Theorem expcl2lemap 10305

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lemap	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9068	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 10304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sseldi 3095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		nnnn0 8984	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15		expineg2 10302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl22anc 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17		ssrab2 3182	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
19		breq1 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	19	elrab 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
21	18, 20	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
22	17, 2	sstri 3106	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
23	17	sseli 3093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	17	sseli 3093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑦 ∈ 𝐹)
25	23, 24, 3	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
27	26	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0))
28	2	sseli 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
30	27, 29	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
32	31	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0))
33	2	sseli 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
34	33	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
35	32, 34	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36		mulap0 8415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
37	30, 35, 36	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38		breq1 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
39	38	elrab 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
40	25, 37, 39	sylanbrc 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
41		1ap0 8352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 # 0
42		breq1 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
43	42	elrab 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
44	4, 41, 43	mpbir2an 926	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}
45	22, 40, 44	expcllem 10304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
46	21, 14, 45	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
47	17, 46	sseldi 3095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48		breq1 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
49	48	elrab 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
50	46, 49	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
51	50	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
54	53	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
55	52, 54	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56		expcl2lemap.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
57	56	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
58	55, 57	vtoclga 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
59	47, 51, 58	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
60	16, 59	eqeltrd 2216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
61	60	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
62	7, 61	jaod 706	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
63	1, 62	syl5bi 151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
64	63	3impia 1178	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ↑cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  rpexpcl  10312  reexpclzap  10313  qexpclz  10314  m1expcl2  10315  expclzaplem  10317  1exp  10322