Theorem usgrexmpl12ngric 49229

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 49216, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 49228. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngric	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngric

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 49218	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29772	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ UHGraph
7		gricsym 49112	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺)
9		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
10		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
11	1, 9, 10	usgrexmpl1tri 49216	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
12		brgric 49103	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅)
13		n0 4299	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
14	12, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
15	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 49228	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
16	1, 9, 10	usgrexmpl1 49213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
17		usgruhgr 29772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ UHGraph
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UHGraph)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
21		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺))
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
23	19, 20, 21, 22	grimgrtri 49140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
25		alnex 1813	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
26		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	imaex 7926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V
28		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V)
29		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
30	29	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2}) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V ∧ 𝑡 = (𝑓 “ {0, 1, 2})) → (¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
32	28, 31	spcdv 3548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ V → (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ (𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺))
34	33	pm2.21d 122	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
35	25, 34	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ((𝑓 “ {0, 1, 2}) ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
36	15, 24, 35	mpsylsyld 70	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
37	36	exlimiv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
38	14, 37	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻))
39	8, 11, 38	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
40	39	pm2.01i 191	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  ...cfz 13642  ⟨“cs7 15001  UHGraphcuhgr 29639  USGraphcusgr 29735   GraphIso cgrim 49066   ≃_𝑔𝑟 cgric 49067  GrTrianglescgrtri 49128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-3o 8481  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-s4 15005  df-s5 15006  df-s6 15007  df-s7 15008  df-vtx 29581  df-iedg 29582  df-edg 29631  df-uhgr 29641  df-upgr 29665  df-umgr 29666  df-uspgr 29736  df-usgr 29737  df-nbgr 29919  df-grim 49069  df-gric 49072  df-grtri 49129

This theorem is used by: (None)