Theorem usgrexmpl12ngric 48022

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 48009, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 48021. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngric	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngric

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 48011	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29170	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ UHGraph
7		gricsym 47914	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺)
9		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
10		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
11	1, 9, 10	usgrexmpl1tri 48009	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
12		brgric 47905	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅)
13		n0 4333	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
14	12, 13	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
15	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 48021	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
16	1, 9, 10	usgrexmpl1 48006	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
17		usgruhgr 29170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ UHGraph
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UHGraph)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
21		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
23	19, 20, 21, 22	grimgrtri 47941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
24	23	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
25		alnex 1781	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
26		vex 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	imaex 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V
28		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V)
29		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
30	29	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V ∧ 𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2})) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
32	28, 31	spcdv 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
34	33	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
35	25, 34	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
36	15, 24, 35	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
37	36	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
38	14, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
39	8, 11, 38	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
40	39	pm2.01i 189	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ∅c0 4313  {cpr 4608  {ctp 4610  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  ...cfz 13529  ⟨“cs7 14870  UHGraphcuhgr 29040  USGraphcusgr 29133   GraphIso cgrim 47868   ≃_𝑔𝑟 cgric 47869  GrTrianglescgrtri 47929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-3o 8487  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-s4 14874  df-s5 14875  df-s6 14876  df-s7 14877  df-vtx 28982  df-iedg 28983  df-edg 29032  df-uhgr 29042  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-uspgr 29134  df-usgr 29135  df-nbgr 29317  df-grim 47871  df-gric 47874  df-grtri 47930

This theorem is referenced by: (None)