Theorem abvres 21000

Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvres.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
abvres.b	⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
abvres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvres.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3		abvres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
4	3	subrgbas 20746	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	3, 6	ressplusg 17379	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3, 9	ressmulr 17395	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		subrgsubg 20742	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subg0 19258	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
17	3	subrgring 20739	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19		abvres.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 20	abvf 20984	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
22	20	subrgss 20737	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23		fssres 6742	. . 3 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
24	21, 22, 23	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
25	14	subg0cl 19260	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐶)
26		fvres 6898	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
27	13, 25, 26	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	19, 14	abv0 20992	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = 0)
31		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
32	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
33	32	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
36	19, 20, 14	abvgt0 20989	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
38		fvres 6898	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
39	38	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥))
41		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	42, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ 𝐶)
45	43, 44	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
47	43, 46	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
48	19, 20, 9	abvmul 20990	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
49	41, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
50	9	subrgmcl 20749	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
51	42, 44, 46, 50	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52	51	fvresd 6899	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	44	fvresd 6899	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
54	46	fvresd 6899	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
55	53, 54	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
56	49, 52, 55	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
57	19, 20, 6	abvtri 20991	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	41, 45, 47, 57	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	6	subrgacl 20748	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
60	42, 44, 46, 59	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
61	60	fvresd 6899	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
62	53, 54	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
63	58, 61, 62	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
64	2, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 56, 63	isabvd 20981	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527  SubGrpcsubg 19246  Ringcrg 20375  SubRingcsubrg 20734  AbsValcabv 20977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-ico 13407  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-abv 20978

This theorem is used by:  subrgnrg  24902  qabsabv  27868