Theorem iseqf1olemnab 10863

Description: Lemma for seq3f1o 10879. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnab	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
3		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemnab.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
7	3, 4, 5, 6	iseqf1olemqval 10862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
9		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
10	9	iftrued 3629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
11	8, 10	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
12		f1ocnvfv2 5951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
13	4, 3, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
15		f1ofn 5615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
16	4, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
18		elfzuz 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		fzss1 10397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
20	3, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)))
21		f1ocnv 5627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
22		f1of 5614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
23	4, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
24	23, 3	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
25		elfzuz3 10356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)))
26		fzss2 10398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(◡𝐽‘𝐾)) → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
28	20, 27	sstrd 3248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
30		elfzubelfz 10370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	31	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		fnfvima 5921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	17, 29, 32, 33	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	14, 34	eqeltrrd 2310	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽 Fn (𝑀...𝑁))
37	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzelz 10359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
43		elfzelz 10359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
45	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
46		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
51	41, 44, 50	3jca 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
53		eqcom 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐾 ↔ 𝐾 = 𝐴)
54	52, 53	sylnib 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
55	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
56		elfzle1 10361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝐴)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝐴)
58		zleloe 9624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
59	41, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴)))
60	57, 59	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ∨ 𝐾 = 𝐴))
61	54, 60	ecased 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
62		zltlem1 9635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
63	41, 48, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴 ↔ 𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
64	61, 63	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
65	50	zred 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
66	48	zred 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	44	zred 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
68	66	lem1d 9207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
69		elfzle2 10362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
70	55, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
71	65, 66, 67, 68, 70	letrd 8397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
72	64, 71	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
73		elfz2 10349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
74	51, 72, 73	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
75		fnfvima 5921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 Fn (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 − 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
76	36, 37, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
77		zdceq 9653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
78	47, 40, 77	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
79	35, 76, 78	ifcldadc 3652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
80	11, 79	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
81	2, 80	eqeltrrd 2310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
82		iseqf1olemnab.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
83	3, 4, 82, 6	iseqf1olemqval 10862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
85		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
86	85	iffalsed 3632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
87	84, 86	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
88		f1of1 5613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
89	4, 88	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
90		f1elima 5946	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
91	89, 82, 28, 90	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ((𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
93	85, 92	mtbird 680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝐽‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
94	87, 93	eqneltrd 2328	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))) → ¬ (𝑄‘𝐵) ∈ (𝐽 “ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
95	81, 94	pm2.65da 667	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211  ifcif 3620   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ^◡ccnv 4748   “ cima 4752   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  –1-1→wf1 5349  –1-1-onto→wf1o 5351  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10867