Theorem qabvle 28009

Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvle	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
3	1, 2	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
7	5, 6	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)))
9		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
11	9, 10	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
14		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 = 𝑁)
15	13, 14	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)))
17		qabsabv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
19	18	qrng0 28005	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
20	17, 19	abv0 21131	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21		0le0 12484	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
22	20, 21	eqbrtrdi 5150	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23		nn0p1nn 12685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25		nnq 13129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
27	18	qrngbas 28003	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
28	17, 27	abvcl 21124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
29	26, 28	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30		nn0z 12757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32		zq 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
34	17, 27	abvcl 21124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	33, 34	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
36		peano2re 11522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
38	31	zred 12843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		peano2re 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		1z 12766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		zq 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
44	42, 43	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45		qex 13128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
46		cnfldadd 21735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
47	18, 46	ressplusg 17508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+g‘𝑄))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑄)
49	17, 27, 48	abvtri 21130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)))
51		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52	18	qrng1 28006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
53	17, 52, 19	abv1z 21132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
54	51, 53	mpan2 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
56	55	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹‘𝑛) + 1))
57	50, 56	breqtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1))
58		1red 11348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 11970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 11506	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
62	61	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
63	62	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
64	63	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 12834	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁))
66	65	impcom 413	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℚcq 13115   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  AbsValcabv 21116  ℂ_fldccnfld 21729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-ico 13522  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-abv 21117  df-cnfld 21730

This theorem is used by:  ostth2lem2  28018  ostth2  28021