Theorem xadd4d 10304

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 8502. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd4d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
2		xadd4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
3		xadd4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
4		xaddass 10288	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
6	5	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
7		xadd4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
8	1	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
9	3	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
10	8, 9	xaddcld 10303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
11		xaddnemnf 10276	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
12	1, 3, 11	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
13		xaddass 10288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
14	7, 2, 10, 12, 13	syl112anc 1282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
15	2	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		xaddcom 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
17	8, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
18	17	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷))
19		xaddass 10288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
20	2, 1, 3, 19	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
21	18, 20	eqtr2d 2272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷))
22	21	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
23	14, 22	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
24	15, 9	xaddcld 10303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
25		xaddnemnf 10276	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
26	2, 3, 25	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
27		xaddass 10288	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
28	7, 1, 24, 26, 27	syl112anc 1282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
29	6, 23, 28	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  (class class class)co 6088  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365   +_e cxad 10189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-xadd 10192

This theorem is used by:  xnn0add4d  10305