MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsxplem2 22177
Description: Lemma for tsmsxp 22178. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsxp.c (𝜑𝐶𝑊)
tsmsxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
tsmsxp.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsxp.1 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsxp.z 0 = (0g𝐺)
tsmsxp.p + = (+g𝐺)
tsmsxp.m = (-g𝐺)
tsmsxp.l (𝜑𝐿𝐽)
tsmsxp.3 (𝜑0𝐿)
tsmsxp.k (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
tsmsxp.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
tsmsxp.s (𝜑𝐷 ⊆ (𝐾 × 𝑁))
tsmsxp.x (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥,𝐺   𝐵,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑔,𝐿,𝑗,𝑥   𝐴,𝑔,𝑗,𝑘   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑   ,𝑑,𝑔,𝑗,𝑥   𝐶,𝑔,𝑗,𝑘   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (𝑥,𝑗,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘)   𝐻(𝑐)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐿(𝑘,𝑐,𝑑)   (𝑘,𝑐)   𝑁(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   0 (𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgpgrp 22102 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 tsmsxp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 isabl 18404 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
63, 4, 5sylanbrc 572 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 tsmsxp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 tsmsxp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 tsmsxp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elfpw 8424 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾𝐴𝐾 ∈ Fin))
1110simprbi 484 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾 ∈ Fin)
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
13 tsmsxp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
14 elfpw 8424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑁𝐶𝑁 ∈ Fin))
1514simprbi 484 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
17 xpfi 8387 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
1812, 16, 17syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
19 tsmsxp.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
2010simplbi 485 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾𝐴)
219, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
2214simplbi 485 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁𝐶)
2313, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐶)
24 xpss12 5264 . . . . . 6 ((𝐾𝐴𝑁𝐶) → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2521, 23, 24syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2619, 25fssresd 6211 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)):(𝐾 × 𝑁)⟶𝐵)
27 tsmsxp.3 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
2826, 18, 27fdmfifsupp 8441 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)) finSupp 0 )
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 18523 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵)
30 tsmsxp.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
3130, 21fssresd 6211 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾):𝐾𝐵)
3231, 12, 27fdmfifsupp 8441 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾) finSupp 0 )
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 18523 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)
34 tsmsxp.p . . . 4 + = (+g𝐺)
35 tsmsxp.m . . . 4 = (-g𝐺)
367, 34, 35ablpncan3 18429 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
376, 29, 33, 36syl12anc 1474 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
38 tsmsxp.5 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
394adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ CMnd)
40 snfi 8194 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ Fin
4116adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
42 xpfi 8387 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4340, 41, 42sylancr 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4419adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
4521sselda 3752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐴)
4645snssd 4475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
4723adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁𝐶)
48 xpss12 5264 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ⊆ 𝐴𝑁𝐶) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
4946, 47, 48syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
5044, 49fssresd 6211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)):({𝑦} × 𝑁)⟶𝐵)
51 fvex 6342 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) ∈ V
528, 51eqeltri 2846 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 0 ∈ V)
5450, 43, 53fdmfifsupp 8441 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)) finSupp 0 )
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 18523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ 𝐵)
56 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
5755, 56fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))):𝐾𝐵)
58 ovexd 6825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ V)
5956, 12, 58, 27fsuppmptdm 8442 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) finSupp 0 )
607, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 59gsumsub 18555 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
61 fvexd 6344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐻𝑦) ∈ V)
6230, 21feqresmpt 6392 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐾) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐻𝑦)))
63 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
6412, 61, 58, 62, 63offval2 7061 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))))
6564oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
66 cmnmnd 18415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
68 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
6944adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7045adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑦𝐴)
7147sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑧𝐶)
7269, 70, 71fovrnd 6953 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
73 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
7472, 73fmptd 6527 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):𝑁𝐵)
75 ovexd 6825 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
7673, 41, 75, 53fsuppmptdm 8442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
777, 8, 39, 41, 74, 76gsumcl 18523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵)
78 velsn 4332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑦} ↔ 𝑤 = 𝑦)
79 ovres 6947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
8078, 79sylanbr 571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
81 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8281adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8380, 82eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8483mpteq2dva 4878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
8584oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
867, 85gsumsn 18561 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐾 ∧ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8767, 68, 77, 86syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8840a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ∈ Fin)
897, 8, 39, 88, 41, 50, 54gsumxp 18582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))))
90 ovres 6947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐾𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
9190adantll 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
9291mpteq2dva 4878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
9392oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
9487, 89, 933eqtr4d 2815 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))
9594mpteq2dva 4878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)))))
9695oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
977, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 18582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
9896, 97eqtr4d 2808 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))
9998oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
10060, 65, 993eqtr3d 2813 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
101 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → (𝐺 Σg 𝑔) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
102101eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → ((𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
103 tsmsxp.6 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
104 tsmsxp.x . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
105 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
106 sneq 4326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
107106xpeq1d 5278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ({𝑥} × 𝑁) = ({𝑦} × 𝑁))
108107reseq2d 5534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)) = (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))
109108oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
110105, 109oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) = ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
111110eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿))
112111rspccva 3459 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
113104, 112sylan 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
114 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
115113, 114fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿)
116 tsmsxp.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐽)
117116, 9elmapd 8023 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿𝑚 𝐾) ↔ (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿))
118115, 117mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿𝑚 𝐾))
119102, 103, 118rspcdva 3466 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
120100, 119eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇)
121 tsmsxp.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
122 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑))
123122eleq1d 2835 . . . 4 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → ((𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈))
124 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))))
125124eleq1d 2835 . . . 4 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈))
126123, 125rspc2va 3473 . . 3 ((((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12738, 120, 121, 126syl21anc 1475 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12837, 127eqeltrrd 2851 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  cmpt 4863   × cxp 5247  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  TopOpenctopn 16290  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  CMndccmn 18400  Abelcabl 18401  TopGrpctgp 22095   tsums ctsu 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-tgp 22097
This theorem is referenced by:  tsmsxp  22178
  Copyright terms: Public domain W3C validator