Theorem iseqf1olemnab 10572

Description: Lemma for seq3f1o 10588. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnab	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
3		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemnab.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
7	3, 4, 5, 6	iseqf1olemqval 10571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
10	9	iftrued 3564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
11	8, 10	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
12		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
13	4, 3, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
15		f1ofn 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
16	4, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
18		elfzuz 10087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		fzss1 10129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
20	3, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
21		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22		f1of 5500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
23	4, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
24	23, 3	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
25		elfzuz3 10088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		fzss2 10130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)) → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
28	20, 27	sstrd 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
30		elfzubelfz 10102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	31	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		fnfvima 5793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	17, 29, 32, 33	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	14, 34	eqeltrrd 2271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
37	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
43		elfzelz 10091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
45	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
46		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
51	41, 44, 50	3jca 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
53		eqcom 2195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐴)
54	52, 53	sylnib 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
55	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
56		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐴)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝐴)
58		zleloe 9364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
59	41, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
60	57, 59	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
61	54, 60	ecased 1360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
62		zltlem1 9374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
63	41, 48, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
64	61, 63	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
65	50	zred 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
66	48	zred 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	44	zred 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
68	66	lem1d 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
69		elfzle2 10094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
70	55, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
71	65, 66, 67, 68, 70	letrd 8143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
72	64, 71	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
73		elfz2 10081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
74	51, 72, 73	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
75		fnfvima 5793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
76	36, 37, 74, 75	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
77		zdceq 9392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
78	47, 40, 77	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
79	35, 76, 78	ifcldadc 3586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
80	11, 79	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
81	2, 80	eqeltrrd 2271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
82		iseqf1olemnab.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
83	3, 4, 82, 6	iseqf1olemqval 10571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
85		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
86	85	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
87	84, 86	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
88		f1of1 5499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
89	4, 88	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
90		f1elima 5816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
91	89, 82, 28, 90	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
93	85, 92	mtbird 674	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
94	87, 93	eqneltrd 2289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
95	81, 94	pm2.65da 662	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  ifcif 3557   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ^◡ccnv 4658   “ cima 4662   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  –1-1→wf1 5251  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  1c1 7873   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10576