Theorem brsiga 33181

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 33180	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2		retop 24278	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		df-sigagen 33137	. . . . 5 ⊢ sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑥) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
4	3	funmpt2 6588	. . . 4 ⊢ Fun sigaGen
5		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
6		sigagensiga 33139	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
7		elrnsiga 33124	. . . . . 6 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra
9		0elsiga 33112	. . . . 5 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10		elfvdm 6929	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12		funfvima 7232	. . . 4 ⊢ ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
13	4, 11, 12	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
15	1, 14	eqeltri 2830	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4951  dom cdm 5677  ran crn 5678   “ cima 5680  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  (,)cioo 13324  topGenctg 17383  Topctop 22395  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  𝔅_ℝcbrsiga 33179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180

This theorem is referenced by: (None)