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Theorem baerlem3lem2 38951
Description: Lemma for baerlem3 38954. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19878 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3931 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
6 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3931 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
8 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 baerlem3.m . . . . 5 = (-g𝑊)
10 baerlem3.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
11 baerlem3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
128, 9, 10, 11lspsntrim 19870 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
133, 5, 7, 12syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
148, 9, 11, 3, 5, 7lspsnsub 19779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑍 𝑌)}))
15 lmodabl 19681 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
163, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
17 baerlem3.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
188, 9, 16, 17, 5, 7ablnnncan1 18944 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)) = (𝑍 𝑌))
1918sneqd 4562 . . . . . 6 (𝜑 → {((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍))} = {(𝑍 𝑌)})
2019fveq2d 6665 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑍 𝑌)}))
2114, 20eqtr4d 2862 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (𝑁‘{((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍))}))
228, 9lmodvsubcl 19679 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
233, 17, 5, 22syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
248, 9lmodvsubcl 19679 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
253, 17, 7, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
268, 9, 10, 11lspsntrim 19870 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))
273, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))
2821, 27eqsstrd 3991 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))
2913, 28ssind 4194 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
30 elin 3935 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
31 baerlem3.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
32 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
34 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
358, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7lsmspsn 19856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
368, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25lsmspsn 19856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))))
3735, 36anbi12d 633 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))))
3830, 37syl5bb 286 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))))
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
40 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝜑)
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
4240, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑋𝑉)
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
53 simp12l 1283 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑎𝐵)
54 simp12r 1284 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑏𝐵)
55 simp2l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑑𝐵)
56 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑒𝐵)
57 simp13 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
598, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem3lem1 38948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
618, 9lmodvsubcl 19679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝑉)
623, 5, 7, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 𝑍) ∈ 𝑉)
6340, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝑉)
648, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63lspsneli 19773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → (𝑎 · (𝑌 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}))
6559, 64eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}))
66653exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}))))
6766rexlimdvv 3285 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)})))
68673exp 1116 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)})))))
6968rexlimdvv 3285 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}))))
7069impd 414 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)})))
7138, 70sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)})))
7271ssrdv 3959 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}))
7329, 72eqssd 3970 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  LSSumclsm 18759  Abelcabl 18907  LModclmod 19634  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875
This theorem is referenced by:  baerlem3  38954
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