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Theorem ostth2lem2 26982
Description: Lemma for ostth2 26985. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀𝑥) = (𝑀↑0))
21oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑0) − 1))
32oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑0) − 1)))
4 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
5 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = (𝑇↑0))
64, 5oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
76breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
83, 7raleqbidv 3319 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
98imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))))
10 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑛))
1110oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑛) − 1))
1211oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑛) − 1)))
13 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑛))
14 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑛))
1513, 14oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
1615breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1712, 16raleqbidv 3319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
1817imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))))
19 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑥) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
2019oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))
2120oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
22 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
23 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑇𝑥) = (𝑇↑(𝑛 + 1)))
2422, 23oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
2524breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2621, 25raleqbidv 3319 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2726imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
28 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑋))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀𝑥) − 1) = ((𝑀𝑋) − 1))
3029oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (0...((𝑀𝑥) − 1)) = (0...((𝑀𝑋) − 1)))
31 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑋))
32 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑋))
3331, 32oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) = ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
3433breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3530, 34raleqbidv 3319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
3635imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑥) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑥) · (𝑇𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))))
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
38 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4039nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4140exp0d 14045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑0) = 1)
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = (1 − 1))
43 1m1e0 12225 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4442, 43eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑0) − 1) = 0)
4544oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀↑0) − 1)) = (0...0))
4645eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0...0)))
47 0le0 12254 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 0)
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (ℂflds ℚ)
5251qrng0 26969 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑄)
5350, 52abv0 20290 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
5540mul01d 11354 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
5655oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = (0 · (𝑇↑0)))
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
58 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
59 nnq 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
6151qrngbas 26967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ = (Base‘𝑄)
6250, 61abvcl 20283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
6349, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
64 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6558, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
6657, 65eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
6766recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
68 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
69 expcl 13985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7067, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇↑0) ∈ ℂ)
7170mul02d 11353 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (𝑇↑0)) = 0)
7256, 71eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) = 0)
7348, 54, 723brtr4d 5137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
74 elfz1eq 13452 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
7574fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
7675breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)) ↔ (𝐹‘0) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7773, 76syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...0) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7846, 77sylbid 239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0))))
7978ralrimiv 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑0) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 0) · (𝑇↑0)))
80 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8180breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
8281cbvralvw 3225 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
8349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝐹𝐴)
84 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8584ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
86 zq 12879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℚ)
8850, 61abvcl 20283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8983, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
91 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9290, 91nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℕ)
9385, 92zmodcld 13797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℕ0)
9493nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ)
95 zq 12879 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℤ → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ)
9750, 61abvcl 20283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9883, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℚ)
10083, 99, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
101100, 91reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℝ)
10285zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
103102, 92nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ)
104103flcld 13703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ)
105 zq 12879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ)
10750, 61abvcl 20283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
10883, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℝ)
109101, 108remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ∈ ℝ)
11098, 109readdcld 11184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ∈ ℝ)
11190nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
112 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113112ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
114113nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
11666ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
117 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
118117ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
119116, 118reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
121 nnq 12887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀𝑛) ∈ ℕ → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
123 qmulcl 12892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
124122, 106, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ)
125 qex 12886 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ∈ V
126 cnfldadd 20801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 + = (+g‘ℂfld)
12751, 126ressplusg 17171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑄)
12950, 61, 128abvtri 20289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ ℚ ∧ ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13083, 96, 124, 129syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
13192nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ+)
132 modval 13776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℝ+) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
133102, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) = (𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
134133oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
135102recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
136 qcn 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℚ → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
138135, 137npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 − ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
139134, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = 𝑘)
140139fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑘 mod (𝑀𝑛)) + ((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = (𝐹𝑘))
141 cnfldmul 20802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
14251, 141ressmulr 17188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑄)
14450, 61, 143abvmul 20288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14583, 122, 106, 144syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
14651, 50qabvexp 26974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
14783, 99, 91, 146syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
148147oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
149145, 148eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))))
150149oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (𝐹‘((𝑀𝑛) · (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) = ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
151130, 140, 1503brtr3d 5136 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))))
152116, 91reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
153115, 152remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
154 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
156111, 155remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℝ)
157156, 152remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
158111, 152remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
159 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))))
160159breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑘 mod (𝑀𝑛)) → ((𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))))
161 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
162 zmodfz 13798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℕ) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
16385, 92, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 mod (𝑀𝑛)) ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1)))
164160, 161, 163rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))
165111, 101remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ∈ ℝ)
166101recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ∈ ℂ)
167108recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ∈ ℂ)
168166, 167mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) = ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
16950, 61abvge0 20284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
17083, 99, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
171100, 91, 170expge0d 14069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ ((𝐹𝑀)↑𝑛))
172104zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℝ)
173 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
174173ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑘)
17592nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ)
17692nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀𝑛))
177 divge0 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
178102, 174, 175, 176, 177syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛)))
179 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / (𝑀𝑛))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
180103, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0)
18151, 50qabvle 26973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐴 ∧ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
18283, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))
183 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)))
184 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℤ
18590, 118nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
186185nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
187 elfzm11 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
188184, 186, 187sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
189183, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1))))
190189simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < (𝑀↑(𝑛 + 1)))
19190nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
192191, 91expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
193190, 192breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀))
194 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀𝑛))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
195102, 111, 175, 176, 194syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀𝑘 < ((𝑀𝑛) · 𝑀)))
196193, 195mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀)
19790nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
198 fllt 13711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 / (𝑀𝑛)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
199103, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑘 / (𝑀𝑛)) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀))
200196, 199mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) < 𝑀)
201172, 111, 200ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))) ≤ 𝑀)
202108, 172, 111, 182, 201letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) ≤ 𝑀)
203108, 111, 101, 171, 202lemul1ad 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))) · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
204168, 203eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
20590nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
206205nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 ≤ 𝑀)
207 max1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
208100, 58, 207sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
209208, 57breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)
210 leexp1a 14080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑇)) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
211100, 116, 91, 170, 209, 210syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹𝑀)↑𝑛) ≤ (𝑇𝑛))
212101, 152, 111, 206, 211lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · ((𝐹𝑀)↑𝑛)) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
213109, 165, 158, 204, 212letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛))))) ≤ (𝑀 · (𝑇𝑛)))
21498, 109, 157, 158, 164, 213le2addd 11774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
215 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
216215ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
217 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ∈ ℂ)
218191, 216, 217adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
219191mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
220219oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
221218, 220eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + 𝑀))
222221oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)))
223191, 216mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℂ)
224152recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
225223, 191, 224adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (((𝑀 · 𝑛) + 𝑀) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
226222, 225eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) = (((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) + (𝑀 · (𝑇𝑛))))
227214, 226breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)))
228 max2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
229100, 58, 228sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
230229, 57breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 1 ≤ 𝑇)
231 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
232231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
233 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
235 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
237116, 230, 236leexp2ad 14157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)))
23890, 113nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
239238nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))
240 lemul2 12008 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑛 + 1)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
241152, 119, 115, 239, 240syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑇𝑛) ≤ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
242237, 241mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇𝑛)) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
243110, 153, 120, 227, 242letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → ((𝐹‘(𝑘 mod (𝑀𝑛))) + (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘(⌊‘(𝑘 / (𝑀𝑛)))))) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
24489, 110, 120, 151, 243letrd 11312 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)))) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))
245244expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
246245ralrimdva 3151 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑗 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑗) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
24782, 246biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
248247expcom 414 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
249248a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑛) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑛) · (𝑇𝑛))) → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · (𝑛 + 1)) · (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
2509, 18, 27, 36, 79, 249nn0ind 12598 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
251250impcom 408 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
252 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
253252breq1d 5115 . . . 4 (𝑘 = 𝑌 → ((𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) ↔ (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
254253rspccv 3578 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))(𝐹𝑘) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
255251, 254syl 17 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1)) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋))))
2562553impia 1117 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (0...((𝑀𝑋) − 1))) → (𝐹𝑌) ≤ ((𝑀 · 𝑋) · (𝑇𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cq 12873  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695   mod cmo 13774  cexp 13967  cprime 16547   pCnt cpc 16708  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  AbsValcabv 20275  fldccnfld 20796  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-cnfld 20797
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