Theorem iseqf1olemnab 10261

Description: Lemma for seq3f1o 10277. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnab	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
3		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemnab.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
7	3, 4, 5, 6	iseqf1olemqval 10260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
8	7	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
9		simprl 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
10	9	iftrued 3481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
11	8, 10	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
12		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
13	4, 3, 12	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
14	13	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
15		f1ofn 5368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
16	4, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
18		elfzuz 9802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		fzss1 9843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
20	3, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
21		f1ocnv 5380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22		f1of 5367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
23	4, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
24	23, 3	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
25		elfzuz3 9803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		fzss2 9844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)) → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
28	20, 27	sstrd 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
29	28	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
30		elfzubelfz 9816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	31	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		fnfvima 5652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	17, 29, 32, 33	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	14, 34	eqeltrrd 2217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	16	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
37	28	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzelz 9806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
41	40	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	24	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
43		elfzelz 9806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
45	5	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
46		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
51	41, 44, 50	3jca 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
52		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
53		eqcom 2141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐴)
54	52, 53	sylnib 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
55	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
56		elfzle1 9807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐴)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝐴)
58		zleloe 9101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
59	41, 48, 58	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
60	57, 59	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
61	54, 60	ecased 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
62		zltlem1 9111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
63	41, 48, 62	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
64	61, 63	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
65	50	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
66	48	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	44	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
68	66	lem1d 8691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
69		elfzle2 9808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
70	55, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
71	65, 66, 67, 68, 70	letrd 7886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
72	64, 71	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
73		elfz2 9797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
74	51, 72, 73	sylanbrc 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
75		fnfvima 5652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
76	36, 37, 74, 75	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
77		zdceq 9126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
78	47, 40, 77	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
79	35, 76, 78	ifcldadc 3501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
80	11, 79	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
81	2, 80	eqeltrrd 2217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
82		iseqf1olemnab.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
83	3, 4, 82, 6	iseqf1olemqval 10260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
84	83	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
85		simprr 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
86	85	iffalsed 3484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
87	84, 86	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
88		f1of1 5366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
89	4, 88	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
90		f1elima 5674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
91	89, 82, 28, 90	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
92	91	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
93	85, 92	mtbird 662	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
94	87, 93	eqneltrd 2235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
95	81, 94	pm2.65da 650	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  ifcif 3474   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ^◡ccnv 4538   “ cima 4542   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  1c1 7621   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10265