Theorem expcl2lemap 10768

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lemap	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9456	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 10767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		nnnn0 9372	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15		expineg2 10765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl22anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17		ssrab2 3309	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
19		breq1 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	19	elrab 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
22	17, 2	sstri 3233	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
23	17	sseli 3220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	17	sseli 3220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑦 ∈ 𝐹)
25	23, 24, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
27	26	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0))
28	2	sseli 3220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
30	27, 29	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
32	31	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0))
33	2	sseli 3220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
35	32, 34	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36		mulap0 8797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
37	30, 35, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38		breq1 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
39	38	elrab 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
40	25, 37, 39	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
41		1ap0 8733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 # 0
42		breq1 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
43	42	elrab 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
44	4, 41, 43	mpbir2an 948	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}
45	22, 40, 44	expcllem 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
46	21, 14, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
47	17, 46	sselid 3222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
49	48	elrab 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
50	46, 49	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
51	50	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52		breq1 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
54	53	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
55	52, 54	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56		expcl2lemap.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
57	56	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
58	55, 57	vtoclga 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
59	47, 51, 58	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
60	16, 59	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
61	60	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
62	7, 61	jaod 722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
63	1, 62	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
64	63	3impia 1224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   · cmul 8000  -cneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ↑cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  rpexpcl  10775  reexpclzap  10776  qexpclz  10777  m1expcl2  10778  expclzaplem  10780  1exp  10785