ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcl2lemap GIF version

Theorem expcl2lemap 10532
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โŠ† โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
expcl2lemap.4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ # 0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
Assertion
Ref Expression
expcl2lemap ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcl2lemap
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9267 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 ๐น โŠ† โ„‚
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 โˆˆ ๐น
52, 3, 4expcllem 10531 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
65ex 115 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
76adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
8 simpll 527 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐น)
92, 8sselid 3154 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 528 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
11 simprl 529 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211recnd 7986 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13 nnnn0 9183 . . . . . . . 8 (-๐ต โˆˆ โ„• โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
1413ad2antll 491 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„•0)
15 expineg2 10529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
169, 10, 12, 14, 15syl22anc 1239 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
17 ssrab2 3241 . . . . . . . 8 {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โŠ† ๐น
18 simpl 109 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0))
19 breq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” ๐ด # 0))
2019elrab 2894 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0))
2118, 20sylibr 134 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0})
2217, 2sstri 3165 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โŠ† โ„‚
2317sseli 3152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐น)
2417sseli 3152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐น)
2523, 24, 3syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
26 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” ๐‘ฅ # 0))
2726elrab 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ # 0))
282sseli 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2928anim1i 340 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ # 0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ # 0))
3027, 29sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ # 0))
31 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” ๐‘ฆ # 0))
3231elrab 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ # 0))
332sseli 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐น โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3433anim1i 340 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ # 0) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
3532, 34sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
36 mulap0 8611 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ # 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) # 0)
3730, 35, 36syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) # 0)
38 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) # 0))
3938elrab 2894 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) # 0))
4025, 37, 39sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0})
41 1ap0 8547 . . . . . . . . . . 11 1 # 0
42 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” 1 # 0))
4342elrab 2894 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” (1 โˆˆ ๐น โˆง 1 # 0))
444, 41, 43mpbir2an 942 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0}
4522, 40, 44expcllem 10531 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โˆง -๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0})
4621, 14, 45syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0})
4717, 46sselid 3154 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น)
48 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (๐‘ง # 0 โ†” (๐ดโ†‘-๐ต) # 0))
4948elrab 2894 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ ๐น โˆฃ ๐‘ง # 0} โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) # 0))
5046, 49sylib 122 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘-๐ต) # 0))
5150simprd 114 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐ต) # 0)
52 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (๐‘ฅ # 0 โ†” (๐ดโ†‘-๐ต) # 0))
53 oveq2 5883 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)))
5453eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น โ†” (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
5552, 54imbi12d 234 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ดโ†‘-๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ # 0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น) โ†” ((๐ดโ†‘-๐ต) # 0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)))
56 expcl2lemap.4 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฅ # 0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น)
5756ex 115 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ฅ # 0 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ ๐น))
5855, 57vtoclga 2804 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘-๐ต) โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘-๐ต) # 0 โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น))
5947, 51, 58sylc 62 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐ต)) โˆˆ ๐น)
6016, 59eqeltrd 2254 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
6160ex 115 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
627, 61jaod 717 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
631, 62biimtrid 152 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
64633impia 1200 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {crab 2459   โŠ† wss 3130   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ†‘cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  rpexpcl  10539  reexpclzap  10540  qexpclz  10541  m1expcl2  10542  expclzaplem  10544  1exp  10549
  Copyright terms: Public domain W3C validator