MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpnpcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpnpcan 19050
Description: Cancellation law for subtraction (npcan 11517 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpnpcan ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grpnpcan
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 19005 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
433adant2 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
5 grpsubadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
61, 5grpcl 18959 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
74, 6syld3an3 1411 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
8 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
91, 5, 2, 8grpsubval 19003 . . 3 (((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
107, 4, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
111, 5, 8grppncan 19049 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
124, 11syld3an3 1411 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
131, 5, 2, 8grpsubval 19003 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
14133adant1 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
1514eqcomd 2743 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 𝑌))
161, 2grpinvinv 19023 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17163adant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1815, 17oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑋 𝑌) + 𝑌))
1910, 12, 183eqtr3rd 2786 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  19051  grpnpncan  19053  grpnnncan2  19055  dfgrp3  19057  xpsgrpsub  19079  nsgconj  19177  conjghm  19267  conjnmz  19270  sylow2blem1  19638  ablpncan3  19834  lmodvnpcan  20914  ipsubdir  21660  ipsubdi  21661  coe1subfv  22269  mdetunilem9  22626  subgntr  24115  ghmcnp  24123  tgpt0  24127  r1pid  26200  archiabllem1a  33198  archiabllem2a  33201  ornglmulle  33335  orngrmulle  33336  kercvrlsm  43095  hbtlem5  43140
  Copyright terms: Public domain W3C validator