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Theorem ostth2lem2 26207
Description: Lemma for ostth2 26210. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀𝑥) = (𝑀↑0))
21oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑0) − 1))
32oveq2d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑0) − 1)))
4 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
5 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = (𝑇↑0))
64, 5oveq12d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
76breq2d 5059 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
83, 7raleqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
98imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))))
10 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑛))
1110oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑛) − 1))
1211oveq2d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑛) − 1)))
13 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑛))
14 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑛))
1513, 14oveq12d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
1615breq2d 5059 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1712, 16raleqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1817imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))))
19 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑥) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
2019oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))
2120oveq2d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
22 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
23 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑇𝑥) = (𝑇↑(𝑛 + 1)))
2422, 23oveq12d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
2524breq2d 5059 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2621, 25raleqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2726imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
28 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑋))
2928oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑋) − 1))
3029oveq2d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑋) − 1)))
31 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑋))
32 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑋))
3331, 32oveq12d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
3433breq2d 5059 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3530, 34raleqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3635imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))))
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
38 eluz2nn 12270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4039nncnd 11639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4140exp0d 13498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑0) = 1)
4241oveq1d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = (1 − 1))
43 1m1e0 11695 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4442, 43syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = 0)
4544oveq2d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀↑0) − 1)) = (0...0))
4645eleq2d 2901 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0...0)))
47 0le0 11724 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 0)
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (ℂflds ℚ)
5251qrng0 26194 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑄)
5350, 52abv0 19588 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
5540mul01d 10824 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
5655oveq1d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = (0 · (𝑇↑0)))
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
58 1re 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
59 nnq 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
6151qrngbas 26192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ = (Base‘𝑄)
6250, 61abvcl 19581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
6349, 60, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
64 ifcl 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6558, 63, 64sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6657, 65eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
6766recnd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
68 0nn0 11898 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
69 expcl 13441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7067, 68, 69sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7170mul02d 10823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (𝑇↑0)) = 0)
7256, 71eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = 0)
7348, 54, 723brtr4d 5079 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
74 elfz1eq 12911 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
7574fveq2d 6655 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
7675breq1d 5057 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) ↔ (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7773, 76syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7846, 77sylbid 243 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7978ralrimiv 3175 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
80 fveq2 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8180breq1d 5057 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
8281cbvralvw 3434 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
8349ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝐹𝐴)
84 elfzelz 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8584ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
86 zq 12340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℚ)
8850, 61abvcl 19581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8983, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
91 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9290, 91nnexpcld 13600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℕ)
9385, 92zmodcld 13253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℕ0)
9493nn0zd 12071 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ)
95 zq 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9750, 61abvcl 19581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9883, 96, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℚ)
10083, 99, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
101100, 91reexpcld 13521 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℝ)
10285zred 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
103102, 92nndivred 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ)
104103flcld 13161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ)
105 zq 12340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
10750, 61abvcl 19581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
10883, 106, 107syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
109101, 108remulcld 10656 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ∈ ℝ)
11098, 109readdcld 10655 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ∈ ℝ)
11190nnred 11638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
112 nn0p1nn 11922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
114113nnred 11638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 10656 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
11666ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
117 peano2nn0 11923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
119116, 118reexpcld 13521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 10656 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
121 nnq 12347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀𝑛) ∈ ℕ → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
123 qmulcl 12352 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
124122, 106, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
125 qex 12346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ∈ V
126 cnfldadd 20536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 + = (+g‘ℂfld)
12751, 126ressplusg 16601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑄)
12950, 61, 128abvtri 19587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ ∧ ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13083, 96, 124, 129syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13192nnrpd 12415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
132 modval 13232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℝ+) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
133102, 131, 132syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
134133oveq1d 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
135102recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
136 qcn 12348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
138135, 137npcand 10986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
139134, 138eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
140139fveq2d 6655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = (𝐹𝑘))
141 cnfldmul 20537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
14251, 141ressmulr 16614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑄)
14450, 61, 143abvmul 19586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14583, 122, 106, 144syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14651, 50qabvexp 26199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
14783, 99, 91, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
148147oveq1d 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
149145, 148eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
150149oveq2d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
151130, 140, 1503brtr3d 5078 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
152116, 91reexpcld 13521 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
153115, 152remulcld 10656 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
154 nn0re 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
156111, 155remulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℝ)
157156, 152remulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
158111, 152remulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
159 fveq2 6651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))))
160159breq1d 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → ((𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
161 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
162 zmodfz 13254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℕ) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
16385, 92, 162syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
164160, 161, 163rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
165111, 101remulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ∈ ℝ)
166101recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℂ)
167108recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
168166, 167mulcomd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
16950, 61abvge0 19582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
17083, 99, 169syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
171100, 91, 170expge0d 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ ((𝐹𝑀)↑𝑛))
172104zred 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
173 elfzle1 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
174173ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑘)
17592nnred 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ)
17692nngt0d 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀𝑛))
177 divge0 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
178102, 174, 175, 176, 177syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
179 flge0nn0 13183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
180103, 178, 179syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
18151, 50qabvle 26198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
18283, 180, 181syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
183 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
184 0z 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℤ
18590, 118nnexpcld 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
186185nnzd 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
187 elfzm11 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
188184, 186, 187sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
189183, 188mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1))))
190189simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))
19190nncnd 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
192191, 91expp1d 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
193190, 192breqtrd 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀))
194 ltdivmul 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
195102, 111, 175, 176, 194syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
196193, 195mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀)
19790nnzd 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
198 fllt 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
199103, 197, 198syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
200196, 199mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀)
201172, 111, 200ltled 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ≤ 𝑀)
202108, 172, 111, 182, 201letrd 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ 𝑀)
203108, 111, 101, 171, 202lemul1ad 11564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
204168, 203eqbrtrd 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
20590nnnn0d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
206205nn0ge0d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑀)
207 max1 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
208100, 58, 207sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
209208, 57breqtrrdi 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)
210 leexp1a 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
211100, 116, 91, 170, 209, 210syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
212101, 152, 111, 206, 211lemul2ad 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
213109, 165, 158, 204, 212letrd 10782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
21498, 109, 157, 158, 164, 213le2addd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
215 nn0cn 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
216215ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
217 1cnd 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ∈ ℂ)
218191, 216, 217adddid 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
219191mulid1d 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
220219oveq2d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
221218, 220eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
222221oveq1d 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)))
223191, 216mulcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℂ)
224152recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
225223, 191, 224adddird 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
226222, 225eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
227214, 226breqtrrd 5075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)))
228 max2 12566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
229100, 58, 228sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
230229, 57breqtrrdi 5089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ 𝑇)
231 nn0z 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
232231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
233 uzid 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
235 peano2uz 12287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
237116, 230, 236leexp2ad 13611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)))
23890, 113nnmulcld 11676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
239238nngt0d 11672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))
240 lemul2 11478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
241152, 119, 115, 239, 240syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
242237, 241mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
243110, 153, 120, 227, 242letrd 10782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
24489, 110, 120, 151, 243letrd 10782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
245244expr 460 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
246245ralrimdva 3183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
24782, 246syl5bi 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
248247expcom 417 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
249248a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))) → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
2509, 18, 27, 36, 79, 249nn0ind 12063 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
251250impcom 411 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
252 fveq2 6651 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
253252breq1d 5057 . . . 4 (𝑘 = 𝑌 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) ↔ (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
254253rspccv 3605 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
255251, 254syl 17 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
2562553impia 1114 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  Vcvv 3479  ifcif 4448   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855  -cneg 10856   / cdiv 11282  cn 11623  2c2 11678  0cn0 11883  cz 11967  cuz 12229  cq 12334  +crp 12375  ...cfz 12883  cfl 13153   mod cmo 13230  cexp 13423  cprime 16002   pCnt cpc 16160  s cress 16473  +gcplusg 16554  .rcmulr 16555  AbsValcabv 19573  fldccnfld 20531  logclog 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-subg 18265  df-cmn 18897  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-abv 19574  df-cnfld 20532
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