ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxms2 GIF version

Theorem isxms2 13246
Description: Express the predicate "𝑋, 𝐷 is an extended metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isxms2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isxms2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isms.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2 isms.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐾)
3 isms.d . . 3 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
41, 2, 3isxms 13245 . 2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
52, 1istps 12824 . . . 4 (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 df-mopn 12785 . . . . . . . . . 10 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 5107 . . . . . . . . 9 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
8 mopnrel 13235 . . . . . . . . . 10 Rel MetOpen
9 toponmax 12817 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
109adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋𝐽)
11 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1210, 11eleqtrd 2249 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷))
13 relelfvdm 5528 . . . . . . . . . 10 ((Rel MetOpen ∧ 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
148, 12, 13sylancr 412 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
157, 14sselid 3145 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ran ∞Met)
16 xmetunirn 13152 . . . . . . . 8 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
18 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1918mopntopon 13237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2017, 19syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2247 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
22 toponuni 12807 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
24 toponuni 12807 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2524adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 = 𝐽)
2623, 25eqtr4d 2206 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝑋)
2726fveq2d 5500 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (∞Met‘dom dom 𝐷) = (∞Met‘𝑋))
2817, 27eleqtrd 2249 . . . . . 6 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2928ex 114 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3018mopntopon 13237 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋))
31 eleq1 2233 . . . . . 6 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋)))
3230, 31syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)))
3329, 32impbid 128 . . . 4 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
345, 33syl5bb 191 . . 3 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3534pm5.32ri 452 . 2 ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
364, 35bitri 183 1 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141   cuni 3796   × cxp 4609  dom cdm 4611  ran crn 4612  cres 4613  Rel wrel 4616  cfv 5198  Basecbs 12416  distcds 12489  TopOpenctopn 12580  topGenctg 12594  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776  MetOpencmopn 12779  TopOnctopon 12802  TopSpctps 12822  ∞MetSpcxms 13130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-topsp 12823  df-bases 12835  df-xms 13133
This theorem is referenced by:  isms2  13248  xmsxmet  13254
  Copyright terms: Public domain W3C validator