Theorem gricsym 48541

Description: Graph isomorphism is symmetric for hypergraphs. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricsym	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Proof of Theorem gricsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48532	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆))
4		grimcnv 48508	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺)))
5		brgrici 48533	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝐺) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺)
6	4, 5	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
7	6	exlimdv 1956	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GraphIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	3, 7	biimtrid 245	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5651  (class class class)co 7400  UHGraphcuhgr 29315   GraphIso cgrim 48495   ≃_𝑔𝑟 cgric 48496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-map 8814  df-uhgr 29317  df-grim 48498  df-gric 48501

This theorem is referenced by:  gricsymb  48542  gricer  48544  grlicsym  48633  clnbgr3stgrgrlim  48639  clnbgr3stgrgrlic  48640  usgrexmpl12ngric  48658