Theorem upgrimcycls 47872

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map cycles onto cycles. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimcycls.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimcycls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimcycls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimcycls.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
8		cyclispth 29725	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimpths 47870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11		iscycl 29719	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	fveq2d 6879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑃‘0)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
15		cycliswlk 29726	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkp 29542	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
18	7, 15, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
19		wlkcl 29541	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	7, 15, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21		0elfz 13639	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23	18, 22	fvco3d 6978	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = (𝑁‘(𝑃‘0)))
24	1	wlkf 29540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25	7, 15, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25	upgrimwlklem1 47858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
27	26	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)))
28		nn0fz0 13640	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
29	20, 28	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
30	18, 29	fvco3d 6978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐹)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
31	27, 30	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)) = (𝑁‘(𝑃‘(♯‘𝐹))))
32	14, 23, 31	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸)))
33		iscycl 29719	. 2 ⊢ (𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Paths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ ((𝑁 ∘ 𝑃)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(♯‘𝐸))))
34	10, 32, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Cycles‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13522  ♯chash 14346  Word cword 14529  Vtxcvtx 28921  iEdgciedg 28922  USPGraphcuspgr 29073  Walkscwlks 29522  Pathscpths 29638  Cyclesccycls 29713   GraphIso cgrim 47836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530  df-edg 28973  df-uhgr 28983  df-upgr 29007  df-uspgr 29075  df-wlks 29525  df-trls 29618  df-pths 29642  df-cycls 29715  df-grim 47839

This theorem is referenced by:  cycldlenngric  47889