Theorem ring0cl 20349

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20319	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 19031	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  Ringcrg 20314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-ring 20316

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20452  dvdsr02  20453  irredn0  20504  isnzr2  20600  isnzr2hash  20602  ringelnzr  20606  0ring  20609  01eq0ring  20613  01eq0ringOLD  20614  zrrnghm  20620  cntzsubr  20690  domneq0r  20807  imadrhmcl  20879  abv0  20905  abvtrivd  20914  lmod0cl  20988  lmod0vs  20995  lmodvs0  20996  rhmpreimaidl  21395  qsidomlem2  21460  lpi0  21473  frlmphllem  21909  frlmphl  21910  uvcvvcl2  21917  uvcff  21920  psr1cl  22089  mvrf  22113  mplmon  22165  mplmonmul  22166  mplcoe1  22167  evlslem3  22210  selvvvval  22272  coe1z  22403  coe1tmfv2  22415  ply1scln0  22431  ply1chr  22445  gsummoncoe1  22447  rhmmpl  22519  rhmply1vr1  22523  mamumat1cl  22575  dmatsubcl  22634  dmatmulcl  22636  scmatscmiddistr  22644  marrepcl  22700  mdetr0  22741  mdetunilem8  22755  mdetunilem9  22756  maducoeval2  22776  maduf  22777  madutpos  22778  madugsum  22779  marep01ma  22796  smadiadetlem4  22805  smadiadetglem2  22808  1elcpmat  22851  m2cpminv0  22897  decpmataa0  22904  monmatcollpw  22915  pmatcollpw3fi1lem1  22922  pmatcollpw3fi1lem2  22923  chfacfisf  22990  cphsubrglem  25315  mdegaddle  26210  ply1divex  26273  r1pid2  26298  facth1  26303  fta1blem  26307  abvcxp  27755  rloccring  33557  elrspunidl  33702  elrspunsn  33703  rhmimaidl  33706  ply1degltel  33850  ply1degleel  33851  ply1degltlss  33852  gsummoncoe1fzo  33853  ply1gsumz  33855  r1p0  33862  r1pquslmic  33866  extvfvvcl  33891  psrmon  33905  psrmonmul  33906  zrhcntr  34335  lfl0sc  39824  lflsc0N  39825  baerlem3lem1  42449  ricdrng1  43266  rhmpsr  43285  evl0  43287  evlsbagval  43288  frlmpwfi  43795  mnringmulrcld  44922  zlidlring  48966  cznrng  48993  isidom3  49077  linc0scn0  49170  linc1  49172