Theorem brsiga 34573

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 34572	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2		retop 24918	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		df-sigagen 34529	. . . . 5 ⊢ sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑥) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
4	3	funmpt2 6575	. . . 4 ⊢ Fun sigaGen
5		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
6		sigagensiga 34531	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
7		elrnsiga 34516	. . . . . 6 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra
9		0elsiga 34504	. . . . 5 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10		elfvdm 6915	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12		funfvima 7228	. . . 4 ⊢ ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
13	4, 11, 12	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
15	1, 14	eqeltri 2859	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (,)cioo 13367  topGenctg 17485  Topctop 23050  sigAlgebracsiga 34498  sigaGencsigagen 34528  𝔅_ℝcbrsiga 34571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ioo 13371  df-topgen 17491  df-top 23051  df-bases 23103  df-siga 34499  df-sigagen 34529  df-brsiga 34572

This theorem is referenced by: (None)