Theorem grictr 48665

Description: Graph isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Dec-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Proof of Theorem grictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48654	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgric 48654	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
4		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇))
5		exdistrv 1985	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)))
6		grimco 48631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
7	6	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
8		brgrici 48655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 609	. 2 ⊢ (((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5667  (class class class)co 7412   GraphIso cgrim 48617   ≃_𝑔𝑟 cgric 48618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-map 8827  df-grim 48620  df-gric 48623

This theorem is referenced by:  gricer  48666  grlictr  48757  clnbgr3stgrgrlim  48761  clnbgr3stgrgrlic  48762