Theorem dvcn 15368

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1025	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴)
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	2, 3	dvcnp2cntop 15367	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
5	4	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
6		raleq 2728	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
7	6	biimpd 144	. . . 4 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
8	5, 7	mpan9 281	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
9	3	cntoptopon 15200	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl3 1026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		simpl1 1024	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
12	10, 11	sstrd 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		resttopon 14839	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
14	9, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
15		cncnp 14898	. . . 4 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
16	14, 9, 15	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
17	1, 8, 16	mpbir2and 950	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
18		ssid 3244	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	9	toponrestid 14689	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
20	3, 2, 19	cncfcncntop 15261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
21	12, 18, 20	sylancl 413	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
22	17, 21	eleqtrrd 2309	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  dom cdm 4718   ∘ ccom 4722  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993   − cmin 8313  abscabs 11503   ↾_t crest 13267  MetOpencmopn 14499  TopOnctopon 14678   Cn ccn 14853   CnP ccnp 14854  –cn→ccncf 15238   D cdv 15323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-pm 6796  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  efcn  15436