ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxms2 GIF version

Theorem isxms2 12548
Description: Express the predicate "𝑋, 𝐷 is an extended metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isxms2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isxms2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isms.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2 isms.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐾)
3 isms.d . . 3 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
41, 2, 3isxms 12547 . 2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
52, 1istps 12126 . . . 4 (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 df-mopn 12087 . . . . . . . . . 10 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 5005 . . . . . . . . 9 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
8 mopnrel 12537 . . . . . . . . . 10 Rel MetOpen
9 toponmax 12119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
109adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋𝐽)
11 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1210, 11eleqtrd 2196 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷))
13 relelfvdm 5421 . . . . . . . . . 10 ((Rel MetOpen ∧ 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
148, 12, 13sylancr 410 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
157, 14sseldi 3065 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ran ∞Met)
16 xmetunirn 12454 . . . . . . . 8 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
18 eqid 2117 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1918mopntopon 12539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2017, 19syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2194 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
22 toponuni 12109 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
24 toponuni 12109 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2524adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 = 𝐽)
2623, 25eqtr4d 2153 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝑋)
2726fveq2d 5393 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (∞Met‘dom dom 𝐷) = (∞Met‘𝑋))
2817, 27eleqtrd 2196 . . . . . 6 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2928ex 114 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3018mopntopon 12539 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋))
31 eleq1 2180 . . . . . 6 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋)))
3230, 31syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)))
3329, 32impbid 128 . . . 4 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
345, 33syl5bb 191 . . 3 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3534pm5.32ri 450 . 2 ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
364, 35bitri 183 1 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465   cuni 3706   × cxp 4507  dom cdm 4509  ran crn 4510  cres 4511  Rel wrel 4514  cfv 5093  Basecbs 11886  distcds 11957  TopOpenctopn 12048  topGenctg 12062  ∞Metcxmet 12076  ballcbl 12078  MetOpencmopn 12081  TopOnctopon 12104  TopSpctps 12124  ∞MetSpcxms 12432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-xneg 9527  df-xadd 9528  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-ndx 11889  df-slot 11890  df-base 11892  df-tset 11967  df-rest 12049  df-topn 12050  df-topgen 12068  df-psmet 12083  df-xmet 12084  df-bl 12086  df-mopn 12087  df-top 12092  df-topon 12105  df-topsp 12125  df-bases 12137  df-xms 12435
This theorem is referenced by:  isms2  12550  xmsxmet  12556
  Copyright terms: Public domain W3C validator