Theorem upgrimcycls 48892

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map cycles onto cycles. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimcycls.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimcycls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimcycls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimcycls.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
8		cyclispth 30295	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimpths 48890	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11		iscycl 30289	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑃‘0)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
15		cycliswlk 30297	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkp 30108	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
18	7, 15, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
19		wlkcl 30107	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	7, 15, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21		0elfz 13704	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23	18, 22	fvco3d 6982	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = (𝑁‘(𝑃‘0)))
24	1	wlkf 30106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25	7, 15, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25	upgrimwlklem1 48878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
27	26	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)))
28		nn0fz0 13705	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
29	20, 28	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
30	18, 29	fvco3d 6982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
31	27, 30	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
32	14, 23, 31	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)))
33		iscycl 30289	. 2 ⊢ (𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸))))
34	10, 32, 33	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13586  ♯chash 14419  Word cword 14603  Vtxcvtx 29485  iEdgciedg 29486  USPGraphcuspgr 29640  Walkscwlks 30088  Pathscpths 30206  Cyclesccycls 30283   GraphIso cgrim 48856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-edg 29537  df-uhgr 29547  df-upgr 29571  df-uspgr 29642  df-wlks 30091  df-trls 30186  df-pths 30210  df-cycls 30285  df-grim 48859

This theorem is used by:  cycldlenngric  48909