Theorem upgrimcycls 48704

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map cycles onto cycles. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimcycls.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimcycls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimcycls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimcycls.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
8		cyclispth 30155	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimpths 48702	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11		iscycl 30149	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑃‘0)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
15		cycliswlk 30156	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkp 29975	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
18	7, 15, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
19		wlkcl 29974	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	7, 15, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21		0elfz 13657	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23	18, 22	fvco3d 6982	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = (𝑁‘(𝑃‘0)))
24	1	wlkf 29973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25	7, 15, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25	upgrimwlklem1 48690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
27	26	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)))
28		nn0fz0 13658	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
29	20, 28	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
30	18, 29	fvco3d 6982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
31	27, 30	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
32	14, 23, 31	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)))
33		iscycl 30149	. 2 ⊢ (𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸))))
34	10, 32, 33	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ℕ₀cn0 12508  ...cfz 13539  ♯chash 14371  Word cword 14555  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  USPGraphcuspgr 29507  Walkscwlks 29955  Pathscpths 30068  Cyclesccycls 30143   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-edg 29407  df-uhgr 29417  df-upgr 29441  df-uspgr 29509  df-wlks 29958  df-trls 30049  df-pths 30072  df-cycls 30145  df-grim 48671

This theorem is used by:  cycldlenngric  48721