Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brsiga 31567
 Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
brsiga 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-brsiga 31566 . 2 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2 retop 23377 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 df-sigagen 31523 . . . . 5 sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑥) ∣ 𝑥𝑠})
43funmpt2 6364 . . . 4 Fun sigaGen
5 fvex 6659 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6 sigagensiga 31525 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))))
7 elrnsiga 31510 . . . . . 6 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . 5 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra
9 0elsiga 31498 . . . . 5 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10 elfvdm 6678 . . . . 5 (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12 funfvima 6971 . . . 4 ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
134, 11, 12mp2an 691 . . 3 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
142, 13ax-mp 5 . 2 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
151, 14eqeltri 2886 1 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4801  ∩ cint 4839  dom cdm 5520  ran crn 5521   “ cima 5523  Fun wfun 6319  ‘cfv 6325  (,)cioo 12729  topGenctg 16706  Topctop 21508  sigAlgebracsiga 31492  sigaGencsigagen 31522  𝔅ℝcbrsiga 31565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12733  df-topgen 16712  df-top 21509  df-bases 21561  df-siga 31493  df-sigagen 31523  df-brsiga 31566 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator