Theorem sigaclfu2 34122

Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclfu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxun 5094	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2		fzossnn 13751	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		undif 4482	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7		iftrue 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
8	7	iuneq2i 5013	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9		eldifn 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
10	9	iffalsed 4536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
11	10	iuneq2i 5013	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12		iun0 5062	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
13	11, 12	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
14	8, 13	uneq12i 4166	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
15	1, 6, 14	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16		un0 4394	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
17	15, 16	eqtri 2765	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18		0elsiga 34115	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
22		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
23	21, 22	ifclda 4561	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
24	23	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
25	24	ralimdv2 3163	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
26	25	imp 406	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
27	18, 26	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28		sigaclcu2 34121	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
29	27, 28	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
30	17, 29	eqeltrrid 2846	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991  ran crn 5686  (class class class)co 7431  1c1 11156  ℕcn 12266  ..^cfzo 13694  sigAlgebracsiga 34109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-siga 34110

This theorem is referenced by:  sigaclcu3  34123  measiuns  34218  measiun  34219  meascnbl  34220