Theorem ring0cl 20206

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20177	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18899	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  Grpcgrp 18867  Ringcrg 20172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-ring 20174

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20311  dvdsr02  20312  irredn0  20363  isnzr2  20455  isnzr2hash  20456  ringelnzr  20460  0ring  20463  01eq0ring  20467  01eq0ringOLD  20468  zrrnghm  20473  cntzsubr  20543  domneq0r  20661  ringen1zr  20715  imadrhmcl  20734  abv0  20760  abvtrivd  20769  lmod0cl  20843  lmod0vs  20850  lmodvs0  20851  rhmpreimaidl  21236  lpi0  21285  frlmphllem  21739  frlmphl  21740  uvcvvcl2  21747  uvcff  21750  psr1cl  21920  mvrf  21944  mplmon  21994  mplmonmul  21995  mplcoe1  21996  evlslem3  22039  coe1z  22209  coe1tmfv2  22221  ply1scl0OLD  22237  ply1scln0  22238  ply1chr  22254  gsummoncoe1  22256  rhmmpl  22331  rhmply1vr1  22335  mamumat1cl  22387  dmatsubcl  22446  dmatmulcl  22448  scmatscmiddistr  22456  marrepcl  22512  mdetr0  22553  mdetunilem8  22567  mdetunilem9  22568  maducoeval2  22588  maduf  22589  madutpos  22590  madugsum  22591  marep01ma  22608  smadiadetlem4  22617  smadiadetglem2  22620  1elcpmat  22663  m2cpminv0  22709  decpmataa0  22716  monmatcollpw  22727  pmatcollpw3fi1lem1  22734  pmatcollpw3fi1lem2  22735  chfacfisf  22802  cphsubrglem  25137  mdegaddle  26039  ply1divex  26102  r1pid2  26127  facth1  26132  fta1blem  26136  abvcxp  27586  rloccring  33333  elrspunidl  33490  elrspunsn  33491  rhmimaidl  33494  qsidomlem2  33515  ply1degltel  33656  ply1degleel  33657  ply1degltlss  33658  gsummoncoe1fzo  33659  ply1gsumz  33661  r1p0  33668  r1pid2OLD  33671  r1pquslmic  33673  extvfvvcl  33681  zrhcntr  34117  lfl0sc  39379  lflsc0N  39380  baerlem3lem1  42004  ricdrng1  42819  rhmpsr  42841  evl0  42844  evlsbagval  42848  selvvvval  42864  frlmpwfi  43376  mnringmulrcld  44505  zlidlring  48516  cznrng  48543  linc0scn0  48705  linc1  48707