Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0rrv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0rrv 33450
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
0rrv (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)
Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21rgenw 3066 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃0 ∈ ℝ
3 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
43fmpt 7110 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃0 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
52, 4mpbi 229 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
7 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
87cnveqi 5875 . . . . . . . . 9 β—‘(βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
9 cnvxp 6157 . . . . . . . . 9 β—‘(βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = ({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃)
108, 9eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) = ({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃)
1110imaeq1i 6057 . . . . . . 7 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β€œ 𝑦)
12 df-ima 5690 . . . . . . 7 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β€œ 𝑦) = ran (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
13 df-rn 5688 . . . . . . 7 ran (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
1411, 12, 133eqtri 2765 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
15 df-res 5689 . . . . . . . . 9 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) ∩ (𝑦 Γ— V))
16 inxp 5833 . . . . . . . . 9 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) ∩ (𝑦 Γ— V)) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V))
17 inv1 4395 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V) = βˆͺ dom 𝑃
1817xpeq2i 5704 . . . . . . . . 9 (({0} ∩ 𝑦) Γ— (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V)) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
1915, 16, 183eqtri 2765 . . . . . . . 8 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
2019cnveqi 5875 . . . . . . 7 β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
2120dmeqi 5905 . . . . . 6 dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = dom β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
22 cnvxp 6157 . . . . . . 7 β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃) = (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
2322dmeqi 5905 . . . . . 6 dom β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃) = dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
2414, 21, 233eqtri 2765 . . . . 5 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
25 xpeq2 5698 . . . . . . . . . 10 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = (βˆͺ dom 𝑃 Γ— βˆ…))
26 xp0 6158 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 Γ— βˆ…) = βˆ…
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
2827dmeqd 5906 . . . . . . . 8 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = dom βˆ…)
29 dm0 5921 . . . . . . . 8 dom βˆ… = βˆ…
3028, 29eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
3130adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
32 0rrv.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
33 domprobsiga 33410 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
34 0elsiga 33112 . . . . . . . 8 (dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3635adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3731, 36eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) ∈ dom 𝑃)
3824, 37eqeltrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
39 dmxp 5929 . . . . . . 7 (({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆͺ dom 𝑃)
4039adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆͺ dom 𝑃)
4132unveldomd 33414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4241adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4340, 42eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) ∈ dom 𝑃)
4424, 43eqeltrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4538, 44pm2.61dane 3030 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4645ralrimivw 3151 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4732isrrvv 33442 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
486, 46, 47mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  0cc0 11110  sigAlgebracsiga 33106  π”…ℝcbrsiga 33179  Probcprb 33406  rRndVarcrrv 33439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-prob 33407  df-rrv 33440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator