Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxms2 GIF version

Theorem isxms2 12680
 Description: Express the predicate "⟨𝑋, 𝐷⟩ is an extended metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isxms2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isxms2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isms.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2 isms.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐾)
3 isms.d . . 3 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
41, 2, 3isxms 12679 . 2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
52, 1istps 12258 . . . 4 (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 df-mopn 12219 . . . . . . . . . 10 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 5044 . . . . . . . . 9 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
8 mopnrel 12669 . . . . . . . . . 10 Rel MetOpen
9 toponmax 12251 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
109adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋𝐽)
11 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1210, 11eleqtrd 2219 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷))
13 relelfvdm 5462 . . . . . . . . . 10 ((Rel MetOpen ∧ 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
148, 12, 13sylancr 411 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
157, 14sseldi 3101 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ran ∞Met)
16 xmetunirn 12586 . . . . . . . 8 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
18 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1918mopntopon 12671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2017, 19syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2217 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
22 toponuni 12241 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝐽)
24 toponuni 12241 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2524adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 = 𝐽)
2623, 25eqtr4d 2176 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝑋)
2726fveq2d 5434 . . . . . . 7 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (∞Met‘dom dom 𝐷) = (∞Met‘𝑋))
2817, 27eleqtrd 2219 . . . . . 6 ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2928ex 114 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3018mopntopon 12671 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋))
31 eleq1 2203 . . . . . 6 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋)))
3230, 31syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)))
3329, 32impbid 128 . . . 4 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
345, 33syl5bb 191 . . 3 (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3534pm5.32ri 451 . 2 ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
364, 35bitri 183 1 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∪ cuni 3745   × cxp 4546  dom cdm 4548  ran crn 4549   ↾ cres 4550  Rel wrel 4553  ‘cfv 5132  Basecbs 12018  distcds 12089  TopOpenctopn 12180  topGenctg 12194  ∞Metcxmet 12208  ballcbl 12210  MetOpencmopn 12213  TopOnctopon 12236  TopSpctps 12256  ∞MetSpcxms 12564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-map 6553  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-5 8826  df-6 8827  df-7 8828  df-8 8829  df-9 8830  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-ndx 12021  df-slot 12022  df-base 12024  df-tset 12099  df-rest 12181  df-topn 12182  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-topsp 12257  df-bases 12269  df-xms 12567 This theorem is referenced by:  isms2  12682  xmsxmet  12688
 Copyright terms: Public domain W3C validator