Theorem sigaclfu2 34305

Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclfu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxun 5023	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2		fzossnn 13657	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		undif 4410	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 231	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5		iuneq1 4938	. . . . 5 ⊢ (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7		iftrue 4460	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
8	7	iuneq2i 4943	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9		eldifn 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
10	9	iffalsed 4465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
11	10	iuneq2i 4943	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12		iun0 4991	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
13	11, 12	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
14	8, 13	uneq12i 4096	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
15	1, 6, 14	3eqtr3i 2770	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16		un0 4322	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
17	15, 16	eqtri 2762	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18		0elsiga 34298	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
22		simplll 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
23	21, 22	ifclda 4490	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
24	23	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
25	24	ralimdv2 3148	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
26	25	imp 407	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
27	18, 26	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28		sigaclcu2 34304	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
29	27, 28	syldan 597	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
30	17, 29	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ifcif 4454  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4921  ran crn 5619  (class class class)co 7356  1c1 11030  ℕcn 12165  ..^cfzo 13599  sigAlgebracsiga 34292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-siga 34293

This theorem is referenced by:  sigaclcu3  34306  measiuns  34401  measiun  34402  meascnbl  34403