MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem3 10166
Description: Lemma for ackbij2 10187. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3
StepHypRef Expression
1 ordom 7816 . . . 4 Ord ω
2 ordelss 6337 . . . 4 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4 elpwg 4567 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
53, 4mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 9117 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6elind 4158 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4564  Ord word 6320  ωcom 7806  Fincfn 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-om 7807  df-en 8890  df-fin 8893
This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  10176  ackbij1lem14  10177  ackbij1lem15  10178  ackbij1lem18  10181  ackbij1  10182  ackbij1b  10183
  Copyright terms: Public domain W3C validator