Theorem ring0cl 20170

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20141	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18862	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  Ringcrg 20136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-ring 20138

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20274  dvdsr02  20275  irredn0  20326  isnzr2  20421  isnzr2hash  20422  ringelnzr  20426  0ring  20429  01eq0ring  20433  01eq0ringOLD  20434  zrrnghm  20439  cntzsubr  20509  domneq0r  20627  ringen1zr  20681  imadrhmcl  20700  abv0  20726  abvtrivd  20735  lmod0cl  20809  lmod0vs  20816  lmodvs0  20817  rhmpreimaidl  21202  lpi0  21251  frlmphllem  21705  frlmphl  21706  uvcvvcl2  21713  uvcff  21716  psr1cl  21886  mvrf  21910  mplmon  21958  mplmonmul  21959  mplcoe1  21960  evlslem3  22003  coe1z  22165  coe1tmfv2  22177  ply1scl0OLD  22193  ply1scln0  22194  ply1chr  22209  gsummoncoe1  22211  rhmmpl  22286  rhmply1vr1  22290  mamumat1cl  22342  dmatsubcl  22401  dmatmulcl  22403  scmatscmiddistr  22411  marrepcl  22467  mdetr0  22508  mdetunilem8  22522  mdetunilem9  22523  maducoeval2  22543  maduf  22544  madutpos  22545  madugsum  22546  marep01ma  22563  smadiadetlem4  22572  smadiadetglem2  22575  1elcpmat  22618  m2cpminv0  22664  decpmataa0  22671  monmatcollpw  22682  pmatcollpw3fi1lem1  22689  pmatcollpw3fi1lem2  22690  chfacfisf  22757  cphsubrglem  25093  mdegaddle  25995  ply1divex  26058  r1pid2  26083  facth1  26088  fta1blem  26092  abvcxp  27542  rloccring  33220  elrspunidl  33375  elrspunsn  33376  rhmimaidl  33379  qsidomlem2  33400  ply1degltel  33536  ply1degleel  33537  ply1degltlss  33538  gsummoncoe1fzo  33539  ply1gsumz  33540  r1p0  33547  r1pid2OLD  33550  r1pquslmic  33552  zrhcntr  33945  lfl0sc  39060  lflsc0N  39061  baerlem3lem1  41686  ricdrng1  42501  rhmpsr  42525  evl0  42530  evlsbagval  42539  selvvvval  42558  frlmpwfi  43071  mnringmulrcld  44201  zlidlring  48206  cznrng  48233  linc0scn0  48396  linc1  48398