Theorem ring0cl 20497

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20465	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 19177	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  0_gc0g 17611  Grpcgrp 19145  Ringcrg 20460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-ring 20462

This theorem is used by:  dvdsr01  20602  dvdsr02  20603  irredn0  20654  isnzr2  20769  isnzr2hash  20771  ringelnzr  20775  0ring  20778  01eq0ring  20782  01eq0ringOLD  20783  zrrnghm  20789  cntzsubr  20859  domneq0r  20976  imadrhmcl  21055  abv0  21081  abvtrivd  21090  lmod0cl  21164  lmod0vs  21171  lmodvs0  21172  rhmpreimaidl  21572  qsidomlem2  21638  lpi0  21651  frlmphllem  22087  frlmphl  22088  uvcvvcl2  22095  uvcff  22098  psr1cl  22269  mvrf  22293  mplmon  22345  mplmonmul  22346  mplcoe1  22347  evlslem3  22390  selvvvval  22452  coe1z  22583  coe1tmfv2  22595  ply1scln0  22611  ply1chr  22625  gsummoncoe1  22627  rhmmpl  22699  rhmply1vr1  22703  mamumat1cl  22755  dmatsubcl  22814  dmatmulcl  22816  scmatscmiddistr  22824  marrepcl  22880  mdetr0  22921  mdetunilem8  22935  mdetunilem9  22936  maducoeval2  22956  maduf  22957  madutpos  22958  madugsum  22959  marep01ma  22976  smadiadetlem4  22985  smadiadetglem2  22988  1elcpmat  23034  m2cpminv0  23080  decpmataa0  23087  monmatcollpw  23098  pmatcollpw3fi1lem1  23105  pmatcollpw3fi1lem2  23106  chfacfisf  23173  cphsubrglem  25499  mdegaddle  26393  ply1divex  26456  r1pid2  26481  facth1  26486  fta1blem  26490  abvcxp  27943  rloccring  33875  elrspunidl  34021  elrspunsn  34022  rhmimaidl  34025  ply1degltel  34169  ply1degleel  34170  ply1degltlss  34171  gsummoncoe1fzo  34172  ply1gsumz  34174  r1p0  34181  r1pquslmic  34185  extvfvvcl  34210  psrmon  34224  psrmonmul  34225  zrhcntr  34654  lfl0sc  40215  lflsc0N  40216  baerlem3lem1  42840  ricdrng1  43668  rhmpsr  43687  evl0  43689  evlsbagval  43690  frlmpwfi  44176  mnringmulrcld  45302  zlidlring  49407  cznrng  49434  isidom3  49518  linc0scn0  49611  linc1  49613