Theorem ring0cl 19976

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 19955	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18770	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  Basecbs 17075  0_gc0g 17313  Grpcgrp 18740  Ringcrg 19950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-ring 19952

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20069  dvdsr02  20070  irredn0  20117  cntzsubr  20240  abv0  20275  abvtrivd  20284  lmod0cl  20333  lmod0vs  20340  lmodvs0  20341  lpi0  20702  isnzr2  20718  isnzr2hash  20719  ringelnzr  20721  0ring  20725  01eq0ring  20727  ringen1zr  20732  frlmphllem  21171  frlmphl  21172  uvcvvcl2  21179  uvcff  21182  psr1cl  21355  mvrf  21377  mplmon  21420  mplmonmul  21421  mplcoe1  21422  evlslem3  21474  coe1z  21618  coe1tmfv2  21630  ply1scl0  21645  ply1scln0  21646  gsummoncoe1  21659  mamumat1cl  21772  dmatsubcl  21831  dmatmulcl  21833  scmatscmiddistr  21841  marrepcl  21897  mdetr0  21938  mdetunilem8  21952  mdetunilem9  21953  maducoeval2  21973  maduf  21974  madutpos  21975  madugsum  21976  marep01ma  21993  smadiadetlem4  22002  smadiadetglem2  22005  1elcpmat  22048  m2cpminv0  22094  decpmataa0  22101  monmatcollpw  22112  pmatcollpw3fi1lem1  22119  pmatcollpw3fi1lem2  22120  chfacfisf  22187  cphsubrglem  24525  mdegaddle  25423  ply1divex  25485  facth1  25513  fta1blem  25517  abvcxp  26947  rhmpreimaidl  32079  elrspunidl  32082  rhmimaidl  32085  qsidomlem2  32105  ply1chr  32159  lfl0sc  37511  lflsc0N  37512  baerlem3lem1  40137  selvval2lem4  40644  evl0  40695  evlsbagval  40699  mhphf  40709  frlmpwfi  41363  mnringmulrcld  42450  zrrnghm  46147  zlidlring  46158  cznrng  46185  linc0scn0  46436  linc1  46438