Theorem ring0cl 19541

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 19521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18349	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  0_gc0g 16898  Grpcgrp 18319  Ringcrg 19516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-ring 19518

This theorem is referenced by:  dvdsr01  19627  dvdsr02  19628  irredn0  19675  cntzsubr  19787  abv0  19821  abvtrivd  19830  lmod0cl  19879  lmod0vs  19886  lmodvs0  19887  lpi0  20239  isnzr2  20255  isnzr2hash  20256  ringelnzr  20258  0ring  20262  01eq0ring  20264  ringen1zr  20269  frlmphllem  20696  frlmphl  20697  uvcvvcl2  20704  uvcff  20707  psr1cl  20881  mvrf  20903  mplmon  20946  mplmonmul  20947  mplcoe1  20948  evlslem3  20994  coe1z  21138  coe1tmfv2  21150  ply1scl0  21165  ply1scln0  21166  gsummoncoe1  21179  mamumat1cl  21290  dmatsubcl  21349  dmatmulcl  21351  scmatscmiddistr  21359  marrepcl  21415  mdetr0  21456  mdetunilem8  21470  mdetunilem9  21471  maducoeval2  21491  maduf  21492  madutpos  21493  madugsum  21494  marep01ma  21511  smadiadetlem4  21520  smadiadetglem2  21523  1elcpmat  21566  m2cpminv0  21612  decpmataa0  21619  monmatcollpw  21630  pmatcollpw3fi1lem1  21637  pmatcollpw3fi1lem2  21638  chfacfisf  21705  cphsubrglem  24028  mdegaddle  24926  ply1divex  24988  facth1  25016  fta1blem  25020  abvcxp  26450  rhmpreimaidl  31271  elrspunidl  31274  rhmimaidl  31277  qsidomlem2  31297  ply1chr  31337  lfl0sc  36782  lflsc0N  36783  baerlem3lem1  39407  selvval2lem4  39882  evlsbagval  39926  mhphf  39936  frlmpwfi  40567  mnringmulrcld  41460  zrrnghm  45091  zlidlring  45102  cznrng  45129  linc0scn0  45380  linc1  45382