MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem3 9359
Description: Lemma for ackbij2 9380. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3
StepHypRef Expression
1 ordom 7335 . . . 4 Ord ω
2 ordelss 5979 . . . 4 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 683 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4 elpwg 4386 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
53, 4mpbird 249 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 8422 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6elind 4025 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2166  cin 3797  wss 3798  𝒫 cpw 4378  Ord word 5962  ωcom 7326  Fincfn 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226
This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  9369  ackbij1lem14  9370  ackbij1lem15  9371  ackbij1lem18  9374  ackbij1  9375  ackbij1b  9376
  Copyright terms: Public domain W3C validator