MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsxplem2 23505
Description: Lemma for tsmsxp 23506. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsxp.c (𝜑𝐶𝑊)
tsmsxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
tsmsxp.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsxp.1 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsxp.z 0 = (0g𝐺)
tsmsxp.p + = (+g𝐺)
tsmsxp.m = (-g𝐺)
tsmsxp.l (𝜑𝐿𝐽)
tsmsxp.3 (𝜑0𝐿)
tsmsxp.k (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
tsmsxp.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
tsmsxp.s (𝜑𝐷 ⊆ (𝐾 × 𝑁))
tsmsxp.x (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿m 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥,𝐺   𝐵,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑔,𝐿,𝑗,𝑥   𝐴,𝑔,𝑗,𝑘   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑   ,𝑑,𝑔,𝑗,𝑥   𝐶,𝑔,𝑗,𝑘   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (𝑥,𝑗,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘)   𝐻(𝑐)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐿(𝑘,𝑐,𝑑)   (𝑘,𝑐)   𝑁(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   0 (𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgpgrp 23429 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 tsmsxp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 isabl 19566 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
63, 4, 5sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 tsmsxp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 tsmsxp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 tsmsxp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
109elin2d 4159 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
11 tsmsxp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
1211elin2d 4159 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
13 xpfi 9261 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
15 tsmsxp.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
16 elfpw 9298 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾𝐴𝐾 ∈ Fin))
1716simplbi 498 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾𝐴)
189, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
19 elfpw 9298 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑁𝐶𝑁 ∈ Fin))
2019simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁𝐶)
2111, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐶)
22 xpss12 5648 . . . . . 6 ((𝐾𝐴𝑁𝐶) → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2415, 23fssresd 6709 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)):(𝐾 × 𝑁)⟶𝐵)
25 tsmsxp.3 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
2624, 14, 25fdmfifsupp 9315 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)) finSupp 0 )
277, 8, 4, 14, 24, 26gsumcl 19692 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵)
28 tsmsxp.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
2928, 18fssresd 6709 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾):𝐾𝐵)
3029, 10, 25fdmfifsupp 9315 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾) finSupp 0 )
317, 8, 4, 9, 29, 30gsumcl 19692 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)
32 tsmsxp.p . . . 4 + = (+g𝐺)
33 tsmsxp.m . . . 4 = (-g𝐺)
347, 32, 33ablpncan3 19595 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
356, 27, 31, 34syl12anc 835 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
36 tsmsxp.5 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
374adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ CMnd)
38 snfi 8988 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ Fin
3912adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
40 xpfi 9261 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4138, 39, 40sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4215adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
4318sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐴)
4443snssd 4769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
4521adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁𝐶)
46 xpss12 5648 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ⊆ 𝐴𝑁𝐶) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
4842, 47fssresd 6709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)):({𝑦} × 𝑁)⟶𝐵)
498fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 0 ∈ V)
5148, 41, 50fdmfifsupp 9315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)) finSupp 0 )
527, 8, 37, 41, 48, 51gsumcl 19692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ 𝐵)
5352fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))):𝐾𝐵)
54 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
55 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ V)
5654, 10, 55, 25fsuppmptdm 9316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) finSupp 0 )
577, 8, 33, 6, 9, 29, 53, 30, 56gsumsub 19725 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘f (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
58 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐻𝑦) ∈ V)
5928, 18feqresmpt 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐾) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐻𝑦)))
60 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
619, 58, 55, 59, 60offval2 7637 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝐾) ∘f (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))))
6261oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘f (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
63 cmnmnd 19579 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6437, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
6642adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
6743adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑦𝐴)
6845sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑧𝐶)
6966, 67, 68fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
7069fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):𝑁𝐵)
71 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
72 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
7371, 39, 72, 50fsuppmptdm 9316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
747, 8, 37, 39, 70, 73gsumcl 19692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵)
75 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑦} ↔ 𝑤 = 𝑦)
76 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
7775, 76sylanbr 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
78 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8077, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8180mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
8281oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
837, 82gsumsn 19731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐾 ∧ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8464, 65, 74, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8538a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ∈ Fin)
867, 8, 37, 85, 39, 48, 51gsumxp 19753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))))
87 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐾𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8887adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8988mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
9089oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
9184, 86, 903eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))
9291mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)))))
9392oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
947, 8, 4, 10, 12, 24, 26gsumxp 19753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
9593, 94eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))
9695oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
9757, 62, 963eqtr3d 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
98 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → (𝐺 Σg 𝑔) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
9998eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → ((𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
100 tsmsxp.6 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿m 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
101 tsmsxp.x . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
102 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
103 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
104103xpeq1d 5662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ({𝑥} × 𝑁) = ({𝑦} × 𝑁))
105104reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)) = (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))
106105oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
107102, 106oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) = ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
108107eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿))
109108rspccva 3580 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
110101, 109sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
111110fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿)
112 tsmsxp.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐽)
113112, 9elmapd 8779 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿m 𝐾) ↔ (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿))
114111, 113mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿m 𝐾))
11599, 100, 114rspcdva 3582 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
11697, 115eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇)
117 tsmsxp.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
118 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑))
119118eleq1d 2822 . . . 4 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → ((𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈))
120 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))))
121120eleq1d 2822 . . . 4 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈))
122119, 121rspc2va 3591 . . 3 ((((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12336, 116, 117, 122syl21anc 836 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12435, 123eqeltrrd 2839 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563  TopGrpctgp 23422   tsums ctsu 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-tgp 23424
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23506
  Copyright terms: Public domain W3C validator