Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclfu2 30521
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4739 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2 fzossnn 12724 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 undif 4191 . . . . . 6 ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
42, 3mpbi 220 . . . . 5 ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5 iuneq1 4668 . . . . 5 (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7 iftrue 4231 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
87iuneq2i 4673 . . . . 5 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9 eldifn 3884 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
109iffalsed 4236 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
1110iuneq2i 4673 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12 iun0 4710 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
1311, 12eqtri 2793 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
148, 13uneq12i 3916 . . . 4 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
151, 6, 143eqtr3i 2801 . . 3 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16 un0 4111 . . 3 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
1715, 16eqtri 2793 . 2 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18 0elsiga 30514 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20 simpllr 752 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴𝑆)
22 simplll 750 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22ifclda 4259 . . . . . . 7 (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2423exp31 406 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
2524ralimdv2 3110 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
2625imp 393 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2718, 26sylan 561 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28 sigaclcu2 30520 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2927, 28syldan 571 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
3017, 29syl5eqelr 2855 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cdif 3720  cun 3721  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225   cuni 4574   ciun 4654  ran crn 5250  (class class class)co 6792  1c1 10138  cn 11221  ..^cfzo 12672  sigAlgebracsiga 30507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-siga 30508
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  30522  measiuns  30617  measiun  30618  meascnbl  30619
  Copyright terms: Public domain W3C validator