Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0elsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elsiga 34095
Description: A sigma-algebra contains the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0elsiga (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 0elsiga
Dummy variables 𝑜 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isrnsiga 34094 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))))
21simprbi 496 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
3 3simpa 1147 . . . 4 ((𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)) → (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
43adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))) → (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
54eximi 1832 . 2 (∃𝑜(𝑆 ⊆ 𝒫 𝑜 ∧ (𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))) → ∃𝑜(𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆))
6 difeq2 4130 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑜 → (𝑜𝑥) = (𝑜𝑜))
7 difid 4382 . . . . . 6 (𝑜𝑜) = ∅
86, 7eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑥 = 𝑜 → (𝑜𝑥) = ∅)
98eleq1d 2824 . . . 4 (𝑥 = 𝑜 → ((𝑜𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
109rspcva 3620 . . 3 ((𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1110exlimiv 1928 . 2 (∃𝑜(𝑜𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑜𝑥) ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
122, 5, 113syl 18 1 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   class class class wbr 5148  ran crn 5690  ωcom 7887  cdom 8982  sigAlgebracsiga 34089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571  df-siga 34090
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  34102  sigaldsys  34140  brsiga  34164  measvuni  34195  measinb  34202  measres  34203  measdivcst  34205  measdivcstALTV  34206  cntmeas  34207  volmeas  34212  mbfmcst  34241  sibfof  34322  nuleldmp  34399  0rrv  34433  dstrvprob  34453
  Copyright terms: Public domain W3C validator