Theorem ackbij1lem3 10290

Description: Lemma for ackbij2 10311. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem3	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7913	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6411	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4		elpwg 4625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
5	3, 4	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  Ord word 6394  ωcom 7903  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-om 7904  df-en 9004  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  10300  ackbij1lem14  10301  ackbij1lem15  10302  ackbij1lem18  10305  ackbij1  10306  ackbij1b  10307