Theorem sigaclfu2 33108

Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclfu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxun 5097	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2		fzossnn 13678	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		undif 4481	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7		iftrue 4534	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
8	7	iuneq2i 5018	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9		eldifn 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
10	9	iffalsed 4539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
11	10	iuneq2i 5018	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12		iun0 5065	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
13	11, 12	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
14	8, 13	uneq12i 4161	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
15	1, 6, 14	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16		un0 4390	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
17	15, 16	eqtri 2761	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18		0elsiga 33101	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
22		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
23	21, 22	ifclda 4563	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
24	23	exp31 421	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
25	24	ralimdv2 3164	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
26	25	imp 408	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
27	18, 26	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28		sigaclcu2 33107	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
29	27, 28	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
30	17, 29	eqeltrrid 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4997  ran crn 5677  (class class class)co 7406  1c1 11108  ℕcn 12209  ..^cfzo 13624  sigAlgebracsiga 33095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-siga 33096

This theorem is referenced by:  sigaclcu3  33109  measiuns  33204  measiun  33205  meascnbl  33206