Theorem upgrimcycls 48599

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map cycles onto cycles. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimcycls.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimcycls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimcycls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimcycls.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
8		cyclispth 30087	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimpths 48597	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11		iscycl 30081	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑃‘0)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
15		cycliswlk 30088	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkp 29907	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
18	7, 15, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
19		wlkcl 29906	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	7, 15, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21		0elfz 13652	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23	18, 22	fvco3d 6983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = (𝑁‘(𝑃‘0)))
24	1	wlkf 29905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25	7, 15, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25	upgrimwlklem1 48585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
27	26	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)))
28		nn0fz0 13653	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
29	20, 28	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
30	18, 29	fvco3d 6983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
31	27, 30	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
32	14, 23, 31	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)))
33		iscycl 30081	. 2 ⊢ (𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸))))
34	10, 32, 33	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   “ cima 5665   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  ♯chash 14366  Word cword 14550  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  USPGraphcuspgr 29439  Walkscwlks 29887  Pathscpths 30000  Cyclesccycls 30075   GraphIso cgrim 48563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-uspgr 29441  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-cycls 30077  df-grim 48566

This theorem is referenced by:  cycldlenngric  48616