MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsxplem2 23665
Description: Lemma for tsmsxp 23666. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsxp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
tsmsxp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
tsmsxp.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsxp.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘—) ∈ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (π‘—πΉπ‘˜))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tsmsxp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsxp.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsxp.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
tsmsxp.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
tsmsxp.3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
tsmsxp.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ π‘ˆ)
tsmsxp.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
tsmsxp.s (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† (𝐾 Γ— 𝑁))
tsmsxp.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐿 ↑m 𝐾)(𝐺 Ξ£g 𝑔) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝑔,π‘˜, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐺   𝐡,𝑔,π‘˜   𝐷,𝑔,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,𝐿,𝑗,π‘₯   𝐴,𝑔,𝑗,π‘˜   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,𝑑   βˆ’ ,𝑑,𝑔,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑔,𝑗,π‘˜   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑔,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑐,𝑑)   𝐴(π‘₯,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘₯,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑆(π‘₯,𝑔,𝑗,π‘˜,𝑑)   𝑇(π‘₯,𝑗,π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,𝑔,𝑗,π‘˜)   𝐻(𝑐)   𝐽(π‘₯,𝑔,𝑗,π‘˜,𝑐,𝑑)   𝐿(π‘˜,𝑐,𝑑)   βˆ’ (π‘˜,𝑐)   𝑁(𝑗,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑔,𝑗,π‘˜,𝑐,𝑑)   π‘Š(π‘₯,𝑔,𝑗,π‘˜,𝑐,𝑑)   0 (π‘₯,𝑗,𝑐,𝑑)
Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgpgrp 23589 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 tsmsxp.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5 isabl 19654 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
63, 4, 5sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
7 tsmsxp.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
8 tsmsxp.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
9 tsmsxp.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
109elin2d 4199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Fin)
11 tsmsxp.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
1211elin2d 4199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Fin)
13 xpfi 9319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ (𝐾 Γ— 𝑁) ∈ Fin)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— 𝑁) ∈ Fin)
15 tsmsxp.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
16 elfpw 9356 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Fin))
1716simplbi 498 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
189, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐴)
19 elfpw 9356 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ↔ (𝑁 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2019simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐢)
2111, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† 𝐢)
22 xpss12 5691 . . . . . 6 ((𝐾 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑁 βŠ† 𝐢) β†’ (𝐾 Γ— 𝑁) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— 𝑁) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
2415, 23fssresd 6758 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)):(𝐾 Γ— 𝑁)⟢𝐡)
25 tsmsxp.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐿)
2624, 14, 25fdmfifsupp 9375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)) finSupp 0 )
277, 8, 4, 14, 24, 26gsumcl 19785 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) ∈ 𝐡)
28 tsmsxp.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
2928, 18fssresd 6758 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝐾):𝐾⟢𝐡)
3029, 10, 25fdmfifsupp 9375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝐾) finSupp 0 )
317, 8, 4, 9, 29, 30gsumcl 19785 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) ∈ 𝐡)
32 tsmsxp.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
33 tsmsxp.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
347, 32, 33ablpncan3 19686 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))) = (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)))
356, 27, 31, 34syl12anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))) = (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)))
36 tsmsxp.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) ∈ 𝑆)
374adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
38 snfi 9046 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ Fin
3912adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
40 xpfi 9319 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝑁) ∈ Fin)
4138, 39, 40sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ({𝑦} Γ— 𝑁) ∈ Fin)
4215adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
4318sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443snssd 4812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
4521adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐢)
46 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} βŠ† 𝐴 ∧ 𝑁 βŠ† 𝐢) β†’ ({𝑦} Γ— 𝑁) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ({𝑦} Γ— 𝑁) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐢))
4842, 47fssresd 6758 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)):({𝑦} Γ— 𝑁)⟢𝐡)
498fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 0 ∈ V)
5148, 41, 50fdmfifsupp 9375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)) finSupp 0 )
527, 8, 37, 41, 48, 51gsumcl 19785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))) ∈ 𝐡)
5352fmpttd 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))):𝐾⟢𝐡)
54 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))
55 ovexd 7446 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))) ∈ V)
5654, 10, 55, 25fsuppmptdm 9376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) finSupp 0 )
577, 8, 33, 6, 9, 29, 53, 30, 56gsumsub 19818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐻 β†Ύ 𝐾) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))))
58 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ V)
5928, 18feqresmpt 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (π»β€˜π‘¦)))
60 eqidd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))
619, 58, 55, 59, 60offval2 7692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ 𝐾) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))))
6261oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐻 β†Ύ 𝐾) ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))))
63 cmnmnd 19667 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6437, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
65 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
6642adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐢)⟢𝐡)
6743adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
6845sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ 𝑧 ∈ 𝐢)
6966, 67, 68fovcdmd 7581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐡)
7069fmpttd 7116 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):π‘βŸΆπ΅)
71 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
72 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
7371, 39, 72, 50fsuppmptdm 9376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
747, 8, 37, 39, 70, 73gsumcl 19785 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐡)
75 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ {𝑦} ↔ 𝑀 = 𝑦)
76 ovres 7575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧) = (𝑀𝐹𝑧))
7775, 76sylanbr 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧) = (𝑀𝐹𝑧))
78 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑀𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8077, 79eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8180mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
8281oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
837, 82gsumsn 19824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑀 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8464, 65, 74, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑀 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8538a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ {𝑦} ∈ Fin)
867, 8, 37, 85, 39, 48, 51gsumxp 19846 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))) = (𝐺 Ξ£g (𝑀 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑀(𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))𝑧))))))
87 ovres 7575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8887adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8988mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
9089oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
9184, 86, 903eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))) = (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧))))
9291mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧)))))
9392oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧))))))
947, 8, 4, 10, 12, 24, 26gsumxp 19846 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))𝑧))))))
9593, 94eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))
9695oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))))
9757, 62, 963eqtr3d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))))
98 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑔) = (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))))
9998eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
100 tsmsxp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐿 ↑m 𝐾)(𝐺 Ξ£g 𝑔) ∈ 𝑇)
101 tsmsxp.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿)
102 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘¦))
103 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
104103xpeq1d 5705 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ({π‘₯} Γ— 𝑁) = ({𝑦} Γ— 𝑁))
105104reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)) = (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))
106105oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))
107102, 106oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)))) = ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))
108107eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿))
109108rspccva 3611 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((π»β€˜π‘₯) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({π‘₯} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿)
110101, 109sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))) ∈ 𝐿)
111110fmpttd 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))):𝐾⟢𝐿)
112 tsmsxp.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
113112, 9elmapd 8836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑m 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))):𝐾⟢𝐿))
114111, 113mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑m 𝐾))
11599, 100, 114rspcdva 3613 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ ({𝑦} Γ— 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
11697, 115eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))) ∈ 𝑇)
117 tsmsxp.4 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ π‘ˆ)
118 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑐 = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) β†’ (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + 𝑑))
119118eleq1d 2818 . . . 4 (𝑐 = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) β†’ ((𝑐 + 𝑑) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + 𝑑) ∈ π‘ˆ))
120 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))))
121120eleq1d 2818 . . . 4 (𝑑 = ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))) β†’ (((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + 𝑑) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))) ∈ π‘ˆ))
122119, 121rspc2va 3623 . . 3 ((((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))) ∈ π‘ˆ)
12336, 116, 117, 122syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))) + ((𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) βˆ’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐾 Γ— 𝑁))))) ∈ π‘ˆ)
12435, 123eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝐾)) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  TopOpenctopn 17369  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  CMndccmn 19650  Abelcabl 19651  TopGrpctgp 23582   tsums ctsu 23637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-tgp 23584
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23666
  Copyright terms: Public domain W3C validator