MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem2 27134
Description: Lemma for ostth2 27137. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   𝑋(π‘ž)   π‘Œ(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑0))
21oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑0) βˆ’ 1))
32oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)))
4 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
5 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑0))
64, 5oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
76breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
83, 7raleqbidv 3342 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
98imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))))
10 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑𝑛))
1110oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))
1211oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
13 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑛))
14 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑𝑛))
1513, 14oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
1615breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
1712, 16raleqbidv 3342 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
1817imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))))
19 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
2019oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))
2120oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)))
22 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))
23 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑(𝑛 + 1)))
2422, 23oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
2524breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2621, 25raleqbidv 3342 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2726imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
28 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑𝑋))
2928oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))
3029oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)))
31 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑋))
32 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑𝑋))
3331, 32oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
3433breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
3530, 34raleqbidv 3342 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
3635imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))))
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
38 eluz2nn 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4039nncnd 12227 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4140exp0d 14104 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀↑0) = 1)
4241oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑0) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
43 1m1e0 12283 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ 1) = 0
4442, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑0) βˆ’ 1) = 0)
4544oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) = (0...0))
4645eleq2d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) ↔ π‘˜ ∈ (0...0)))
47 0le0 12312 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 0)
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
5251qrng0 27121 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘„)
5350, 52abv0 20438 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
5540mul01d 11412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5655oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) = (0 Β· (𝑇↑0)))
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
58 1re 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
59 nnq 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
6151qrngbas 27119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
6250, 61abvcl 20431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
6349, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
64 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6558, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6657, 65eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
6766recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
68 0nn0 12486 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
69 expcl 14044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝑇↑0) ∈ β„‚)
7067, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇↑0) ∈ β„‚)
7170mul02d 11411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 Β· (𝑇↑0)) = 0)
7256, 71eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) = 0)
7348, 54, 723brtr4d 5180 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
74 elfz1eq 13511 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ π‘˜ = 0)
7574fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜0))
7675breq1d 5158 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) ↔ (πΉβ€˜0) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7773, 76syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7846, 77sylbid 239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7978ralrimiv 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
80 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
8180breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
8281cbvralvw 3234 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
8349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
84 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
8584ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
86 zq 12937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„š)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„š)
8850, 61abvcl 20431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8983, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
91 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9290, 91nnexpcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„•)
9385, 92zmodcld 13856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„•0)
9493nn0zd 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„€)
95 zq 12937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„€ β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š)
9750, 61abvcl 20431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
9883, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
10083, 99, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
101100, 91reexpcld 14127 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ∈ ℝ)
10285zred 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
103102, 92nndivred 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ)
104103flcld 13762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„€)
105 zq 12937 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š)
10750, 61abvcl 20431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ ℝ)
10883, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ ℝ)
109101, 108remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ∈ ℝ)
11098, 109readdcld 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ∈ ℝ)
11190nnred 12226 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
112 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
113112ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
114113nnred 12226 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
11666ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
117 peano2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
118117ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
119116, 118reexpcld 14127 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 11243 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
121 nnq 12945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑𝑛) ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
123 qmulcl 12950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š)
124122, 106, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š)
125 qex 12944 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š ∈ V
126 cnfldadd 20948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 + = (+gβ€˜β„‚fld)
12751, 126ressplusg 17234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„š ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘„))
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+gβ€˜π‘„)
12950, 61, 128abvtri 20437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š ∧ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
13083, 96, 124, 129syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
13192nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ+)
132 modval 13835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) = (π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
133102, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) = (π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
134133oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
135102recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
136 qcn 12946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
138135, 137npcand 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = π‘˜)
139134, 138eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = π‘˜)
140139fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) = (πΉβ€˜π‘˜))
141 cnfldmul 20949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
14251, 141ressmulr 17251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = (.rβ€˜π‘„)
14450, 61, 143abvmul 20436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
14583, 122, 106, 144syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
14651, 50qabvexp 27126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
14783, 99, 91, 146syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
148147oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
149145, 148eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
150149oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) = ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
151130, 140, 1503brtr3d 5179 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
152116, 91reexpcld 14127 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ∈ ℝ)
153115, 152remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
154 nn0re 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
156111, 155remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
157156, 152remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
158111, 152remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
159 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))))
160159breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
161 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
162 zmodfz 13857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
16385, 92, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
164160, 161, 163rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
165111, 101remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ∈ ℝ)
166101recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ∈ β„‚)
167108recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
168166, 167mulcomd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
16950, 61abvge0 20432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
17083, 99, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
171100, 91, 170expge0d 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
172104zred 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
173 elfzle1 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
174173ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ π‘˜)
17592nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ)
17692nngt0d 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 < (𝑀↑𝑛))
177 divge0 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜) ∧ ((𝑀↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀↑𝑛))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))
178102, 174, 175, 176, 177syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))
179 flge0nn0 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0)
180103, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0)
18151, 50qabvle 27125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))
18283, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))
183 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)))
184 0z 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ β„€
18590, 118nnexpcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
186185nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
187 elfzm11 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
188184, 186, 187sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
189183, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1))))
190189simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))
19190nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
192191, 91expp1d 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
193190, 192breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
194 ltdivmul 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀↑𝑛))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
195102, 111, 175, 176, 194syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
196193, 195mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀)
19790nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
198 fllt 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀))
199103, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀))
200196, 199mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀)
201172, 111, 200ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ≀ 𝑀)
202108, 172, 111, 182, 201letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ 𝑀)
203108, 111, 101, 171, 202lemul1ad 12152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ≀ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
204168, 203eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ≀ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
20590nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
206205nn0ge0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
207 max1 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
208100, 58, 207sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
209208, 57breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 𝑇)
210 leexp1a 14139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ≀ (𝑇↑𝑛))
211100, 116, 91, 170, 209, 210syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ≀ (𝑇↑𝑛))
212101, 152, 111, 206, 211lemul2ad 12153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ≀ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)))
213109, 165, 158, 204, 212letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ≀ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)))
21498, 109, 157, 158, 164, 213le2addd 11832 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
215 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
216215ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
217 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ∈ β„‚)
218191, 216, 217adddid 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + (𝑀 Β· 1)))
219191mulridd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
220219oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑛) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀))
221218, 220eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀))
222221oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀) Β· (𝑇↑𝑛)))
223191, 216mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
224152recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ∈ β„‚)
225223, 191, 224adddird 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
226222, 225eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
227214, 226breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)))
228 max2 13165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
229100, 58, 228sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
230229, 57breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ≀ 𝑇)
231 nn0z 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
232231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
233 uzid 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
235 peano2uz 12884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
237116, 230, 236leexp2ad 14216 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)))
23890, 113nnmulcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
239238nngt0d 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 < (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))
240 lemul2 12066 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇↑𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))) β†’ ((𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
241152, 119, 115, 239, 240syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
242237, 241mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
243110, 153, 120, 227, 242letrd 11370 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
24489, 110, 120, 151, 243letrd 11370 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
245244expr 457 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
246245ralrimdva 3154 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
24782, 246biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
248247expcom 414 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
249248a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
2509, 18, 27, 36, 79, 249nn0ind 12656 . . . 4 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
251250impcom 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
252 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘Œ))
253252breq1d 5158 . . . 4 (π‘˜ = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
254253rspccv 3609 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)) β†’ (π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
255251, 254syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
2562553impia 1117 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„šcq 12931  β„+crp 12973  ...cfz 13483  βŒŠcfl 13754   mod cmo 13833  β†‘cexp 14026  β„™cprime 16607   pCnt cpc 16768   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  AbsValcabv 20423  β„‚fldccnfld 20943  logclog 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-abv 20424  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  ostth2lem3  27135
  Copyright terms: Public domain W3C validator