Theorem ring0cl 20207

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20178	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18900	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  Ringcrg 20173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-ring 20175

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20312  dvdsr02  20313  irredn0  20364  isnzr2  20456  isnzr2hash  20457  ringelnzr  20461  0ring  20464  01eq0ring  20468  01eq0ringOLD  20469  zrrnghm  20474  cntzsubr  20544  domneq0r  20662  ringen1zr  20716  imadrhmcl  20735  abv0  20761  abvtrivd  20770  lmod0cl  20844  lmod0vs  20851  lmodvs0  20852  rhmpreimaidl  21237  lpi0  21286  frlmphllem  21740  frlmphl  21741  uvcvvcl2  21748  uvcff  21751  psr1cl  21921  mvrf  21945  mplmon  21995  mplmonmul  21996  mplcoe1  21997  evlslem3  22040  coe1z  22210  coe1tmfv2  22222  ply1scl0OLD  22238  ply1scln0  22239  ply1chr  22255  gsummoncoe1  22257  rhmmpl  22332  rhmply1vr1  22336  mamumat1cl  22388  dmatsubcl  22447  dmatmulcl  22449  scmatscmiddistr  22457  marrepcl  22513  mdetr0  22554  mdetunilem8  22568  mdetunilem9  22569  maducoeval2  22589  maduf  22590  madutpos  22591  madugsum  22592  marep01ma  22609  smadiadetlem4  22618  smadiadetglem2  22621  1elcpmat  22664  m2cpminv0  22710  decpmataa0  22717  monmatcollpw  22728  pmatcollpw3fi1lem1  22735  pmatcollpw3fi1lem2  22736  chfacfisf  22803  cphsubrglem  25138  mdegaddle  26040  ply1divex  26103  r1pid2  26128  facth1  26133  fta1blem  26137  abvcxp  27587  rloccring  33356  elrspunidl  33513  elrspunsn  33514  rhmimaidl  33517  qsidomlem2  33538  ply1degltel  33679  ply1degleel  33680  ply1degltlss  33681  gsummoncoe1fzo  33682  ply1gsumz  33684  r1p0  33691  r1pid2OLD  33694  r1pquslmic  33696  extvfvvcl  33704  psrmon  33718  psrmonmul  33719  zrhcntr  34149  lfl0sc  39421  lflsc0N  39422  baerlem3lem1  42046  ricdrng1  42861  rhmpsr  42883  evl0  42886  evlsbagval  42890  selvvvval  42906  frlmpwfi  43418  mnringmulrcld  44547  zlidlring  48557  cznrng  48584  linc0scn0  48746  linc1  48748