Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brsiga 31863
Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
brsiga 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-brsiga 31862 . 2 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2 retop 23659 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 df-sigagen 31819 . . . . 5 sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑥) ∣ 𝑥𝑠})
43funmpt2 6419 . . . 4 Fun sigaGen
5 fvex 6730 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6 sigagensiga 31821 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))))
7 elrnsiga 31806 . . . . . 6 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . 5 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra
9 0elsiga 31794 . . . . 5 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10 elfvdm 6749 . . . . 5 (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12 funfvima 7046 . . . 4 ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
134, 11, 12mp2an 692 . . 3 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
142, 13ax-mp 5 . 2 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
151, 14eqeltri 2834 1 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237   cuni 4819   cint 4859  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554  Fun wfun 6374  cfv 6380  (,)cioo 12935  topGenctg 16942  Topctop 21790  sigAlgebracsiga 31788  sigaGencsigagen 31818  𝔅cbrsiga 31861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ioo 12939  df-topgen 16948  df-top 21791  df-bases 21843  df-siga 31789  df-sigagen 31819  df-brsiga 31862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator