Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval4 39047
Description: The value of the trace of a lattice translation in terms of 2 atoms. (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))

Proof of Theorem trlval4
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp22 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simp23 1208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5 simp3r 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6 simpl1l 1224 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 simp23l 1294 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
9 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simpl21 1251 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
11 trlval3.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 trlval3.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 trlval3.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 trlval3.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1511, 12, 13, 14ltrnat 38999 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
169, 10, 8, 15syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
17 trlval3.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1811, 17, 12hlatlej1 38233 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
196, 8, 16, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
20 simpl22 1252 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
21 trlval3.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2211, 17, 12, 13, 14, 21trljat1 39025 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
239, 10, 20, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
24 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
2523, 24eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
2619, 25breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
27 simpl3r 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
28 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2920adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3010adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3311, 32, 12, 13, 14, 21trl0 39029 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
3428, 29, 30, 31, 33syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
35 hlatl 38218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
366, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
37 simp22l 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
39 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4039, 17, 12hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
416, 38, 8, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4239, 11, 32atl0le 38162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4336, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4534, 44eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4645ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4746necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
4827, 47mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
4911, 12, 13, 14, 21trlat 39028 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
509, 20, 10, 48, 49syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
51 simpl3l 1228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
5251necomd 2996 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 β‰  𝑃)
5311, 17, 12hlatexch1 38254 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
546, 8, 50, 38, 52, 53syl131anc 1383 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5526, 54mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
5655ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5756necon3bd 2954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
585, 57mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
59 trlval3.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6011, 17, 59, 12, 13, 14, 21trlval3 39046 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
611, 2, 3, 4, 58, 60syl113anc 1382 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  cdlemg10a  39499  cdlemg12d  39505
  Copyright terms: Public domain W3C validator