Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1136 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp21 1206 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β πΉ β π) |
3 | | simp22 1207 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp23 1208 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp3r 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
6 | | simpl1l 1224 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β πΎ β HL) |
7 | | simp23l 1294 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
8 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β π΄) |
9 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
10 | | simpl21 1251 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β πΉ β π) |
11 | | trlval3.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | trlval3.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | trlval3.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | trlval3.t |
. . . . . . . . . 10
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
15 | 11, 12, 13, 14 | ltrnat 38999 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
16 | 9, 10, 8, 15 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (πΉβπ) β π΄) |
17 | | trlval3.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 11, 17, 12 | hlatlej1 38233 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
19 | 6, 8, 16, 18 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
20 | | simpl22 1252 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | | trlval3.r |
. . . . . . . . . 10
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
22 | 11, 17, 12, 13, 14, 21 | trljat1 39025 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
23 | 9, 10, 20, 22 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
24 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
25 | 23, 24 | eqtrd 2772 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
26 | 19, 25 | breqtrrd 5175 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
27 | | simpl3r 1229 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
28 | | simpll1 1212 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
29 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
30 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β πΉ β π) |
31 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
32 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
33 | 11, 32, 12, 13, 14, 21 | trl0 39029 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) |
34 | 28, 29, 30, 31, 33 | syl112anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) |
35 | | hlatl 38218 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
36 | 6, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β πΎ β AtLat) |
37 | | simp22l 1292 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
38 | 37 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β π΄) |
39 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
40 | 39, 17, 12 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 6, 38, 8, 40 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 39, 11, 32 | atl0le 38162 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β AtLat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (0.βπΎ) β€ (π β¨ π)) |
43 | 36, 41, 42 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (0.βπΎ) β€ (π β¨ π)) |
44 | 43 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (0.βπΎ) β€ (π β¨ π)) |
45 | 34, 44 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β§ (πΉβπ) = π) β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
46 | 45 | ex 413 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β ((πΉβπ) = π β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) |
47 | 46 | necon3bd 2954 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β (πΉβπ) β π)) |
48 | 27, 47 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (πΉβπ) β π) |
49 | 11, 12, 13, 14, 21 | trlat 39028 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
50 | 9, 20, 10, 48, 49 | syl112anc 1374 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π
βπΉ) β π΄) |
51 | | simpl3l 1228 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β π) |
52 | 51 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β π β π) |
53 | 11, 17, 12 | hlatexch1 38254 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) |
54 | 6, 8, 50, 38, 52, 53 | syl131anc 1383 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) |
55 | 26, 54 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β§ (π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
56 | 55 | ex 413 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβπ)) = (π β¨ (πΉβπ)) β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) |
57 | 56 | necon3bd 2954 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (πΉβπ)))) |
58 | 5, 57 | mpd 15 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (πΉβπ))) |
59 | | trlval3.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
60 | 11, 17, 59, 12, 13, 14, 21 | trlval3 39046 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (πΉβπ)))) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ (πΉβπ)))) |
61 | 1, 2, 3, 4, 58, 60 | syl113anc 1382 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π))) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ (πΉβπ)))) |