Theorem iseqf1olemnab 10826

Description: Lemma for seq3f1o 10842. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnab	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
3		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemnab.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
7	3, 4, 5, 6	iseqf1olemqval 10825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
9		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
10	9	iftrued 3616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
11	8, 10	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
12		f1ocnvfv2 5929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
13	4, 3, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
15		f1ofn 5593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
16	4, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
18		elfzuz 10318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		fzss1 10360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
20	3, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
21		f1ocnv 5605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22		f1of 5592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
23	4, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
24	23, 3	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
25		elfzuz3 10319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		fzss2 10361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)) → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
28	20, 27	sstrd 3238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
30		elfzubelfz 10333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	31	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		fnfvima 5899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	17, 29, 32, 33	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	14, 34	eqeltrrd 2309	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
37	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzelz 10322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
43		elfzelz 10322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
45	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
46		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
51	41, 44, 50	3jca 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
53		eqcom 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐴)
54	52, 53	sylnib 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
55	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
56		elfzle1 10324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐴)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝐴)
58		zleloe 9587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
59	41, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
60	57, 59	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
61	54, 60	ecased 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
62		zltlem1 9598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
63	41, 48, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
64	61, 63	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
65	50	zred 9663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
66	48	zred 9663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	44	zred 9663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
68	66	lem1d 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
69		elfzle2 10325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
70	55, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
71	65, 66, 67, 68, 70	letrd 8362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
72	64, 71	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
73		elfz2 10312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
74	51, 72, 73	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
75		fnfvima 5899	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
76	36, 37, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
77		zdceq 9616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
78	47, 40, 77	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
79	35, 76, 78	ifcldadc 3639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
80	11, 79	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
81	2, 80	eqeltrrd 2309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
82		iseqf1olemnab.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
83	3, 4, 82, 6	iseqf1olemqval 10825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
85		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
86	85	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
87	84, 86	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
88		f1of1 5591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
89	4, 88	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
90		f1elima 5924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
91	89, 82, 28, 90	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
93	85, 92	mtbird 680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
94	87, 93	eqneltrd 2327	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
95	81, 94	pm2.65da 667	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ifcif 3607   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ^◡ccnv 4730   “ cima 4734   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8093   < clt 8273   ≤ cle 8274   − cmin 8409  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10830