Theorem brsiga 34346

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 34345	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2		retop 24739	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		df-sigagen 34302	. . . . 5 ⊢ sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑥) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
4	3	funmpt2 6532	. . . 4 ⊢ Fun sigaGen
5		fvex 6848	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
6		sigagensiga 34304	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
7		elrnsiga 34289	. . . . . 6 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra
9		0elsiga 34277	. . . . 5 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10		elfvdm 6869	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12		funfvima 7179	. . . 4 ⊢ ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
13	4, 11, 12	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
15	1, 14	eqeltri 2833	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  (,)cioo 13292  topGenctg 17394  Topctop 22871  sigAlgebracsiga 34271  sigaGencsigagen 34301  𝔅_ℝcbrsiga 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-ioo 13296  df-topgen 17400  df-top 22872  df-bases 22924  df-siga 34272  df-sigagen 34302  df-brsiga 34345

This theorem is referenced by: (None)