MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvres 20099
Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
abvres.b 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
abvres ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3 abvres.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
43subrgbas 20033 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
54adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2738 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73, 6ressplusg 17000 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
87adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
9 eqid 2738 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
103, 9ressmulr 17017 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12 subrgsubg 20030 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1312adantl 482 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
153, 14subg0 18761 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
173subrgring 20027 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
1817adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19 abvres.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2119, 20abvf 20083 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
2220subrgss 20025 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23 fssres 6640 . . 3 ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2421, 22, 23syl2an 596 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2514subg0cl 18763 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
26 fvres 6793 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2713, 25, 263syl 18 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2819, 14abv0 20091 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
2928adantr 481 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3027, 29eqtrd 2778 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = 0)
31 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
3222adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
3332sselda 3921 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34333adant3 1131 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1137 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
3619, 20, 14abvgt0 20088 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
3731, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
38 fvres 6793 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
39383ad2ant2 1133 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4037, 39breqtrrd 5102 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑥))
41 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
42 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
4342, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥𝐶)
4543, 44sseldd 3922 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3l 1200 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐶)
4743, 46sseldd 3922 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
4819, 20, 9abvmul 20089 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
4941, 45, 47, 48syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
509subrgmcl 20036 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5142, 44, 46, 50syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5251fvresd 6794 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)))
5344fvresd 6794 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5446fvresd 6794 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
5553, 54oveq12d 7293 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
5649, 52, 553eqtr4d 2788 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
5719, 20, 6abvtri 20090 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
5841, 45, 47, 57syl3anc 1370 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
596subrgacl 20035 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6042, 44, 46, 59syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6160fvresd 6794 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
6253, 54oveq12d 7293 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
6358, 61, 623brtr4d 5106 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
642, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63isabvd 20080 1 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wss 3887   class class class wbr 5074  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  Basecbs 16912  s cress 16941  +gcplusg 16962  .rcmulr 16963  0gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020  AbsValcabv 20076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-ico 13085  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-abv 20077
This theorem is referenced by:  subrgnrg  23837  qabsabv  26777
  Copyright terms: Public domain W3C validator