Theorem ring0cl 19723

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 19703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18522	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  dvdsr01  19812  dvdsr02  19813  irredn0  19860  cntzsubr  19972  abv0  20006  abvtrivd  20015  lmod0cl  20064  lmod0vs  20071  lmodvs0  20072  lpi0  20431  isnzr2  20447  isnzr2hash  20448  ringelnzr  20450  0ring  20454  01eq0ring  20456  ringen1zr  20461  frlmphllem  20897  frlmphl  20898  uvcvvcl2  20905  uvcff  20908  psr1cl  21081  mvrf  21103  mplmon  21146  mplmonmul  21147  mplcoe1  21148  evlslem3  21200  coe1z  21344  coe1tmfv2  21356  ply1scl0  21371  ply1scln0  21372  gsummoncoe1  21385  mamumat1cl  21496  dmatsubcl  21555  dmatmulcl  21557  scmatscmiddistr  21565  marrepcl  21621  mdetr0  21662  mdetunilem8  21676  mdetunilem9  21677  maducoeval2  21697  maduf  21698  madutpos  21699  madugsum  21700  marep01ma  21717  smadiadetlem4  21726  smadiadetglem2  21729  1elcpmat  21772  m2cpminv0  21818  decpmataa0  21825  monmatcollpw  21836  pmatcollpw3fi1lem1  21843  pmatcollpw3fi1lem2  21844  chfacfisf  21911  cphsubrglem  24246  mdegaddle  25144  ply1divex  25206  facth1  25234  fta1blem  25238  abvcxp  26668  rhmpreimaidl  31505  elrspunidl  31508  rhmimaidl  31511  qsidomlem2  31531  ply1chr  31571  lfl0sc  37023  lflsc0N  37024  baerlem3lem1  39648  selvval2lem4  40154  evlsbagval  40198  mhphf  40208  frlmpwfi  40839  mnringmulrcld  41735  zrrnghm  45363  zlidlring  45374  cznrng  45401  linc0scn0  45652  linc1  45654