Theorem ring0cl 20526

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 19205	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  Ringcrg 20489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-ring 20491

This theorem is used by:  dvdsr01  20631  dvdsr02  20632  irredn0  20683  isnzr2  20798  isnzr2hash  20800  ringelnzr  20804  0ring  20807  01eq0ring  20811  01eq0ringOLD  20812  zrrnghm  20818  cntzsubr  20888  domneq0r  21005  imadrhmcl  21084  abv0  21110  abvtrivd  21119  lmod0cl  21193  lmod0vs  21200  lmodvs0  21201  rhmpreimaidl  21601  qsidomlem2  21667  lpi0  21680  frlmphllem  22116  frlmphl  22117  uvcvvcl2  22124  uvcff  22127  psr1cl  22298  mvrf  22322  mplmon  22374  mplmonmul  22375  mplcoe1  22376  evlslem3  22419  selvvvval  22481  coe1z  22612  coe1tmfv2  22624  ply1scln0  22640  ply1chr  22654  gsummoncoe1  22656  rhmmpl  22728  rhmply1vr1  22732  mamumat1cl  22784  dmatsubcl  22843  dmatmulcl  22845  scmatscmiddistr  22853  marrepcl  22909  mdetr0  22950  mdetunilem8  22964  mdetunilem9  22965  maducoeval2  22985  maduf  22986  madutpos  22987  madugsum  22988  marep01ma  23005  smadiadetlem4  23014  smadiadetglem2  23017  1elcpmat  23063  m2cpminv0  23109  decpmataa0  23116  monmatcollpw  23127  pmatcollpw3fi1lem1  23134  pmatcollpw3fi1lem2  23135  chfacfisf  23202  cphsubrglem  25528  mdegaddle  26422  ply1divex  26485  r1pid2  26510  facth1  26515  fta1blem  26519  abvcxp  27972  rloccring  33902  elrspunidl  34048  elrspunsn  34049  rhmimaidl  34052  ply1degltel  34196  ply1degleel  34197  ply1degltlss  34198  gsummoncoe1fzo  34199  ply1gsumz  34201  r1p0  34208  r1pquslmic  34212  extvfvvcl  34237  psrmon  34251  psrmonmul  34252  zrhcntr  34681  lfl0sc  40331  lflsc0N  40332  baerlem3lem1  42956  ricdrng1  43785  rhmpsr  43804  evl0  43806  evlsbagval  43807  frlmpwfi  44293  mnringmulrcld  45418  zlidlring  49536  cznrng  49563  isidom3  49647  linc0scn0  49740  linc1  49742