MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvres 20298
Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
abvres.b 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
abvres ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3 abvres.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
43subrgbas 20231 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
54adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73, 6ressplusg 17171 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
87adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
9 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
103, 9ressmulr 17188 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12 subrgsubg 20228 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1312adantl 482 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
153, 14subg0 18934 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
173subrgring 20225 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
1817adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19 abvres.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2119, 20abvf 20282 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
2220subrgss 20223 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23 fssres 6708 . . 3 ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2421, 22, 23syl2an 596 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2514subg0cl 18936 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
26 fvres 6861 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2713, 25, 263syl 18 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2819, 14abv0 20290 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
2928adantr 481 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3027, 29eqtrd 2776 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = 0)
31 simp1l 1197 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
3222adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
3332sselda 3944 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34333adant3 1132 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1138 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
3619, 20, 14abvgt0 20287 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
3731, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
38 fvres 6861 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
39383ad2ant2 1134 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4037, 39breqtrrd 5133 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑥))
41 simp1l 1197 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
42 simp1r 1198 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
4342, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥𝐶)
4543, 44sseldd 3945 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐶)
4743, 46sseldd 3945 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
4819, 20, 9abvmul 20288 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
4941, 45, 47, 48syl3anc 1371 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
509subrgmcl 20234 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5142, 44, 46, 50syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5251fvresd 6862 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)))
5344fvresd 6862 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5446fvresd 6862 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
5553, 54oveq12d 7375 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
5649, 52, 553eqtr4d 2786 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
5719, 20, 6abvtri 20289 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
5841, 45, 47, 57syl3anc 1371 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
596subrgacl 20233 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6042, 44, 46, 59syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6160fvresd 6862 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
6253, 54oveq12d 7375 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
6358, 61, 623brtr4d 5137 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
642, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63isabvd 20279 1 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wss 3910   class class class wbr 5105  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  SubGrpcsubg 18922  Ringcrg 19964  SubRingcsubrg 20218  AbsValcabv 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-ico 13270  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-abv 20276
This theorem is referenced by:  subrgnrg  24037  qabsabv  26977
  Copyright terms: Public domain W3C validator