Theorem dvcn 13024

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 986	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		eqid 2157	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴)
3		eqid 2157	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	2, 3	dvcnp2cntop 13023	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
5	4	ralrimiva 2530	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
6		raleq 2652	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
7	6	biimpd 143	. . . 4 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
8	5, 7	mpan9 279	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
9	3	cntoptopon 12892	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl3 987	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		simpl1 985	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
12	10, 11	sstrd 3138	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		resttopon 12531	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
14	9, 12, 13	sylancr 411	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
15		cncnp 12590	. . . 4 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
16	14, 9, 15	sylancl 410	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
17	1, 8, 16	mpbir2and 929	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
18		ssid 3148	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	9	toponrestid 12379	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
20	3, 2, 19	cncfcncntop 12940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
21	12, 18, 20	sylancl 410	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
22	17, 21	eleqtrrd 2237	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ⊆ wss 3102  dom cdm 4583   ∘ ccom 4587  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713   − cmin 8029  abscabs 10879   ↾_t crest 12311  MetOpencmopn 12345  TopOnctopon 12368   Cn ccn 12545   CnP ccnp 12546  –cn→ccncf 12917   D cdv 12984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837  ax-mulf 7838

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986

This theorem is referenced by:  efcn  13049