MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvle 26973
Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvle ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
31, 2breq12d 5118 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
6 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
75, 6breq12d 5118 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)))
9 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
119, 10breq12d 5118 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
14 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑁)
1513, 14breq12d 5118 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
1615imbi2d 340 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)))
17 qabsabv.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1918qrng0 26969 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
2017, 19abv0 20290 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21 0le0 12254 . . . 4 0 ≤ 0
2220, 21eqbrtrdi 5144 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25 nnq 12887 . . . . . . . . 9 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2718qrngbas 26967 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
2817, 27abvcl 20283 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2926, 28syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30 nn0z 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 12879 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
3417, 27abvcl 20283 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3533, 34syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
36 peano2re 11328 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3831zred 12607 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 peano2re 11328 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹𝐴)
42 1z 12533 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
43 zq 12879 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45 qex 12886 . . . . . . . . . . 11 ℚ ∈ V
46 cnfldadd 20801 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
4718, 46ressplusg 17171 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑄)
4917, 27, 48abvtri 20289 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
5041, 33, 44, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
51 ax-1ne0 11120 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
5218qrng1 26970 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑄)
5317, 52, 19abv1z 20291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
5451, 53mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
5655oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹𝑛) + 1))
5750, 56breqtrd 5131 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + 1))
58 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 11769 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
6129, 37, 40, 57, 60letrd 11312 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
6261expr 457 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
6362expcom 414 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
6463a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 12598 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
6665impcom 408 1 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cq 12873  s cress 17112  +gcplusg 17133  AbsValcabv 20275  fldccnfld 20796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-ico 13270  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-cnfld 20797
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26982  ostth2  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator