Theorem abvres 21103

Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvres.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
abvres.b	⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
abvres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvres.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3		abvres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
4	3	subrgbas 20848	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	3, 6	ressplusg 17477	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3, 9	ressmulr 17493	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		subrgsubg 20844	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subg0 19357	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
17	3	subrgring 20841	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19		abvres.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 20	abvf 21087	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
22	20	subrgss 20839	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23		fssres 6759	. . 3 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
24	21, 22, 23	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
25	14	subg0cl 19359	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐶)
26		fvres 6915	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
27	13, 25, 26	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	19, 14	abv0 21095	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = 0)
31		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
32	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
33	32	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
36	19, 20, 14	abvgt0 21092	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
38		fvres 6915	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
39	38	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	breqtrrd 5136	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥))
41		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	42, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ 𝐶)
45	43, 44	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
47	43, 46	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
48	19, 20, 9	abvmul 21093	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
49	41, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
50	9	subrgmcl 20851	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
51	42, 44, 46, 50	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52	51	fvresd 6916	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	44	fvresd 6916	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
54	46	fvresd 6916	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
55	53, 54	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
56	49, 52, 55	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
57	19, 20, 6	abvtri 21094	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	41, 45, 47, 57	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	6	subrgacl 20850	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
60	42, 44, 46, 59	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
61	60	fvresd 6916	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
62	53, 54	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
63	58, 61, 62	3brtr4d 5140	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
64	2, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63	isabvd 21084	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↾ cres 5657  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213   + caddc 11216   · cmul 11218   < clt 11356   ≤ cle 11357  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  +_gcplusg 17443  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625  SubGrpcsubg 19345  Ringcrg 20474  SubRingcsubrg 20836  AbsValcabv 21080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-ico 13495  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-abv 21081

This theorem is used by:  subrgnrg  25007  qabsabv  27971