Theorem grictr 48965

Description: Graph isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Dec-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Proof of Theorem grictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48954	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgric 48954	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
4		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇))
5		exdistrv 1988	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)))
6		grimco 48931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
7	6	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
8		brgrici 48955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 610	. 2 ⊢ (((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7412   GraphIso cgrim 48917   ≃_𝑔𝑟 cgric 48918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8460  df-map 8833  df-grim 48920  df-gric 48923

This theorem is used by:  gricer  48966  grlictr  49057  clnbgr3stgrgrlim  49061  clnbgr3stgrgrlic  49062