MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring0cl 19914
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring0cl (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)

Proof of Theorem ring0cl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19893 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 ring0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ring0cl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 18712 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6491  Basecbs 17017  0gc0g 17255  Grpcgrp 18682  Ringcrg 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-ring 19890
This theorem is referenced by:  dvdsr01  20007  dvdsr02  20008  irredn0  20055  cntzsubr  20178  abv0  20213  abvtrivd  20222  lmod0cl  20271  lmod0vs  20278  lmodvs0  20279  lpi0  20640  isnzr2  20656  isnzr2hash  20657  ringelnzr  20659  0ring  20663  01eq0ring  20665  ringen1zr  20670  frlmphllem  21109  frlmphl  21110  uvcvvcl2  21117  uvcff  21120  psr1cl  21293  mvrf  21315  mplmon  21358  mplmonmul  21359  mplcoe1  21360  evlslem3  21412  coe1z  21556  coe1tmfv2  21568  ply1scl0  21583  ply1scln0  21584  gsummoncoe1  21597  mamumat1cl  21710  dmatsubcl  21769  dmatmulcl  21771  scmatscmiddistr  21779  marrepcl  21835  mdetr0  21876  mdetunilem8  21890  mdetunilem9  21891  maducoeval2  21911  maduf  21912  madutpos  21913  madugsum  21914  marep01ma  21931  smadiadetlem4  21940  smadiadetglem2  21943  1elcpmat  21986  m2cpminv0  22032  decpmataa0  22039  monmatcollpw  22050  pmatcollpw3fi1lem1  22057  pmatcollpw3fi1lem2  22058  chfacfisf  22125  cphsubrglem  24463  mdegaddle  25361  ply1divex  25423  facth1  25451  fta1blem  25455  abvcxp  26885  rhmpreimaidl  31989  elrspunidl  31992  rhmimaidl  31995  qsidomlem2  32015  ply1chr  32065  lfl0sc  37439  lflsc0N  37440  baerlem3lem1  40065  selvval2lem4  40572  evl0  40625  evlsbagval  40629  mhphf  40639  frlmpwfi  41290  mnringmulrcld  42272  zrrnghm  45964  zlidlring  45975  cznrng  46002  linc0scn0  46253  linc1  46255
  Copyright terms: Public domain W3C validator