Theorem baerlem3lem2 41667

Description: Lemma for baerlem3 41670. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21128	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		baerlem3.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10		baerlem3.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11		baerlem3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21120	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
14	8, 9, 11, 3, 5, 7	lspsnsub 21028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
15		lmodabl 20929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
17		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	8, 9, 16, 17, 5, 7	ablnnncan1 19865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))
19	18	sneqd 4660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))} = {(𝑍 − 𝑌)})
20	19	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
21	14, 20	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}))
22	8, 9	lmodvsubcl 20927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
23	3, 17, 5, 22	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9	lmodvsubcl 20927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
25	3, 17, 7, 24	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
26	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
28	21, 27	eqsstrd 4047	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
29	13, 28	ssind 4262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
30		elin 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
31		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7	lsmspsn 21106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25	lsmspsn 21106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))))
37	35, 36	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
38	30, 37	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		simp11 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝜑)
41	40, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
42	40, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
47	40, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
48	40, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
53		simp12l 1286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54		simp12r 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
55		simp2l 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
56		simp2r 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		simp13 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
59	8, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem3lem1 41664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))
60	40, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
61	8, 9	lmodvsubcl 20927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
62	3, 5, 7, 61	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
63	40, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
64	8, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63	ellspsni 21022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
65	59, 64	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
66	65	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
67	66	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
68	67	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))))
69	68	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
70	69	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
71	38, 70	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
72	71	ssrdv 4014	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
73	29, 72	eqssd 4026	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975  LSSumclsm 19676  Abelcabl 19823  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125

This theorem is referenced by:  baerlem3  41670