MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvres 20849
Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
abvres.b 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
abvres ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3 abvres.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
43subrgbas 20598 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
54adantl 481 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73, 6ressplusg 17336 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
87adantl 481 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
9 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
103, 9ressmulr 17353 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110adantl 481 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12 subrgsubg 20594 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1312adantl 481 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
153, 14subg0 19163 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
173subrgring 20591 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
1817adantl 481 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19 abvres.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2119, 20abvf 20833 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
2220subrgss 20589 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23 fssres 6775 . . 3 ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2421, 22, 23syl2an 596 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2514subg0cl 19165 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
26 fvres 6926 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2713, 25, 263syl 18 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2819, 14abv0 20841 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
2928adantr 480 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3027, 29eqtrd 2775 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = 0)
31 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
3222adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
3332sselda 3995 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34333adant3 1131 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1137 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
3619, 20, 14abvgt0 20838 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
3731, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
38 fvres 6926 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
39383ad2ant2 1133 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4037, 39breqtrrd 5176 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑥))
41 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
42 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
4342, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥𝐶)
4543, 44sseldd 3996 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3l 1200 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐶)
4743, 46sseldd 3996 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
4819, 20, 9abvmul 20839 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
4941, 45, 47, 48syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
509subrgmcl 20601 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5142, 44, 46, 50syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5251fvresd 6927 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)))
5344fvresd 6927 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5446fvresd 6927 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
5553, 54oveq12d 7449 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
5649, 52, 553eqtr4d 2785 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
5719, 20, 6abvtri 20840 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
5841, 45, 47, 57syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
596subrgacl 20600 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6042, 44, 46, 59syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6160fvresd 6927 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
6253, 54oveq12d 7449 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
6358, 61, 623brtr4d 5180 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
642, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63isabvd 20830 1 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963   class class class wbr 5148  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  AbsValcabv 20826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-ico 13390  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827
This theorem is referenced by:  subrgnrg  24710  qabsabv  27688
  Copyright terms: Public domain W3C validator