Theorem expcl2lemap 10940

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lemap	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9611	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 10939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		nnnn0 9523	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15		expineg2 10937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl22anc 1275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17		ssrab2 3327	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
19		breq1 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	19	elrab 2976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
22	17, 2	sstri 3251	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
23	17	sseli 3238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	17	sseli 3238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑦 ∈ 𝐹)
25	23, 24, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
27	26	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0))
28	2	sseli 3238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
30	27, 29	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
32	31	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0))
33	2	sseli 3238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
35	32, 34	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36		mulap0 8946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
37	30, 35, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
39	38	elrab 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
40	25, 37, 39	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
41		1ap0 8882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 # 0
42		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
43	42	elrab 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
44	4, 41, 43	mpbir2an 951	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}
45	22, 40, 44	expcllem 10939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
46	21, 14, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
47	17, 46	sselid 3240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48		breq1 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
49	48	elrab 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
50	46, 49	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
51	50	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52		breq1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
54	53	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
55	52, 54	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56		expcl2lemap.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
57	56	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
58	55, 57	vtoclga 2883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
59	47, 51, 58	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
60	16, 59	eqeltrd 2311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
61	60	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
62	7, 61	jaod 725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
63	1, 62	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
64	63	3impia 1227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148  -cneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ↑cexp 10927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-seqfrec 10837  df-exp 10928

This theorem is referenced by:  rpexpcl  10947  reexpclzap  10948  qexpclz  10949  m1expcl2  10950  expclzaplem  10952  1exp  10957