Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclfu2 33414
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 5098 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2 fzossnn 13686 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 undif 4482 . . . . . 6 ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
42, 3mpbi 229 . . . . 5 ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5 iuneq1 5014 . . . . 5 (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7 iftrue 4535 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
87iuneq2i 5019 . . . . 5 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9 eldifn 4128 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
109iffalsed 4540 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
1110iuneq2i 5019 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12 iun0 5066 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
1311, 12eqtri 2759 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
148, 13uneq12i 4162 . . . 4 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
151, 6, 143eqtr3i 2767 . . 3 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16 un0 4391 . . 3 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
1715, 16eqtri 2759 . 2 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18 0elsiga 33407 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴𝑆)
22 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22ifclda 4564 . . . . . . 7 (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2423exp31 419 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
2524ralimdv2 3162 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
2625imp 406 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2718, 26sylan 579 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28 sigaclcu2 33413 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2927, 28syldan 590 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
3017, 29eqeltrrid 2837 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cdif 3946  cun 3947  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529   cuni 4909   ciun 4998  ran crn 5678  (class class class)co 7412  1c1 11114  cn 12217  ..^cfzo 13632  sigAlgebracsiga 33401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-siga 33402
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  33415  measiuns  33510  measiun  33511  meascnbl  33512
  Copyright terms: Public domain W3C validator