Theorem gricsym 48163

Description: Graph isomorphism is symmetric for hypergraphs. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricsym	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Proof of Theorem gricsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48154	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
4		grimcnv 48130	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺)))
5		brgrici 48155	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺)
6	4, 5	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
7	6	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	3, 7	biimtrid 242	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623  (class class class)co 7358  UHGraphcuhgr 29129   GraphIso cgrim 48117   ≃_𝑔𝑟 cgric 48118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-map 8765  df-uhgr 29131  df-grim 48120  df-gric 48123

This theorem is referenced by:  gricsymb  48164  gricer  48166  grlicsym  48255  clnbgr3stgrgrlim  48261  clnbgr3stgrgrlic  48262  usgrexmpl12ngric  48280