ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcl2lemap GIF version

Theorem expcl2lemap 10518
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lemap ((𝐴𝐹𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9256 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 ∈ 𝐹
52, 3, 4expcllem 10517 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
65ex 115 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
76adantr 276 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
8 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴𝐹)
92, 8sselid 3153 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1211recnd 7976 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 nnnn0 9172 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
1413ad2antll 491 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15 expineg2 10515 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
169, 10, 12, 14, 15syl22anc 1239 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17 ssrab2 3240 . . . . . . . 8 {𝑧𝐹𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18 simpl 109 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐹𝐴 # 0))
19 breq1 4003 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2019elrab 2893 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝐴𝐹𝐴 # 0))
2118, 20sylibr 134 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
2217, 2sstri 3164 . . . . . . . . . 10 {𝑧𝐹𝑧 # 0} ⊆ ℂ
2317sseli 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → 𝑥𝐹)
2417sseli 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → 𝑦𝐹)
2523, 24, 3syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
2726elrab 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝑥𝐹𝑥 # 0))
282sseli 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑥 ∈ ℂ)
2928anim1i 340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
3027, 29sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
3231elrab 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (𝑦𝐹𝑦 # 0))
332sseli 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐹𝑦 ∈ ℂ)
3433anim1i 340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐹𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
3532, 34sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36 mulap0 8600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
3730, 35, 36syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
3938elrab 2893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
4025, 37, 39sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
41 1ap0 8537 . . . . . . . . . . 11 1 # 0
42 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
4342elrab 2893 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
444, 41, 43mpbir2an 942 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0}
4522, 40, 44expcllem 10517 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
4621, 14, 45syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0})
4717, 46sselid 3153 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48 breq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
4948elrab 2893 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧𝐹𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
5046, 49sylib 122 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
5150simprd 114 . . . . . . 7 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
5453eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5552, 54imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56 expcl2lemap.4 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
5756ex 115 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
5855, 57vtoclga 2803 . . . . . . 7 ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
5947, 51, 58sylc 62 . . . . . 6 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
6016, 59eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝐴𝐹𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
6160ex 115 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
627, 61jaod 717 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
631, 62biimtrid 152 . 2 ((𝐴𝐹𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
64633impia 1200 1 ((𝐴𝐹𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  rpexpcl  10525  reexpclzap  10526  qexpclz  10527  m1expcl2  10528  expclzaplem  10530  1exp  10535
  Copyright terms: Public domain W3C validator