Theorem tsmsxplem2 24292

Description: Lemma for tsmsxp 24293. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
tsmsxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
tsmsxp.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
tsmsxp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsxp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsxp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmsxp.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐽)
tsmsxp.3	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐿)
tsmsxp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
tsmsxp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
tsmsxp.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (𝐾 × 𝑁))
tsmsxp.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿 ↑m 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tsmsxplem2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥,𝐺   𝐵,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑔,𝐿,𝑗,𝑥   𝐴,𝑔,𝑗,𝑘   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑   − ,𝑑,𝑔,𝑗,𝑥   𝐶,𝑔,𝑗,𝑘   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (𝑥,𝑗,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘)   𝐻(𝑐)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐿(𝑘,𝑐,𝑑)   − (𝑘,𝑐)   𝑁(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   0 (𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tsmsxplem2

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsxp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgpgrp 24216	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		tsmsxp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		isabl 19855	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
6	3, 4, 5	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
7		tsmsxp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		tsmsxp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsxp.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10	9	elin2d 4159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
11		tsmsxp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
12	11	elin2d 4159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
13		xpfi 9280	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
15		tsmsxp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
16		elfpw 9312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Fin))
17	16	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾 ⊆ 𝐴)
18	9, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐴)
19		elfpw 9312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑁 ∈ Fin))
20	19	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁 ⊆ 𝐶)
21	11, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐶)
22		xpss12 5678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑁 ⊆ 𝐶) → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
24	15, 23	fssresd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)):(𝐾 × 𝑁)⟶𝐵)
25		tsmsxp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐿)
26	24, 14, 25	fdmfifsupp 9336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)) finSupp 0 )
27	7, 8, 4, 14, 24, 26	gsumcl 19986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵)
28		tsmsxp.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
29	28, 18	fssresd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾):𝐾⟶𝐵)
30	29, 10, 25	fdmfifsupp 9336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾) finSupp 0 )
31	7, 8, 4, 9, 29, 30	gsumcl 19986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝐵)
32		tsmsxp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
33		tsmsxp.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	7, 32, 33	ablpncan3 19887	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)))
35	6, 27, 31, 34	syl12anc 849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)))
36		tsmsxp.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
37	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ CMnd)
38		snfi 9041	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
39	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
40		xpfi 9280	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
41	38, 39, 40	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
42	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
43	18	sselda 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
45	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑁 ⊆ 𝐶)
46		xpss12 5678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑁 ⊆ 𝐶) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
47	44, 45, 46	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
48	42, 47	fssresd 6747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)):({𝑦} × 𝑁)⟶𝐵)
49	8	fvexi 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 0 ∈ V)
51	48, 41, 50	fdmfifsupp 9336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)) finSupp 0 )
52	7, 8, 37, 41, 48, 51	gsumcl 19986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ 𝐵)
53	52	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))):𝐾⟶𝐵)
54		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
55		ovexd 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ V)
56	54, 10, 55, 25	fsuppmptdm 9337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) finSupp 0 )
57	7, 8, 33, 6, 9, 29, 53, 30, 56	gsumsub 20019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘f − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
58		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐻‘𝑦) ∈ V)
59	28, 18	feqresmpt 6952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐻‘𝑦)))
60		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
61	9, 58, 55, 59, 60	offval2 7696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘f − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))))
62	61	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘f − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
63		cmnmnd 19868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64	37, 63	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
66	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
67	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐴)
68	45	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝑧 ∈ 𝐶)
69	66, 67, 68	fovcdmd 7584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
70	69	fmpttd 7112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):𝑁⟶𝐵)
71		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
72		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
73	71, 39, 72, 50	fsuppmptdm 9337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
74	7, 8, 37, 39, 70, 73	gsumcl 19986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵)
75		velsn 4606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑦} ↔ 𝑤 = 𝑦)
76		ovres 7578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
77	75, 76	sylanbr 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
78		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
79	78	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
80	77, 79	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
81	80	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
82	81	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
83	7, 82	gsumsn 20025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
84	64, 65, 74, 83	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
85	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → {𝑦} ∈ Fin)
86	7, 8, 37, 85, 39, 48, 51	gsumxp 20047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))))
87		ovres 7578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
88	87	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
89	88	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
90	89	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
91	84, 86, 90	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))
92	91	mpteq2dva 5205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)))))
93	92	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
94	7, 8, 4, 10, 12, 24, 26	gsumxp 20047	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
95	93, 94	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))
96	95	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
97	57, 62, 96	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
98		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → (𝐺 Σg 𝑔) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
99	98	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → ((𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
100		tsmsxp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿 ↑m 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
101		tsmsxp.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
102		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
103		sneq 4600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
104	103	xpeq1d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝑥} × 𝑁) = ({𝑦} × 𝑁))
105	104	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)) = (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))
106	105	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
107	102, 106	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) = ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
108	107	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿))
109	108	rspccva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
110	101, 109	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
111	110	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾⟶𝐿)
112		tsmsxp.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐽)
113	112, 9	elmapd 8838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑m 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾⟶𝐿))
114	111, 113	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑m 𝐾))
115	99, 100, 114	rspcdva 3583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
116	97, 115	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇)
117		tsmsxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
118		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑))
119	118	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → ((𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈))
120		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))))
121	120	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈))
122	119, 121	rspc2va 3594	. . 3 ⊢ ((((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
123	36, 116, 117, 122	syl21anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
124	35, 123	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  {csn 4590   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  TopOpenctopn 17475  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003  CMndccmn 19851  Abelcabl 19852  TopGrpctgp 24209   tsums ctsu 24264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-tgp 24211

This theorem is referenced by:  tsmsxp  24293