MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem2 27005
Description: Lemma for ostth2 27008. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   𝑋(π‘ž)   π‘Œ(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑0))
21oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑0) βˆ’ 1))
32oveq2d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)))
4 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
5 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑0))
64, 5oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
76breq2d 5121 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
83, 7raleqbidv 3318 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
98imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))))
10 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑𝑛))
1110oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))
1211oveq2d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
13 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑛))
14 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑𝑛))
1513, 14oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
1615breq2d 5121 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
1712, 16raleqbidv 3318 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
1817imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))))
19 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
2019oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))
2120oveq2d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)))
22 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))
23 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑(𝑛 + 1)))
2422, 23oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
2524breq2d 5121 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2621, 25raleqbidv 3318 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
2726imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
28 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑀↑π‘₯) = (𝑀↑𝑋))
2928oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))
3029oveq2d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1)) = (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)))
31 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑋))
32 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑇↑π‘₯) = (𝑇↑𝑋))
3331, 32oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) = ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
3433breq2d 5121 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
3530, 34raleqbidv 3318 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
3635imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑π‘₯) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· π‘₯) Β· (𝑇↑π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))))
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
38 eluz2nn 12817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4039nncnd 12177 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4140exp0d 14054 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀↑0) = 1)
4241oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑0) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
43 1m1e0 12233 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ 1) = 0
4442, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑0) βˆ’ 1) = 0)
4544oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) = (0...0))
4645eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) ↔ π‘˜ ∈ (0...0)))
47 0le0 12262 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 0)
49 ostth.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
50 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
51 qrng.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
5251qrng0 26992 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘„)
5350, 52abv0 20333 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
5449, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
5540mul01d 11362 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5655oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) = (0 Β· (𝑇↑0)))
57 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
58 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
59 nnq 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
6039, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
6151qrngbas 26990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
6250, 61abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
6349, 60, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
64 ifcl 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6558, 63, 64sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6657, 65eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
6766recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
68 0nn0 12436 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
69 expcl 13994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝑇↑0) ∈ β„‚)
7067, 68, 69sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇↑0) ∈ β„‚)
7170mul02d 11361 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 Β· (𝑇↑0)) = 0)
7256, 71eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) = 0)
7348, 54, 723brtr4d 5141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
74 elfz1eq 13461 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ π‘˜ = 0)
7574fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜0))
7675breq1d 5119 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)) ↔ (πΉβ€˜0) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7773, 76syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7846, 77sylbid 239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0))))
7978ralrimiv 3139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑0) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 0) Β· (𝑇↑0)))
80 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
8180breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
8281cbvralvw 3224 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
8349ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
84 elfzelz 13450 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
8584ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
86 zq 12887 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„š)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„š)
8850, 61abvcl 20326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8983, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
91 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9290, 91nnexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„•)
9385, 92zmodcld 13806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„•0)
9493nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„€)
95 zq 12887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„€ β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š)
9750, 61abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
9883, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
9990, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
10083, 99, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
101100, 91reexpcld 14077 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ∈ ℝ)
10285zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
103102, 92nndivred 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ)
104103flcld 13712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„€)
105 zq 12887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š)
10750, 61abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ ℝ)
10883, 106, 107syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ ℝ)
109101, 108remulcld 11193 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ∈ ℝ)
11098, 109readdcld 11192 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ∈ ℝ)
11190nnred 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
112 nn0p1nn 12460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
114113nnred 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11193 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
11666ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
117 peano2nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
119116, 118reexpcld 14077 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 11193 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
121 nnq 12895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑𝑛) ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
12292, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
123 qmulcl 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š)
124122, 106, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š)
125 qex 12894 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š ∈ V
126 cnfldadd 20824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 + = (+gβ€˜β„‚fld)
12751, 126ressplusg 17179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„š ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘„))
128125, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+gβ€˜π‘„)
12950, 61, 128abvtri 20332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ β„š ∧ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
13083, 96, 124, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
13192nnrpd 12963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ+)
132 modval 13785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) = (π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
133102, 131, 132syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) = (π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
134133oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
135102recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
136 qcn 12896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„š β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
137124, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
138135, 137npcand 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = π‘˜)
139134, 138eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = π‘˜)
140139fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) + ((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) = (πΉβ€˜π‘˜))
141 cnfldmul 20825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
14251, 141ressmulr 17196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
143125, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = (.rβ€˜π‘„)
14450, 61, 143abvmul 20331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
14583, 122, 106, 144syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
14651, 50qabvexp 26997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
14783, 99, 91, 146syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
148147oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
149145, 148eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))))
150149oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) = ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
151130, 140, 1503brtr3d 5140 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))))
152116, 91reexpcld 14077 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ∈ ℝ)
153115, 152remulcld 11193 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
154 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
156111, 155remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
157156, 152remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
158111, 152remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)) ∈ ℝ)
159 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))))
160159breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))))
161 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
162 zmodfz 13807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
16385, 92, 162syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ mod (𝑀↑𝑛)) ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1)))
164160, 161, 163rspcdva 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))
165111, 101remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ∈ ℝ)
166101recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ∈ β„‚)
167108recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ∈ β„‚)
168166, 167mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) = ((πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
16950, 61abvge0 20327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
17083, 99, 169syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
171100, 91, 170expge0d 14078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
172104zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ ℝ)
173 elfzle1 13453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
174173ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ π‘˜)
17592nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ ℝ)
17692nngt0d 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 < (𝑀↑𝑛))
177 divge0 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜) ∧ ((𝑀↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀↑𝑛))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))
178102, 174, 175, 176, 177syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))
179 flge0nn0 13734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0)
180103, 178, 179syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0)
18151, 50qabvle 26996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))
18283, 180, 181syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))
183 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)))
184 0z 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ β„€
18590, 118nnexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„•)
186185nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„€)
187 elfzm11 13521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝑀↑(𝑛 + 1)) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
188184, 186, 187sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))))
189183, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1))))
190189simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ < (𝑀↑(𝑛 + 1)))
19190nncnd 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
192191, 91expp1d 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
193190, 192breqtrd 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
194 ltdivmul 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀↑𝑛))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
195102, 111, 175, 176, 194syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ π‘˜ < ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
196193, 195mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀)
19790nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
198 fllt 13720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀))
199103, 197, 198syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((π‘˜ / (𝑀↑𝑛)) < 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀))
200196, 199mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) < 𝑀)
201172, 111, 200ltled 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))) ≀ 𝑀)
202108, 172, 111, 182, 201letrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) ≀ 𝑀)
203108, 111, 101, 171, 202lemul1ad 12102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))) Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ≀ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
204168, 203eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ≀ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
20590nnnn0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
206205nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
207 max1 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
208100, 58, 207sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
209208, 57breqtrrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 𝑇)
210 leexp1a 14089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ≀ (𝑇↑𝑛))
211100, 116, 91, 170, 209, 210syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) ≀ (𝑇↑𝑛))
212101, 152, 111, 206, 211lemul2ad 12103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) ≀ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)))
213109, 165, 158, 204, 212letrd 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛))))) ≀ (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛)))
21498, 109, 157, 158, 164, 213le2addd 11782 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
215 nn0cn 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
216215ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
217 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ∈ β„‚)
218191, 216, 217adddid 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + (𝑀 Β· 1)))
219191mulridd 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
220219oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑛) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀))
221218, 220eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀))
222221oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀) Β· (𝑇↑𝑛)))
223191, 216mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
224152recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ∈ β„‚)
225223, 191, 224adddird 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (((𝑀 Β· 𝑛) + 𝑀) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
226222, 225eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) = (((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) + (𝑀 Β· (𝑇↑𝑛))))
227214, 226breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)))
228 max2 13115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
229100, 58, 228sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
230229, 57breqtrrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 1 ≀ 𝑇)
231 nn0z 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
232231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
233 uzid 12786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
235 peano2uz 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
237116, 230, 236leexp2ad 14166 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)))
23890, 113nnmulcld 12214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
239238nngt0d 12210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ 0 < (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))
240 lemul2 12016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇↑𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 Β· (𝑛 + 1)))) β†’ ((𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
241152, 119, 115, 239, 240syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑇↑𝑛) ≀ (𝑇↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
242237, 241mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑𝑛)) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
243110, 153, 120, 227, 242letrd 11320 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ mod (𝑀↑𝑛))) + (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(βŒŠβ€˜(π‘˜ / (𝑀↑𝑛)))))) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
24489, 110, 120, 151, 243letrd 11320 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))
245244expr 458 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
246245ralrimdva 3148 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘—) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
24782, 246biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1)))))
248247expcom 415 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
249248a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑛) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑛) Β· (𝑇↑𝑛))) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑(𝑛 + 1)) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· (𝑛 + 1)) Β· (𝑇↑(𝑛 + 1))))))
2509, 18, 27, 36, 79, 249nn0ind 12606 . . . 4 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
251250impcom 409 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
252 fveq2 6846 . . . . 5 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘Œ))
253252breq1d 5119 . . . 4 (π‘˜ = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
254253rspccv 3580 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)) β†’ (π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
255251, 254syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋))))
2562553impia 1118 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ (0...((𝑀↑𝑋) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ ((𝑀 Β· 𝑋) Β· (𝑇↑𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β„+crp 12923  ...cfz 13433  βŒŠcfl 13704   mod cmo 13783  β†‘cexp 13976  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819  logclog 25933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  ostth2lem3  27006
  Copyright terms: Public domain W3C validator