Theorem dvcn 13304

Description: A differentiable function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcn	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 991	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴)
3		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	2, 3	dvcnp2cntop 13303	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
5	4	ralrimiva 2539	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
6		raleq 2661	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
7	6	biimpd 143	. . . 4 ⊢ (dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)))
8	5, 7	mpan9 279	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))
9	3	cntoptopon 13172	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl3 992	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		simpl1 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
12	10, 11	sstrd 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		resttopon 12811	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
14	9, 12, 13	sylancr 411	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
15		cncnp 12870	. . . 4 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
16	14, 9, 15	sylancl 410	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
17	1, 8, 16	mpbir2and 934	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
18		ssid 3162	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	9	toponrestid 12659	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
20	3, 2, 19	cncfcncntop 13220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
21	12, 18, 20	sylancl 410	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
22	17, 21	eleqtrrd 2246	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ⊆ wss 3116  dom cdm 4604   ∘ ccom 4608  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   − cmin 8069  abscabs 10939   ↾_t crest 12556  MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826  –cn→ccncf 13197   D cdv 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  efcn  13329