Theorem ackbij1lem3 10299

Description: Lemma for ackbij2 10320. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem3	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7887	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6378	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4		elpwg 4560	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
5	3, 4	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9183	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  Ord word 6361  ωcom 7877  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-om 7878  df-en 8974  df-fin 8977

This theorem is used by:  ackbij1lem13  10309  ackbij1lem14  10310  ackbij1lem15  10311  ackbij1lem18  10314  ackbij1  10315  ackbij1b  10316