Theorem upgrimcycls 48538

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map cycles onto cycles. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimcycls.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimcycls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimcycls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimcycls.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
8		cyclispth 29999	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimpths 48536	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11		iscycl 29993	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprbi 501	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑃‘0)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
15		cycliswlk 30000	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkp 29819	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
18	7, 15, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
19		wlkcl 29818	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	7, 15, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21		0elfz 13631	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23	18, 22	fvco3d 6970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = (𝑁‘(𝑃‘0)))
24	1	wlkf 29817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25	7, 15, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25	upgrimwlklem1 48524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
27	26	fveq2d 6873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)))
28		nn0fz0 13632	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
29	20, 28	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
30	18, 29	fvco3d 6970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
31	27, 30	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
32	14, 23, 31	3eqtr4d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)))
33		iscycl 29993	. 2 ⊢ (𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸))))
34	10, 32, 33	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   “ cima 5652   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12483  ...cfz 13514  ♯chash 14345  Word cword 14528  Vtxcvtx 29199  iEdgciedg 29200  USPGraphcuspgr 29351  Walkscwlks 29799  Pathscpths 29912  Cyclesccycls 29987   GraphIso cgrim 48502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-upgr 29285  df-uspgr 29353  df-wlks 29802  df-trls 29893  df-pths 29916  df-cycls 29989  df-grim 48505

This theorem is referenced by:  cycldlenngric  48555