Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0elsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elsiga 32582
Description: A sigma-algebra contains the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0elsiga (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 0elsiga
Dummy variables 𝑜 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsiga 32581 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))))
21simprbi 497 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
3 3simpa 1148 . . . 4 ((𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)) → (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
43adantl 482 . . 3 ((𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))) → (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
54eximi 1837 . 2 (∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))) → ∃𝑜(𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
6 difeq2 4074 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑜 → (𝑜𝑥) = (𝑜𝑜))
7 difid 4328 . . . . . 6 (𝑜𝑜) = ∅
86, 7eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝑥 = 𝑜 → (𝑜𝑥) = ∅)
98eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑜 → ((𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
109rspcva 3577 . . 3 ((𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1110exlimiv 1933 . 2 (∃𝑜(𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
122, 5, 113syl 18 1 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wex 1781  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3443  cdif 3905  wss 3908  c0 4280  𝒫 cpw 4558   cuni 4863   class class class wbr 5103  ran crn 5632  ωcom 7798  cdom 8877  sigAlgebracsiga 32576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-fv 6501  df-siga 32577
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  32589  sigaldsys  32627  brsiga  32651  measvuni  32682  measinb  32689  measres  32690  measdivcst  32692  measdivcstALTV  32693  cntmeas  32694  volmeas  32699  mbfmcst  32728  sibfof  32809  nuleldmp  32886  0rrv  32920  dstrvprob  32940
  Copyright terms: Public domain W3C validator