Theorem qabvle 27689

Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvle	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
3	1, 2	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
4	3	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
7	5, 6	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛))
8	7	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)))
9		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
11	9, 10	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
12	11	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 = 𝑁)
15	13, 14	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
16	15	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)))
17		qabsabv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
19	18	qrng0 27685	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
20	17, 19	abv0 20872	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21		0le0 12319	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
22	20, 21	eqbrtrdi 5139	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23		nn0p1nn 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25		nnq 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
27	18	qrngbas 27683	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
28	17, 27	abvcl 20865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
29	26, 28	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30		nn0z 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrl 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32		zq 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
34	17, 27	abvcl 20865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	33, 34	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
36		peano2re 11356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
38	31	zred 12677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		peano2re 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		1z 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		zq 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45		qex 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
46		cnfldadd 21430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
47	18, 46	ressplusg 17320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+g‘𝑄))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑄)
49	17, 27, 48	abvtri 20871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
51		ax-1ne0 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52	18	qrng1 27686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
53	17, 52, 19	abv1z 20873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
54	51, 53	mpan2 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
55	54	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
56	55	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹‘𝑛) + 1))
57	50, 56	breqtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1))
58		1red 11182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 11801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
62	61	expr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
63	62	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
64	63	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 12668	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
66	65	impcom 411	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℚcq 12949   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  AbsValcabv 20857  ℂ_fldccnfld 21424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-ico 13355  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-subg 19165  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-abv 20858  df-cnfld 21425

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27698  ostth2  27701