ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcl2lemap GIF version

Theorem expcl2lemap 10317
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lemap ((𝐴𝐹𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9080 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 ∈ 𝐹
52, 3, 4expcllem 10316 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
65ex 114 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
76adantr 274 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
8 simpll 518 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴𝐹)
92, 8sseldi 3095 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 519 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11 simprl 520 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1211recnd 7806 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 nnnn0 8996 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
1413ad2antll 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15 expineg2 10314 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
169, 10, 12, 14, 15syl22anc 1217 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17 ssrab2 3182 . . . . . . . 8 {𝑧𝐹𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18 simpl 108 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐹𝐴 # 0))
19 breq1 3932 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2019elrab 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝐴𝐹𝐴 # 0))
2118, 20sylibr 133 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
2217, 2sstri 3106 . . . . . . . . . 10 {𝑧𝐹𝑧 # 0} ⊆ ℂ
2317sseli 3093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → 𝑥𝐹)
2417sseli 3093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → 𝑦𝐹)
2523, 24, 3syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
2726elrab 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝑥𝐹𝑥 # 0))
282sseli 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑥 ∈ ℂ)
2928anim1i 338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
3027, 29sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
3231elrab 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝑦𝐹𝑦 # 0))
332sseli 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐹𝑦 ∈ ℂ)
3433anim1i 338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐹𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
3532, 34sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36 mulap0 8427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
3730, 35, 36syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
3938elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
4025, 37, 39sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
41 1ap0 8364 . . . . . . . . . . 11 1 # 0
42 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
4342elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
444, 41, 43mpbir2an 926 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}
4522, 40, 44expcllem 10316 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
4621, 14, 45syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
4717, 46sseldi 3095 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48 breq1 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
4948elrab 2840 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
5046, 49sylib 121 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
5150simprd 113 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53 oveq2 5782 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
5453eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5552, 54imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56 expcl2lemap.4 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
5756ex 114 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
5855, 57vtoclga 2752 . . . . . . 7 ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5947, 51, 58sylc 62 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
6016, 59eqeltrd 2216 . . . . 5 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
6160ex 114 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
627, 61jaod 706 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
631, 62syl5bi 151 . 2 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
64633impia 1178 1 ((𝐴𝐹𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   · cmul 7637  -cneg 7946   # cap 8355   / cdiv 8444  cn 8732  0cn0 8989  cz 9066  cexp 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-exp 10305
This theorem is referenced by:  rpexpcl  10324  reexpclzap  10325  qexpclz  10326  m1expcl2  10327  expclzaplem  10329  1exp  10334
  Copyright terms: Public domain W3C validator