MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvle 27108
Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvle ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
31, 2breq12d 5160 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
43imbi2d 341 . . 3 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
6 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
75, 6breq12d 5160 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)))
9 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
119, 10breq12d 5160 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
1211imbi2d 341 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
14 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑁)
1513, 14breq12d 5160 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
1615imbi2d 341 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)))
17 qabsabv.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1918qrng0 27104 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
2017, 19abv0 20427 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21 0le0 12309 . . . 4 0 ≤ 0
2220, 21eqbrtrdi 5186 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25 nnq 12942 . . . . . . . . 9 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2718qrngbas 27102 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
2817, 27abvcl 20420 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2926, 28syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30 nn0z 12579 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 12934 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
3417, 27abvcl 20420 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3533, 34syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
36 peano2re 11383 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3831zred 12662 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 peano2re 11383 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹𝐴)
42 1z 12588 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
43 zq 12934 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45 qex 12941 . . . . . . . . . . 11 ℚ ∈ V
46 cnfldadd 20934 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
4718, 46ressplusg 17231 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑄)
4917, 27, 48abvtri 20426 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
5041, 33, 44, 49syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
51 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
5218qrng1 27105 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑄)
5317, 52, 19abv1z 20428 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
5451, 53mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
5554adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
5655oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹𝑛) + 1))
5750, 56breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + 1))
58 1red 11211 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 11824 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
6129, 37, 40, 57, 60letrd 11367 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
6261expr 458 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
6362expcom 415 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
6463a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 12653 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
6665impcom 409 1 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  cle 11245  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cq 12928  s cress 17169  +gcplusg 17193  AbsValcabv 20412  fldccnfld 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-ico 13326  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-subrg 20349  df-abv 20413  df-cnfld 20930
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27117  ostth2  27120
  Copyright terms: Public domain W3C validator