Theorem sigaclfu2 32089

Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclfu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxun 5023	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2		fzossnn 13436	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		undif 4415	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5		iuneq1 4940	. . . . 5 ⊢ (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7		iftrue 4465	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
8	7	iuneq2i 4945	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9		eldifn 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
10	9	iffalsed 4470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
11	10	iuneq2i 4945	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12		iun0 4991	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
13	11, 12	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
14	8, 13	uneq12i 4095	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
15	1, 6, 14	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16		un0 4324	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
17	15, 16	eqtri 2766	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18		0elsiga 32082	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20		simpllr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
22		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
23	21, 22	ifclda 4494	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
24	23	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
25	24	ralimdv2 3107	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
26	25	imp 407	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
27	18, 26	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28		sigaclcu2 32088	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
29	27, 28	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
30	17, 29	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924  ran crn 5590  (class class class)co 7275  1c1 10872  ℕcn 11973  ..^cfzo 13382  sigAlgebracsiga 32076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-siga 32077

This theorem is referenced by:  sigaclcu3  32090  measiuns  32185  measiun  32186  meascnbl  32187