Theorem ackbij1lem3 10134

Description: Lemma for ackbij2 10155. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem3	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7816	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6326	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4		elpwg 4532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
5	3, 4	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9092	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  Ord word 6309  ωcom 7806  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-om 7807  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  10144  ackbij1lem14  10145  ackbij1lem15  10146  ackbij1lem18  10149  ackbij1  10150  ackbij1b  10151