MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring0cl 19914
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring0cl (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)

Proof of Theorem ring0cl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19893 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 ring0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ring0cl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 18713 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  Basecbs 17018  0gc0g 17256  Grpcgrp 18683  Ringcrg 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-ring 19890
This theorem is referenced by:  dvdsr01  20007  dvdsr02  20008  irredn0  20055  cntzsubr  20178  abv0  20213  abvtrivd  20222  lmod0cl  20271  lmod0vs  20278  lmodvs0  20279  lpi0  20640  isnzr2  20656  isnzr2hash  20657  ringelnzr  20659  0ring  20663  01eq0ring  20665  ringen1zr  20670  frlmphllem  21109  frlmphl  21110  uvcvvcl2  21117  uvcff  21120  psr1cl  21293  mvrf  21315  mplmon  21358  mplmonmul  21359  mplcoe1  21360  evlslem3  21412  coe1z  21556  coe1tmfv2  21568  ply1scl0  21583  ply1scln0  21584  gsummoncoe1  21597  mamumat1cl  21710  dmatsubcl  21769  dmatmulcl  21771  scmatscmiddistr  21779  marrepcl  21835  mdetr0  21876  mdetunilem8  21890  mdetunilem9  21891  maducoeval2  21911  maduf  21912  madutpos  21913  madugsum  21914  marep01ma  21931  smadiadetlem4  21940  smadiadetglem2  21943  1elcpmat  21986  m2cpminv0  22032  decpmataa0  22039  monmatcollpw  22050  pmatcollpw3fi1lem1  22057  pmatcollpw3fi1lem2  22058  chfacfisf  22125  cphsubrglem  24463  mdegaddle  25361  ply1divex  25423  facth1  25451  fta1blem  25455  abvcxp  26885  rhmpreimaidl  31977  elrspunidl  31980  rhmimaidl  31983  qsidomlem2  32003  ply1chr  32053  lfl0sc  37430  lflsc0N  37431  baerlem3lem1  40056  selvval2lem4  40563  evl0  40604  evlsbagval  40608  mhphf  40618  frlmpwfi  41259  mnringmulrcld  42241  zrrnghm  45933  zlidlring  45944  cznrng  45971  linc0scn0  46222  linc1  46224
  Copyright terms: Public domain W3C validator