Theorem abvres 20986

Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvres.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
abvres.b	⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
abvres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvres.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3		abvres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
4	3	subrgbas 20732	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	3, 6	ressplusg 17368	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3, 9	ressmulr 17384	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		subrgsubg 20728	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subg0 19244	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
17	3	subrgring 20725	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19		abvres.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 20	abvf 20970	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
22	20	subrgss 20723	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23		fssres 6748	. . 3 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
24	21, 22, 23	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
25	14	subg0cl 19246	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐶)
26		fvres 6904	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
27	13, 25, 26	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	19, 14	abv0 20978	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = 0)
31		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
32	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
33	32	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
36	19, 20, 14	abvgt0 20975	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
38		fvres 6904	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
39	38	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	breqtrrd 5141	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥))
41		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	42, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ 𝐶)
45	43, 44	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
47	43, 46	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
48	19, 20, 9	abvmul 20976	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
49	41, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
50	9	subrgmcl 20735	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
51	42, 44, 46, 50	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52	51	fvresd 6905	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	44	fvresd 6905	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
54	46	fvresd 6905	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
55	53, 54	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
56	49, 52, 55	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
57	19, 20, 6	abvtri 20977	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	41, 45, 47, 57	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	6	subrgacl 20734	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
60	42, 44, 46, 59	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
61	60	fvresd 6905	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
62	53, 54	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
63	58, 61, 62	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
64	2, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63	isabvd 20967	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   ≤ cle 11261  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  0_gc0g 17516  SubGrpcsubg 19232  Ringcrg 20361  SubRingcsubrg 20720  AbsValcabv 20963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-ico 13396  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-subg 19235  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-abv 20964

This theorem is used by:  subrgnrg  24883  qabsabv  27846