Theorem ring0cl 20207

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20182	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18926	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  Ringcrg 20177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-ring 20179

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20314  dvdsr02  20315  irredn0  20366  isnzr2  20461  isnzr2hash  20462  ringelnzr  20464  0ring  20467  01eq0ring  20471  01eq0ringOLD  20472  zrrnghm  20477  cntzsubr  20549  ringen1zr  20670  imadrhmcl  20689  abv0  20715  abvtrivd  20724  lmod0cl  20775  lmod0vs  20782  lmodvs0  20783  lpi0  21220  frlmphllem  21718  frlmphl  21719  uvcvvcl2  21726  uvcff  21729  psr1cl  21910  mvrf  21934  mplmon  21980  mplmonmul  21981  mplcoe1  21982  evlslem3  22033  coe1z  22191  coe1tmfv2  22203  ply1scl0OLD  22219  ply1scln0  22220  ply1chr  22234  gsummoncoe1  22236  rhmmpl  22313  rhmply1vr1  22317  mamumat1cl  22371  dmatsubcl  22430  dmatmulcl  22432  scmatscmiddistr  22440  marrepcl  22496  mdetr0  22537  mdetunilem8  22551  mdetunilem9  22552  maducoeval2  22572  maduf  22573  madutpos  22574  madugsum  22575  marep01ma  22592  smadiadetlem4  22601  smadiadetglem2  22604  1elcpmat  22647  m2cpminv0  22693  decpmataa0  22700  monmatcollpw  22711  pmatcollpw3fi1lem1  22718  pmatcollpw3fi1lem2  22719  chfacfisf  22786  cphsubrglem  25135  mdegaddle  26040  ply1divex  26102  facth1  26131  fta1blem  26135  abvcxp  27578  rloccring  33024  rhmpreimaidl  33195  elrspunidl  33206  elrspunsn  33207  rhmimaidl  33210  qsidomlem2  33231  ply1degltel  33335  ply1degleel  33336  ply1degltlss  33337  gsummoncoe1fzo  33338  ply1gsumz  33339  r1p0  33346  r1pid2  33349  r1pquslmic  33351  lfl0sc  38623  lflsc0N  38624  baerlem3lem1  41249  ricdrng1  41832  rhmpsr  41850  evl0  41855  evlsbagval  41864  selvvvval  41883  frlmpwfi  42587  mnringmulrcld  43730  zlidlring  47408  cznrng  47435  linc0scn0  47603  linc1  47605