MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpnpcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpnpcan 19063
Description: Cancellation law for subtraction (npcan 11515 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpnpcan ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grpnpcan
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 19018 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
433adant2 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
5 grpsubadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
61, 5grpcl 18972 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
74, 6syld3an3 1408 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
8 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
91, 5, 2, 8grpsubval 19016 . . 3 (((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
107, 4, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
111, 5, 8grppncan 19062 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
124, 11syld3an3 1408 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
131, 5, 2, 8grpsubval 19016 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
14133adant1 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
1514eqcomd 2741 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 𝑌))
161, 2grpinvinv 19036 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17163adant2 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1815, 17oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑋 𝑌) + 𝑌))
1910, 12, 183eqtr3rd 2784 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  19064  grpnpncan  19066  grpnnncan2  19068  dfgrp3  19070  xpsgrpsub  19092  nsgconj  19190  conjghm  19280  conjnmz  19283  sylow2blem1  19653  ablpncan3  19849  lmodvnpcan  20931  ipsubdir  21678  ipsubdi  21679  coe1subfv  22285  mdetunilem9  22642  subgntr  24131  ghmcnp  24139  tgpt0  24143  r1pid  26215  archiabllem1a  33181  archiabllem2a  33184  ornglmulle  33315  orngrmulle  33316  kercvrlsm  43072  hbtlem5  43117
  Copyright terms: Public domain W3C validator