Theorem sigaclfu2 34746

Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclfu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxun 5054	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2		fzossnn 13839	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		undif 4438	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5		iuneq1 4968	. . . . 5 ⊢ (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7		iftrue 4488	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
8	7	iuneq2i 4973	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9		eldifn 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
10	9	iffalsed 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
11	10	iuneq2i 4973	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12		iun0 5020	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
13	11, 12	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
14	8, 13	uneq12i 4113	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
15	1, 6, 14	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16		un0 4344	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
17	15, 16	eqtri 2784	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18		0elsiga 34739	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆))
21	19, 20	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
22		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
23	21, 22	ifclda 4518	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
24	23	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
25	24	ralimdv2 3172	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
26	25	imp 412	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
27	18, 26	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28		sigaclcu2 34745	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
29	27, 28	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
30	17, 29	eqeltrrid 2866	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  ran crn 5652  (class class class)co 7418  1c1 11194  ℕcn 12328  ..^cfzo 13781  sigAlgebracsiga 34733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-siga 34734

This theorem is used by:  sigaclcu3  34747  measiuns  34843  measiun  34844  meascnbl  34845