Theorem brsiga 34367

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 34366	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2		retop 24744	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		df-sigagen 34323	. . . . 5 ⊢ sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑥) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
4	3	funmpt2 6524	. . . 4 ⊢ Fun sigaGen
5		fvex 6840	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
6		sigagensiga 34325	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
7		elrnsiga 34310	. . . . . 6 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra
9		0elsiga 34298	. . . . 5 ⊢ ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10		elfvdm 6861	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12		funfvima 7174	. . . 4 ⊢ ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
13	4, 11, 12	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
15	1, 14	eqeltri 2835	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigaGen “ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  ∩ cint 4877  dom cdm 5618  ran crn 5619   “ cima 5621  Fun wfun 6479  ‘cfv 6485  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  Topctop 22876  sigAlgebracsiga 34292  sigaGencsigagen 34322  𝔅_ℝcbrsiga 34365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22877  df-bases 22929  df-siga 34293  df-sigagen 34323  df-brsiga 34366

This theorem is referenced by: (None)