Theorem nnred 9327

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 9318	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 3246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8185  ℕcn 9314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-int 3971  df-inn 9315

This theorem is used by:  exbtwnzlemstep  10699  qbtwnrelemcalc  10707  qbtwnre  10708  flqdiv  10779  modqmulnn  10800  modifeq2int  10844  modaddmodup  10845  modaddmodlo  10846  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  bernneq3  11121  expnbnd  11122  facwordi  11200  faclbnd  11201  faclbnd2  11202  faclbnd3  11203  faclbnd6  11204  facubnd  11205  facavg  11206  bcp1nk  11222  bcval5  11223  hashf1  11309  caucvgrelemcau  11768  caucvgre  11769  cvg1nlemcxze  11770  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  resqrexlemdecn  11800  resqrexlemga  11811  fsum3cvg3  12188  divcnv  12289  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratnnlemrate  12322  cvgratz  12324  eftabs  12448  efcllemp  12450  ege2le3  12463  efcj  12465  eftlub  12482  eflegeo  12493  eirraplem  12569  dvdslelemd  12635  nno  12698  nnoddm1d2  12702  divalglemnqt  12712  divalglemeunn  12713  bitsfzolem  12746  bitsfzo  12747  bitsinv1lem  12753  dvdsbnd  12758  sqgcd  12831  uzwodc  12839  lcmgcdlem  12880  ncoprmgcdne1b  12892  prmind2  12923  isprm5lem  12945  coprm  12948  prmfac1  12956  sqrt2irraplemnn  12984  divdenle  13002  qnumgt0  13003  nn0sqrtelqelz  13011  hashdvds  13028  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  odzdvds  13053  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem14  13085  pythagtriplem19  13090  pclemub  13095  pcpre1  13100  pcidlem  13131  dvdsprmpweqle  13145  pcadd  13148  pcmpt  13151  pcmpt2  13152  pcfaclem  13157  pcfac  13158  qexpz  13160  pockthlem  13164  pockthg  13165  1arith  13175  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem10  13195  mul4sqlem  13201  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  4sqlem13m  13211  4sqlem14  13212  4sqlem15  13213  4sqlem16  13214  4sqlem17  13215  2expltfac  13248  ballotfilemonn  13279  ballotfilemimin  13307  znnen  13347  exmidunben  13375  nninfdclemp1  13399  nninfdclemlt  13400  nninfdclemf1  13401  strleund  13516  strext  13518  psrbaglesuppg  15171  logfac  16159  logbgcd1irraplemexp  16237  logbgcd1irraplemap  16238  zprmlogbaplem1  16248  zprmlogbaplem2  16249  log2tlbndlog2  16253  birthdaylem3  16260  pellexlem2  16263  wilthlem1  16265  chtqge0  16280  chtqwordi  16296  ppiqltx  16314  chtublem  16328  mersenne  16330  perfectlem2  16333  prmefexple  16341  bposlem1  16344  bposlem2  16345  bposlem3  16346  bposlem4  16347  bposlem5  16348  bposlem6  16349  bposlem7  16350  bposlem9  16352  lgslem1  16357  lgsval2lem  16367  lgsdirprm  16391  lgsdir  16392  gausslemma2dlem0h  16413  gausslemma2dlem1a  16415  gausslemma2dlem2  16419  lgseisenlem1  16427  lgseisenlem2  16428  lgseisenlem3  16429  lgseisen  16431  lgsquadlem1  16434  lgsquadlem2  16435  lgsquadlem3  16436  2sqlem3  16474  2sqlem8  16480  cvgcmp2nlemabs  17320