Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0rrv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0rrv 33438
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
0rrv (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑃
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)
Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11212 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21rgenw 3065 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃0 ∈ ℝ
3 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
43fmpt 7106 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃0 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
52, 4mpbi 229 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
7 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
87cnveqi 5872 . . . . . . . . 9 β—‘(βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0)
9 cnvxp 6153 . . . . . . . . 9 β—‘(βˆͺ dom 𝑃 Γ— {0}) = ({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃)
108, 9eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) = ({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃)
1110imaeq1i 6054 . . . . . . 7 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β€œ 𝑦)
12 df-ima 5688 . . . . . . 7 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β€œ 𝑦) = ran (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
13 df-rn 5686 . . . . . . 7 ran (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
1411, 12, 133eqtri 2764 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦)
15 df-res 5687 . . . . . . . . 9 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) ∩ (𝑦 Γ— V))
16 inxp 5830 . . . . . . . . 9 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) ∩ (𝑦 Γ— V)) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V))
17 inv1 4393 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V) = βˆͺ dom 𝑃
1817xpeq2i 5702 . . . . . . . . 9 (({0} ∩ 𝑦) Γ— (βˆͺ dom 𝑃 ∩ V)) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
1915, 16, 183eqtri 2764 . . . . . . . 8 (({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = (({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
2019cnveqi 5872 . . . . . . 7 β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
2120dmeqi 5902 . . . . . 6 dom β—‘(({0} Γ— βˆͺ dom 𝑃) β†Ύ 𝑦) = dom β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃)
22 cnvxp 6153 . . . . . . 7 β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃) = (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
2322dmeqi 5902 . . . . . 6 dom β—‘(({0} ∩ 𝑦) Γ— βˆͺ dom 𝑃) = dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
2414, 21, 233eqtri 2764 . . . . 5 (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) = dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦))
25 xpeq2 5696 . . . . . . . . . 10 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = (βˆͺ dom 𝑃 Γ— βˆ…))
26 xp0 6154 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ dom 𝑃 Γ— βˆ…) = βˆ…
2725, 26eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
2827dmeqd 5903 . . . . . . . 8 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = dom βˆ…)
29 dm0 5918 . . . . . . . 8 dom βˆ… = βˆ…
3028, 29eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (({0} ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
3130adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆ…)
32 0rrv.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
33 domprobsiga 33398 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
34 0elsiga 33100 . . . . . . . 8 (dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ dom 𝑃)
3731, 36eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) ∈ dom 𝑃)
3824, 37eqeltrid 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
39 dmxp 5926 . . . . . . 7 (({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ… β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆͺ dom 𝑃)
4039adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) = βˆͺ dom 𝑃)
4132unveldomd 33402 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4340, 42eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ dom (βˆͺ dom 𝑃 Γ— ({0} ∩ 𝑦)) ∈ dom 𝑃)
4424, 43eqeltrid 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ({0} ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4538, 44pm2.61dane 3029 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4645ralrimivw 3150 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
4732isrrvv 33430 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0):βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (β—‘(π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
486, 46, 47mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ 0) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„cr 11105  0cc0 11106  sigAlgebracsiga 33094  π”…ℝcbrsiga 33167  Probcprb 33394  rRndVarcrrv 33427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324  df-topgen 17385  df-top 22387  df-bases 22440  df-esum 33014  df-siga 33095  df-sigagen 33125  df-brsiga 33168  df-meas 33182  df-mbfm 33236  df-prob 33395  df-rrv 33428
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator