Theorem qabvle 26973

Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvle	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
3	1, 2	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
7	5, 6	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)))
9		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
11	9, 10	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 = 𝑁)
15	13, 14	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)))
17		qabsabv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
19	18	qrng0 26969	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
20	17, 19	abv0 20290	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21		0le0 12254	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
22	20, 21	eqbrtrdi 5144	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23		nn0p1nn 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25		nnq 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
27	18	qrngbas 26967	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
28	17, 27	abvcl 20283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
29	26, 28	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30		nn0z 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32		zq 12879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
34	17, 27	abvcl 20283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	33, 34	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
36		peano2re 11328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
38	31	zred 12607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		peano2re 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		1z 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		zq 12879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45		qex 12886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
46		cnfldadd 20801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
47	18, 46	ressplusg 17171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+g‘𝑄))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑄)
49	17, 27, 48	abvtri 20289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
51		ax-1ne0 11120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52	18	qrng1 26970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
53	17, 52, 19	abv1z 20291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
54	51, 53	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
56	55	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹‘𝑛) + 1))
57	50, 56	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1))
58		1red 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 11769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 11312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
62	61	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
63	62	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
64	63	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 12598	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
66	65	impcom 408	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℚcq 12873   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  AbsValcabv 20275  ℂ_fldccnfld 20796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-ico 13270  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-cnfld 20797

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26982  ostth2  26985