Theorem usgrexmpl12ngric 48962

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 48949, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 48961. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngric	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngric

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 48951	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29654	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ UHGraph
7		gricsym 48845	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺)
9		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
10		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
11	1, 9, 10	usgrexmpl1tri 48949	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
12		brgric 48836	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅)
13		n0 4303	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
14	12, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
15	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 48961	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
16	1, 9, 10	usgrexmpl1 48946	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
17		usgruhgr 29654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ UHGraph
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UHGraph)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
21		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
23	19, 20, 21, 22	grimgrtri 48873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
25		alnex 1814	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
26		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	imaex 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V
28		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V)
29		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
30	29	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V ∧ 𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2})) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
32	28, 31	spcdv 3551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
34	33	pm2.21d 122	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
35	25, 34	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
36	15, 24, 35	mpsylsyld 70	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
37	36	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
38	14, 37	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
39	8, 11, 38	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
40	39	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  ...cfz 13565  ⟨“cs7 14921  UHGraphcuhgr 29521  USGraphcusgr 29617   GraphIso cgrim 48799   ≃_𝑔𝑟 cgric 48800  GrTrianglescgrtri 48861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-3o 8461  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-s4 14925  df-s5 14926  df-s6 14927  df-s7 14928  df-vtx 29463  df-iedg 29464  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-uspgr 29618  df-usgr 29619  df-nbgr 29801  df-grim 48802  df-gric 48805  df-grtri 48862

This theorem is used by: (None)