Theorem abvres 19603

Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvres.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
abvres.b	⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
abvres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvres.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3		abvres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
4	3	subrgbas 19537	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
5	4	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	3, 6	ressplusg 16604	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
8	7	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
9		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3, 9	ressmulr 16617	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		subrgsubg 19534	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subg0 18277	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
17	3	subrgring 19531	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
18	17	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19		abvres.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 20	abvf 19587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
22	20	subrgss 19529	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23		fssres 6518	. . 3 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
24	21, 22, 23	syl2an 598	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
25	14	subg0cl 18279	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐶)
26		fvres 6664	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
27	13, 25, 26	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	19, 14	abv0 19595	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
29	28	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = 0)
31		simp1l 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
32	22	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
33	32	sselda 3915	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34	33	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
36	19, 20, 14	abvgt0 19592	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
38		fvres 6664	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
39	38	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	breqtrrd 5058	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥))
41		simp1l 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp1r 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	42, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44		simp2l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ 𝐶)
45	43, 44	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
47	43, 46	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
48	19, 20, 9	abvmul 19593	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
49	41, 45, 47, 48	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
50	9	subrgmcl 19540	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
51	42, 44, 46, 50	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52	51	fvresd 6665	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	44	fvresd 6665	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
54	46	fvresd 6665	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
55	53, 54	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
56	49, 52, 55	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
57	19, 20, 6	abvtri 19594	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	41, 45, 47, 57	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	6	subrgacl 19539	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
60	42, 44, 46, 59	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
61	60	fvresd 6665	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
62	53, 54	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
63	58, 61, 62	3brtr4d 5062	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
64	2, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63	isabvd 19584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  Ringcrg 19290  SubRingcsubrg 19524  AbsValcabv 19580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ico 12732  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-abv 19581

This theorem is referenced by:  subrgnrg  23279  qabsabv  26213