ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcn GIF version

Theorem dvcn 14203
Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcn (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))

Proof of Theorem dvcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1001 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 eqid 2177 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴)
3 eqid 2177 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
42, 3dvcnp2cntop 14202 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))
54ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))
6 raleq 2673 . . . . 5 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯)))
76biimpd 144 . . . 4 (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯)))
85, 7mpan9 281 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))
93cntoptopon 14071 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
10 simpl3 1002 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
11 simpl1 1000 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1210, 11sstrd 3167 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 resttopon 13710 . . . . 5 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
149, 12, 13sylancr 414 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
15 cncnp 13769 . . . 4 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))))
1614, 9, 15sylancl 413 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))))
171, 8, 16mpbir2and 944 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))))
18 ssid 3177 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
199toponrestid 13560 . . . 4 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt β„‚)
203, 2, 19cncfcncntop 14119 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))))
2112, 18, 20sylancl 413 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))))
2217, 21eleqtrrd 2257 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  dom cdm 4628   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811   βˆ’ cmin 8130  abscabs 11008   β†Ύt crest 12693  MetOpencmopn 13484  TopOnctopon 13549   Cn ccn 13724   CnP ccnp 13725  β€“cnβ†’ccncf 14096   D cdv 14163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-ntr 13635  df-cn 13727  df-cnp 13728  df-tx 13792  df-cncf 14097  df-limced 14164  df-dvap 14165
This theorem is referenced by:  efcn  14228
  Copyright terms: Public domain W3C validator