MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvle 25619
Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvle ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
31, 2breq12d 4824 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
43imbi2d 331 . . 3 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
6 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
75, 6breq12d 4824 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛))
87imbi2d 331 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)))
9 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
119, 10breq12d 4824 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
1211imbi2d 331 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
14 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑁)
1513, 14breq12d 4824 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
1615imbi2d 331 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)))
17 qabsabv.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1918qrng0 25615 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
2017, 19abv0 19114 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21 0le0 11384 . . . 4 0 ≤ 0
2220, 21syl6eqbr 4850 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23 nn0p1nn 11583 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25 nnq 12007 . . . . . . . . 9 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2718qrngbas 25613 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
2817, 27abvcl 19107 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2926, 28syldan 585 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30 nn0z 11652 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 12000 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
3417, 27abvcl 19107 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3533, 34syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
36 peano2re 10467 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3831zred 11734 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 peano2re 10467 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹𝐴)
42 1z 11659 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
43 zq 12000 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45 qex 12006 . . . . . . . . . . 11 ℚ ∈ V
46 cnfldadd 20038 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
4718, 46ressplusg 16279 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑄)
4917, 27, 48abvtri 19113 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
5041, 33, 44, 49syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
51 ax-1ne0 10262 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
5218qrng1 25616 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑄)
5317, 52, 19abv1z 19115 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
5451, 53mpan2 682 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
5554adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
5655oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹𝑛) + 1))
5750, 56breqtrd 4837 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + 1))
58 1red 10298 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59 simprr 789 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 10899 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
6129, 37, 40, 57, 60letrd 10452 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
6261expr 448 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
6362expcom 402 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
6463a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 11724 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
6665impcom 396 1 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196  cle 10333  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  cq 11994  s cress 16145  +gcplusg 16228  AbsValcabv 19099  fldccnfld 20033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-ico 12388  df-fz 12539  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-0g 16382  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-subg 17869  df-cmn 18475  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-invr 18953  df-dvr 18964  df-drng 19032  df-subrg 19061  df-abv 19100  df-cnfld 20034
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  25628  ostth2  25631
  Copyright terms: Public domain W3C validator