Theorem ring0cl 20182

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20153	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18903	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  Grpcgrp 18871  Ringcrg 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-ring 20150

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20286  dvdsr02  20287  irredn0  20338  isnzr2  20433  isnzr2hash  20434  ringelnzr  20438  0ring  20441  01eq0ring  20445  01eq0ringOLD  20446  zrrnghm  20451  cntzsubr  20521  domneq0r  20639  ringen1zr  20693  imadrhmcl  20712  abv0  20738  abvtrivd  20747  lmod0cl  20800  lmod0vs  20807  lmodvs0  20808  rhmpreimaidl  21193  lpi0  21242  frlmphllem  21695  frlmphl  21696  uvcvvcl2  21703  uvcff  21706  psr1cl  21876  mvrf  21900  mplmon  21948  mplmonmul  21949  mplcoe1  21950  evlslem3  21993  coe1z  22155  coe1tmfv2  22167  ply1scl0OLD  22183  ply1scln0  22184  ply1chr  22199  gsummoncoe1  22201  rhmmpl  22276  rhmply1vr1  22280  mamumat1cl  22332  dmatsubcl  22391  dmatmulcl  22393  scmatscmiddistr  22401  marrepcl  22457  mdetr0  22498  mdetunilem8  22512  mdetunilem9  22513  maducoeval2  22533  maduf  22534  madutpos  22535  madugsum  22536  marep01ma  22553  smadiadetlem4  22562  smadiadetglem2  22565  1elcpmat  22608  m2cpminv0  22654  decpmataa0  22661  monmatcollpw  22672  pmatcollpw3fi1lem1  22679  pmatcollpw3fi1lem2  22680  chfacfisf  22747  cphsubrglem  25083  mdegaddle  25985  ply1divex  26048  r1pid2  26073  facth1  26078  fta1blem  26082  abvcxp  27532  rloccring  33227  elrspunidl  33405  elrspunsn  33406  rhmimaidl  33409  qsidomlem2  33430  ply1degltel  33566  ply1degleel  33567  ply1degltlss  33568  gsummoncoe1fzo  33569  ply1gsumz  33570  r1p0  33577  r1pid2OLD  33580  r1pquslmic  33582  zrhcntr  33975  lfl0sc  39070  lflsc0N  39071  baerlem3lem1  41696  ricdrng1  42509  rhmpsr  42533  evl0  42538  evlsbagval  42547  selvvvval  42566  frlmpwfi  43080  mnringmulrcld  44210  zlidlring  48212  cznrng  48239  linc0scn0  48402  linc1  48404