Theorem qabvle 26209

Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvle	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
3	1, 2	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
4	3	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
7	5, 6	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛))
8	7	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)))
9		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
11	9, 10	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
12	11	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
14		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 = 𝑁)
15	13, 14	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
16	15	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)))
17		qabsabv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
19	18	qrng0 26205	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
20	17, 19	abv0 19595	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21		0le0 11726	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
22	20, 21	eqbrtrdi 5069	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25		nnq 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
27	18	qrngbas 26203	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
28	17, 27	abvcl 19588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
29	26, 28	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30		nn0z 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32		zq 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
34	17, 27	abvcl 19588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	33, 34	syldan 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
36		peano2re 10802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
38	31	zred 12075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		peano2re 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		1z 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		zq 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45		qex 12348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
46		cnfldadd 20096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
47	18, 46	ressplusg 16604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+g‘𝑄))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑄)
49	17, 27, 48	abvtri 19594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
51		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52	18	qrng1 26206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
53	17, 52, 19	abv1z 19596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
54	51, 53	mpan2 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
55	54	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
56	55	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹‘𝑛) + 1))
57	50, 56	breqtrd 5056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1))
58		1red 10631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 11243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
62	61	expr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
63	62	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
64	63	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 12065	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
66	65	impcom 411	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℚcq 12336   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  AbsValcabv 19580  ℂ_fldccnfld 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-ico 12732  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-cnfld 20092

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26218  ostth2  26221