Theorem expcl2lemap 10740

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lemap	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9428	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 10739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		nnnn0 9344	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15		expineg2 10737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl22anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17		ssrab2 3289	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
19		breq1 4065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	19	elrab 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
22	17, 2	sstri 3213	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
23	17	sseli 3200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	17	sseli 3200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑦 ∈ 𝐹)
25	23, 24, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26		breq1 4065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
27	26	elrab 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0))
28	2	sseli 3200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
30	27, 29	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31		breq1 4065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
32	31	elrab 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0))
33	2	sseli 3200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
35	32, 34	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36		mulap0 8769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
37	30, 35, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38		breq1 4065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
39	38	elrab 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
40	25, 37, 39	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
41		1ap0 8705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 # 0
42		breq1 4065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
43	42	elrab 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
44	4, 41, 43	mpbir2an 947	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}
45	22, 40, 44	expcllem 10739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
46	21, 14, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
47	17, 46	sselid 3202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48		breq1 4065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
49	48	elrab 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
50	46, 49	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
51	50	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52		breq1 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53		oveq2 5982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
54	53	eleq1d 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
55	52, 54	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56		expcl2lemap.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
57	56	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
58	55, 57	vtoclga 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
59	47, 51, 58	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
60	16, 59	eqeltrd 2286	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
61	60	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
62	7, 61	jaod 721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
63	1, 62	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
64	63	3impia 1205	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 712   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {crab 2492   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   · cmul 7972  -cneg 8286   # cap 8696   / cdiv 8787  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ↑cexp 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by:  rpexpcl  10747  reexpclzap  10748  qexpclz  10749  m1expcl2  10750  expclzaplem  10752  1exp  10757