Theorem subrgcrng 13791

Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem subrgcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 13790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 4	mgpress 13497	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
6		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴))
7	4	crngmgp 13570	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
10	9	ringmgp 13568	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
12	5, 11	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
14	6, 8, 12, 13	subcmnd 13473	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
15	5, 14	eqeltrrd 2274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
16	9	iscrng 13569	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
17	3, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ↾_s cress 12689  Mndcmnd 13067  CMndccmn 13424  mulGrpcmgp 13486  Ringcrg 13562  CRingccrg 13563  SubRingcsubrg 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-cmn 13426  df-mgp 13487  df-ring 13564  df-cring 13565  df-subrg 13785

This theorem is referenced by:  zringcrng  14158