Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvle 26115
 Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvle ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
31, 2breq12d 5076 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
43imbi2d 342 . . 3 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
6 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
75, 6breq12d 5076 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛))
87imbi2d 342 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)))
9 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
119, 10breq12d 5076 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
1211imbi2d 342 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
14 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑁)
1513, 14breq12d 5076 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
1615imbi2d 342 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)))
17 qabsabv.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1918qrng0 26111 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
2017, 19abv0 19522 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21 0le0 11727 . . . 4 0 ≤ 0
2220, 21eqbrtrdi 5102 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23 nn0p1nn 11925 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25 nnq 12351 . . . . . . . . 9 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2718qrngbas 26109 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
2817, 27abvcl 19515 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2926, 28syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30 nn0z 11994 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 12343 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
3417, 27abvcl 19515 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3533, 34syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
36 peano2re 10802 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3831zred 12076 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 peano2re 10802 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹𝐴)
42 1z 12001 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
43 zq 12343 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45 qex 12350 . . . . . . . . . . 11 ℚ ∈ V
46 cnfldadd 20466 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
4718, 46ressplusg 16602 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑄)
4917, 27, 48abvtri 19521 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
5041, 33, 44, 49syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
51 ax-1ne0 10595 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
5218qrng1 26112 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑄)
5317, 52, 19abv1z 19523 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
5451, 53mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
5655oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹𝑛) + 1))
5750, 56breqtrd 5089 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + 1))
58 1red 10631 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 11243 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
6129, 37, 40, 57, 60letrd 10786 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
6261expr 457 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
6362expcom 414 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
6463a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 12066 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
6665impcom 408 1 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  Vcvv 3500   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  ℤcz 11970  ℚcq 12337   ↾s cress 16474  +gcplusg 16555  AbsValcabv 19507  ℂfldccnfld 20461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-ico 12734  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-subg 18206  df-cmn 18828  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-subrg 19453  df-abv 19508  df-cnfld 20462 This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26124  ostth2  26127
 Copyright terms: Public domain W3C validator