Theorem nnred 8891

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 8882	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℝcr 7773  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-int 3832  df-inn 8879

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemstep  10204  qbtwnrelemcalc  10212  qbtwnre  10213  flqdiv  10277  modqmulnn  10298  modifeq2int  10342  modaddmodup  10343  modaddmodlo  10344  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  bernneq3  10598  expnbnd  10599  facwordi  10674  faclbnd  10675  faclbnd2  10676  faclbnd3  10677  faclbnd6  10678  facubnd  10679  facavg  10680  bcp1nk  10696  bcval5  10697  caucvgrelemcau  10944  caucvgre  10945  cvg1nlemcxze  10946  cvg1nlemcau  10948  cvg1nlemres  10949  resqrexlemdecn  10976  resqrexlemga  10987  fsum3cvg3  11359  divcnv  11460  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemrate  11493  cvgratz  11495  eftabs  11619  efcllemp  11621  ege2le3  11634  efcj  11636  eftlub  11653  eflegeo  11664  eirraplem  11739  dvdslelemd  11803  nno  11865  nnoddm1d2  11869  divalglemnqt  11879  divalglemeunn  11880  dvdsbnd  11911  sqgcd  11984  uzwodc  11992  lcmgcdlem  12031  ncoprmgcdne1b  12043  prmind2  12074  isprm5lem  12095  coprm  12098  prmfac1  12106  sqrt2irraplemnn  12133  divdenle  12151  qnumgt0  12152  nn0sqrtelqelz  12160  hashdvds  12175  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  odzdvds  12199  pythagtriplem11  12228  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem13  12230  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem19  12236  pclemub  12241  pcpre1  12246  pcidlem  12276  dvdsprmpweqle  12290  pcadd  12293  pcmpt  12295  pcmpt2  12296  pcfaclem  12301  pcfac  12302  qexpz  12304  pockthlem  12308  pockthg  12309  1arith  12319  4sqlem5  12334  4sqlem6  12335  4sqlem10  12339  mul4sqlem  12345  znnen  12353  exmidunben  12381  nninfdclemp1  12405  nninfdclemlt  12406  nninfdclemf1  12407  strleund  12506  logbgcd1irraplemexp  13680  logbgcd1irraplemap  13681  lgslem1  13695  lgsval2lem  13705  lgsdirprm  13729  lgsdir  13730  2sqlem3  13747  2sqlem8  13753  cvgcmp2nlemabs  14064