Theorem expcl2lemap 10518

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lemap.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lemap	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lemap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9256	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 10517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sselid 3153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		nnnn0 9172	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
15		expineg2 10515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl22anc 1239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
17		ssrab2 3240	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ 𝐹
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
19		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	19	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0))
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
22	17, 2	sstri 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
23	17	sseli 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑥 ∈ 𝐹)
24	17	sseli 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → 𝑦 ∈ 𝐹)
25	23, 24, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
26		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
27	26	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0))
28	2	sseli 3151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
30	27, 29	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
31		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
32	31	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0))
33	2	sseli 3151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 # 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
35	32, 34	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36		mulap0 8600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
37	30, 35, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
38		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
39	38	elrab 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
40	25, 37, 39	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
41		1ap0 8537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 # 0
42		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
43	42	elrab 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 # 0))
44	4, 41, 43	mpbir2an 942	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0}
45	22, 40, 44	expcllem 10517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
46	21, 14, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0})
47	17, 46	sselid 3153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
48		breq1 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑧 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
49	48	elrab 2893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝐹 ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
50	46, 49	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) # 0))
51	50	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) # 0)
52		breq1 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 # 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) # 0))
53		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
54	53	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
55	52, 54	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
56		expcl2lemap.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
57	56	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 # 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
58	55, 57	vtoclga 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) # 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
59	47, 51, 58	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
60	16, 59	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
61	60	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
62	7, 61	jaod 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
63	1, 62	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
64	63	3impia 1200	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ↑cexp 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506

This theorem is referenced by:  rpexpcl  10525  reexpclzap  10526  qexpclz  10527  m1expcl2  10528  expclzaplem  10530  1exp  10535