Theorem baerlem3lem2 42170

Description: Lemma for baerlem3 42173. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21093	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 3902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		baerlem3.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10		baerlem3.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11		baerlem3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21085	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
14	8, 9, 11, 3, 5, 7	lspsnsub 20993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
15		lmodabl 20895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
17		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	8, 9, 16, 17, 5, 7	ablnnncan1 19789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))
19	18	sneqd 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))} = {(𝑍 − 𝑌)})
20	19	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑍 − 𝑌)}))
21	14, 20	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}))
22	8, 9	lmodvsubcl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
23	3, 17, 5, 22	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9	lmodvsubcl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
25	3, 17, 7, 24	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
26	8, 9, 10, 11	lspsntrim 21085	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
28	21, 27	eqsstrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))
29	13, 28	ssind 4182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
30		elin 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
31		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7	lsmspsn 21071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25	lsmspsn 21071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))))
37	35, 36	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
38	30, 37	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))))
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		simp11 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝜑)
41	40, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
42	40, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
47	40, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
48	40, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
53		simp12l 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54		simp12r 1289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
55		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
56		simp2r 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		simp13 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
59	8, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem3lem1 42167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))
60	40, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
61	8, 9	lmodvsubcl 20893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
62	3, 5, 7, 61	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
63	40, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝑉)
64	8, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63	ellspsni 20987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
65	59, 64	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
66	65	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
67	66	rexlimdvv 3194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
68	67	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))))
69	68	rexlimdvv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))))
70	69	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
71	38, 70	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})))
72	71	ssrdv 3928	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}))
73	29, 72	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  LSSumclsm 19600  Abelcabl 19747  LModclmod 20846  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  baerlem3  42173