Theorem grictr 47830

Description: Graph isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Dec-2022.) (Revised by AV, 3-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Proof of Theorem grictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47819	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgric 47819	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
4		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇))
5		exdistrv 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)))
6		grimco 47818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇))
8		brgrici 47820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 GraphIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 GraphIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GraphIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5693  (class class class)co 7431   GraphIso cgrim 47799   ≃_𝑔𝑟 cgric 47800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-grim 47802  df-gric 47805

This theorem is referenced by:  gricer  47831  grlictr  47911  clnbgr3stgrgrlic  47915