Theorem baerlem3lem2 43033

Description: Lemma for baerlem3 43036. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21432	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		baerlem3.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10		baerlem3.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11		baerlem3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
14	8, 9, 11, 3, 5, 7	lspsnsub 21333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
15		lmodabl 21235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
16	3, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
17		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	8, 9, 16, 17, 5, 7	ablnnncan1 20088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))
19	18	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))} = {(𝑍 − 𝑌)})
20	19	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
21	14, 20	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}))
22	8, 9	lmodvsubcl 21233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
23	3, 17, 5, 22	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9	lmodvsubcl 21233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
25	3, 17, 7, 24	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
26	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21424	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
28	21, 27	eqsstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
29	13, 28	ssind 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
30		elin 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
31		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7	lsmspsn 21410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25	lsmspsn 21410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))))
37	35, 36	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
38	30, 37	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		simp11 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝜑)
41	40, 1	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
42	40, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
44	40, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
46	40, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
47	40, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
48	40, 6	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
53		simp12l 1305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54		simp12r 1306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
55		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
56		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
59	8, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem3lem1 43030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))
60	40, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
61	8, 9	lmodvsubcl 21233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
62	3, 5, 7, 61	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
63	40, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
64	8, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63	ellspsni 21327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
65	59, 64	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
66	65	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
67	66	rexlimdvv 3222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
68	67	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))))
69	68	rexlimdvv 3222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
70	69	impd 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
71	38, 70	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
72	71	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
73	29, 72	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  LSSumclsm 19899  Abelcabl 20046  LModclmod 21186  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429

This theorem is used by:  baerlem3  43036