฆ)
3734, 36eqtrd 2210 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
38 ax1rid 7878 . . . . 5 (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท 1) = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
3920, 38syl 14 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท 1) = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
4016, 37, 393eqtr3d 2218 . . 3 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
4115, 40eqtrd 2210 . 2 ((๐‘ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ ๐‘ฆ โˆง (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = 1))) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
424, 41rexlimddv 2599 1 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (โ„ฉ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ (โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ ยท ๐‘Ÿ) = 1) = โŸจ[โŸจ(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ +P 1P), 1PโŸฉ] ~R , 0RโŸฉ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  โˆƒwrex 2456  โˆƒ!wreu 2457  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  โ„ฉcrio 5832  (class class class)co 5877  1oc1o 6412  [cec 6535  Ncnpi 7273   ~Q ceq 7280  *Qcrq 7285   <Q cltq 7286  1Pc1p 7293   +P cpp 7294   ~R cer 7297  0Rc0r 7299  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   <โ„ cltrr 7817   ยท cmul 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-imp 7470  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-mr 7730  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-1r 7733  df-m1r 7734  df-c 7819  df-0 7820  df-1 7821  df-r 7823  df-mul 7825  df-lt 7826
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7899
  Copyright terms: Public domain W3C validator