MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cgracol 28076
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgracol.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
cgracol.2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cgracol (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 28061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2221necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 28060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2810adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 27736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
3231orcd 871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
3323, 25, 323jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
3422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
3524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
386adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
398adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 27736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
4241olcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
4334, 35, 423jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
4433, 43jaodan 956 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 27850 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4744, 46mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 27852 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐢)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 28075 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 27850 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
5512adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
5616adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 27736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 872 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6216adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
64 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 27736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 871 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 871 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1088 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 28070 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 28060 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 27801 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 871 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8114adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
8216adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
836adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
848adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
8510adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8618adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
87 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 28074 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 27805 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 2945 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
9291orcomd 869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9392ord 862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 27801 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
9694, 95mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
97 df-3or 1088 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9896, 97sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9978, 89, 98mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  βŸ¨β€œcs3 14792  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 27675  Itvcitv 27681  LineGclng 27682  hlGchlg 27848  cgrAccgra 28055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-trkgc 27696  df-trkgb 27697  df-trkgcb 27698  df-trkg 27701  df-cgrg 27759  df-leg 27831  df-hlg 27849  df-cgra 28056
This theorem is referenced by:  cgrancol  28077  tgasa1  28106
  Copyright terms: Public domain W3C validator