Theorem usgrexmpl12ngric 49351

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 49338, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 49350. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngric	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngric

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 49340	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29800	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ UHGraph
7		gricsym 49234	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺)
9		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
10		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
11	1, 9, 10	usgrexmpl1tri 49338	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
12		brgric 49225	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅)
13		n0 4303	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
14	12, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
15	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 49350	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
16	1, 9, 10	usgrexmpl1 49335	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
17		usgruhgr 29800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ UHGraph
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UHGraph)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
21		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
23	19, 20, 21, 22	grimgrtri 49262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
25		alnex 1814	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
26		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	imaex 7953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V
28		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V)
29		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
30	29	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V ∧ 𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2})) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
32	28, 31	spcdv 3552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
34	33	pm2.21d 122	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
35	25, 34	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
36	15, 24, 35	mpsylsyld 70	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
37	36	exlimiv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
38	14, 37	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
39	8, 11, 38	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
40	39	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  5c5 12430  ...cfz 13669  ⟨“cs7 15028  UHGraphcuhgr 29667  USGraphcusgr 29763   GraphIso cgrim 49188   ≃_𝑔𝑟 cgric 49189  GrTrianglescgrtri 49250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-3o 8509  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031  df-s4 15032  df-s5 15033  df-s6 15034  df-s7 15035  df-vtx 29609  df-iedg 29610  df-edg 29659  df-uhgr 29669  df-upgr 29693  df-umgr 29694  df-uspgr 29764  df-usgr 29765  df-nbgr 29947  df-grim 49191  df-gric 49194  df-grtri 49251

This theorem is used by: (None)