Theorem brsiga 34289

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 34288	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2		retop 24703	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		df-sigagen 34245	. . . . 5 ⊢ sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑥) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
4	3	funmpt2 6529	. . . 4 ⊢ Fun sigaGen
5		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
6		sigagensiga 34247	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
7		elrnsiga 34232	. . . . . 6 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra
9		0elsiga 34220	. . . . 5 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10		elfvdm 6866	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12		funfvima 7174	. . . 4 ⊢ ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
13	4, 11, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
15	1, 14	eqeltri 2830	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861  ∩ cint 4900  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (,)cioo 13259  topGenctg 17355  Topctop 22835  sigAlgebracsiga 34214  sigaGencsigagen 34244  𝔅_ℝcbrsiga 34287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-ioo 13263  df-topgen 17361  df-top 22836  df-bases 22888  df-siga 34215  df-sigagen 34245  df-brsiga 34288

This theorem is referenced by: (None)