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Theorem ostth2lem2 27678
Description: Lemma for ostth2 27681. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀𝑥) = (𝑀↑0))
21oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑0) − 1))
32oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑0) − 1)))
4 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
5 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = (𝑇↑0))
64, 5oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
76breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
83, 7raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
98imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))))
10 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑛))
1110oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑛) − 1))
1211oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑛) − 1)))
13 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑛))
14 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑛))
1513, 14oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
1615breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1712, 16raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1817imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))))
19 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑥) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))
2120oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
22 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
23 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑇𝑥) = (𝑇↑(𝑛 + 1)))
2422, 23oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
2524breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2621, 25raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2726imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
28 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑋))
2928oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑋) − 1))
3029oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑋) − 1)))
31 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑋))
32 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑋))
3331, 32oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
3433breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3530, 34raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3635imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))))
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
38 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4039nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4140exp0d 14180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑0) = 1)
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = (1 − 1))
43 1m1e0 12338 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4442, 43eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = 0)
4544oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀↑0) − 1)) = (0...0))
4645eleq2d 2827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0...0)))
47 0le0 12367 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 0)
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (ℂflds ℚ)
5251qrng0 27665 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑄)
5350, 52abv0 20824 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
5540mul01d 11460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
5655oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = (0 · (𝑇↑0)))
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
58 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
59 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
6151qrngbas 27663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ = (Base‘𝑄)
6250, 61abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
6349, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
64 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6558, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6657, 65eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
6766recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
68 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
69 expcl 14120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7067, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7170mul02d 11459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (𝑇↑0)) = 0)
7256, 71eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = 0)
7348, 54, 723brtr4d 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
74 elfz1eq 13575 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
7574fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
7675breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) ↔ (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7773, 76syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7846, 77sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7978ralrimiv 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
80 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8180breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
8281cbvralvw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
8349ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝐹𝐴)
84 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8584ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
86 zq 12996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℚ)
8850, 61abvcl 20817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8983, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9039ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
91 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9290, 91nnexpcld 14284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℕ)
9385, 92zmodcld 13932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℕ0)
9493nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ)
95 zq 12996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9750, 61abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9883, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℚ)
10083, 99, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
101100, 91reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℝ)
10285zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
103102, 92nndivred 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ)
104103flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ)
105 zq 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
10750, 61abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
10883, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
109101, 108remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ∈ ℝ)
11098, 109readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ∈ ℝ)
11190nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
112 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113112ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
114113nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
11666ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
117 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
118117ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
119116, 118reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
121 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀𝑛) ∈ ℕ → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
123 qmulcl 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
124122, 106, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
125 qex 13003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ∈ V
126 cnfldadd 21370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 + = (+g‘ℂfld)
12751, 126ressplusg 17334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑄)
12950, 61, 128abvtri 20823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ ∧ ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13083, 96, 124, 129syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13192nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
132 modval 13911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℝ+) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
133102, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
134133oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
135102recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
136 qcn 13005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
138135, 137npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
139134, 138eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
140139fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = (𝐹𝑘))
141 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
14251, 141ressmulr 17351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑄)
14450, 61, 143abvmul 20822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14583, 122, 106, 144syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14651, 50qabvexp 27670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
14783, 99, 91, 146syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
148147oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
149145, 148eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
150149oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
151130, 140, 1503brtr3d 5174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
152116, 91reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
153115, 152remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
154 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
156111, 155remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℝ)
157156, 152remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
158111, 152remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
159 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))))
160159breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → ((𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
161 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
162 zmodfz 13933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℕ) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
16385, 92, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
164160, 161, 163rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
165111, 101remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ∈ ℝ)
166101recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℂ)
167108recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
168166, 167mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
16950, 61abvge0 20818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
17083, 99, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
171100, 91, 170expge0d 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ ((𝐹𝑀)↑𝑛))
172104zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
173 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
174173ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑘)
17592nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ)
17692nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀𝑛))
177 divge0 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
178102, 174, 175, 176, 177syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
179 flge0nn0 13860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
180103, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
18151, 50qabvle 27669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
18283, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
183 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
184 0z 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℤ
18590, 118nnexpcld 14284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
186185nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
187 elfzm11 13635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
188184, 186, 187sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
189183, 188mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1))))
190189simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))
19190nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
192191, 91expp1d 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
193190, 192breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀))
194 ltdivmul 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
195102, 111, 175, 176, 194syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
196193, 195mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀)
19790nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
198 fllt 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
199103, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
200196, 199mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀)
201172, 111, 200ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ≤ 𝑀)
202108, 172, 111, 182, 201letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ 𝑀)
203108, 111, 101, 171, 202lemul1ad 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
204168, 203eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
20590nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
206205nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑀)
207 max1 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
208100, 58, 207sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
209208, 57breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)
210 leexp1a 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
211100, 116, 91, 170, 209, 210syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
212101, 152, 111, 206, 211lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
213109, 165, 158, 204, 212letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
21498, 109, 157, 158, 164, 213le2addd 11882 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
215 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
216215ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
217 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ∈ ℂ)
218191, 216, 217adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
219191mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
220219oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
221218, 220eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
222221oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)))
223191, 216mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℂ)
224152recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
225223, 191, 224adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
226222, 225eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
227214, 226breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)))
228 max2 13229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
229100, 58, 228sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
230229, 57breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ 𝑇)
231 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
232231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
233 uzid 12893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
235 peano2uz 12943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
237116, 230, 236leexp2ad 14293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)))
23890, 113nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
239238nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))
240 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
241152, 119, 115, 239, 240syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
242237, 241mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
243110, 153, 120, 227, 242letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
24489, 110, 120, 151, 243letrd 11418 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
245244expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
246245ralrimdva 3154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
24782, 246biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
248247expcom 413 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
249248a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))) → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
2509, 18, 27, 36, 79, 249nn0ind 12713 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
251250impcom 407 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
252 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
253252breq1d 5153 . . . 4 (𝑘 = 𝑌 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) ↔ (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
254253rspccv 3619 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
255251, 254syl 17 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
2562553impia 1118 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cq 12990  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830   mod cmo 13909  cexp 14102  cprime 16708   pCnt cpc 16874  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  AbsValcabv 20809  fldccnfld 21364  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-cnfld 21365
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