Theorem gricsym 47901

Description: Graph isomorphism is symmetric for hypergraphs. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricsym	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Proof of Theorem gricsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47892	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4333	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
4		grimcnv 47868	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺)))
5		brgrici 47893	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺)
6	4, 5	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
7	6	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	3, 7	biimtrid 242	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  (class class class)co 7410  UHGraphcuhgr 29040   GraphIso cgrim 47855   ≃_𝑔𝑟 cgric 47856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8485  df-map 8847  df-uhgr 29042  df-grim 47858  df-gric 47861

This theorem is referenced by:  gricsymb  47902  gricer  47904  grlicsym  47985  clnbgr3stgrgrlic  47991  usgrexmpl12ngric  48009