Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaldsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaldsys 32822
Description: All sigma-algebras are lambda-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isldsys.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigaldsys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigaldsys
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 32779 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
2 velpw 4569 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 32789 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 0elsiga 32777 . . . . . 6 (𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
74adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
8 baselsiga 32778 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 ∈ 𝑑)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ 𝑂 ∈ 𝑑)
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝑑)
11 difelsiga 32796 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 ∈ 𝑑 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
127, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
1312ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
144ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
15 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
16 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
17 sigaclcu 32780 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
1918ex 414 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
2019ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
216, 13, 203jca 1129 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
223, 21jca 513 . . 3 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
23 isldsys.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
2423isldsys 32819 . . 3 (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
2522, 24sylibr 233 . 2 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
2625ssriv 3952 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  sigAlgebracsiga 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-siga 32772
This theorem is referenced by:  ldsysgenld  32823  sigapildsys  32825
  Copyright terms: Public domain W3C validator