Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclfu2 31488
 Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4982 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2 fzossnn 13085 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 undif 4391 . . . . . 6 ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
42, 3mpbi 233 . . . . 5 ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5 iuneq1 4900 . . . . 5 (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7 iftrue 4434 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
87iuneq2i 4905 . . . . 5 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9 eldifn 4058 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
109iffalsed 4439 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
1110iuneq2i 4905 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12 iun0 4951 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
1311, 12eqtri 2824 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
148, 13uneq12i 4091 . . . 4 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
151, 6, 143eqtr3i 2832 . . 3 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16 un0 4301 . . 3 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
1715, 16eqtri 2824 . 2 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18 0elsiga 31481 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴𝑆)
22 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22ifclda 4462 . . . . . . 7 (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2423exp31 423 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
2524ralimdv2 3146 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
2625imp 410 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2718, 26sylan 583 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28 sigaclcu2 31487 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2927, 28syldan 594 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
3017, 29eqeltrrid 2898 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ifcif 4428  ∪ cuni 4803  ∪ ciun 4884  ran crn 5524  (class class class)co 7139  1c1 10531  ℕcn 11629  ..^cfzo 13032  sigAlgebracsiga 31475 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-siga 31476 This theorem is referenced by:  sigaclcu3  31489  measiuns  31584  measiun  31585  meascnbl  31586
 Copyright terms: Public domain W3C validator