MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem3 9647
Description: Lemma for ackbij2 9668. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3
StepHypRef Expression
1 ordom 7592 . . . 4 Ord ω
2 ordelss 6210 . . . 4 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4 elpwg 4545 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
53, 4mpbird 259 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 8714 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6elind 4174 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4542  Ord word 6193  ωcom 7583  Fincfn 8512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7584  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516
This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  9657  ackbij1lem14  9658  ackbij1lem15  9659  ackbij1lem18  9662  ackbij1  9663  ackbij1b  9664
  Copyright terms: Public domain W3C validator