Theorem grictr 47927

Description: Graph isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Dec-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Proof of Theorem grictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47916	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgric 47916	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4319	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
4		n0 4319	. . 3 ⊢ ((𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇))
5		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)))
6		grimco 47893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
8		brgrici 47917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5645  (class class class)co 7390   GraphIso cgrim 47879   ≃_𝑔𝑟 cgric 47880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-map 8804  df-grim 47882  df-gric 47885

This theorem is referenced by:  gricer  47928  grlictr  48011  clnbgr3stgrgrlic  48015