Theorem grictr 47936

Description: Graph isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Dec-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Proof of Theorem grictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47925	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgric 47925	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4328	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
4		n0 4328	. . 3 ⊢ ((𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇))
5		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)))
6		grimco 47902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
8		brgrici 47926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  (class class class)co 7405   GraphIso cgrim 47888   ≃_𝑔𝑟 cgric 47889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8480  df-map 8842  df-grim 47891  df-gric 47894

This theorem is referenced by:  gricer  47937  grlictr  48020  clnbgr3stgrgrlic  48024