Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cgracol.p |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (BaseβπΊ) |
2 | | cgracol.i |
. . . . . . . . . 10
β’ πΌ = (ItvβπΊ) |
3 | | cgracol.m |
. . . . . . . . . 10
β’ β =
(distβπΊ) |
4 | | cgracol.g |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΊ β TarskiG) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΊ β TarskiG) |
6 | | cgracol.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β π) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β π΄ β π) |
8 | | cgracol.b |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β π) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β π΅ β π) |
10 | | cgracol.c |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΆ β π) |
11 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΆ β π) |
12 | | cgracol.d |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π· β π) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β π· β π) |
14 | | cgracol.e |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΈ β π) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΈ β π) |
16 | | cgracol.f |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΉ β π) |
17 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΉ β π) |
18 | | cgracol.1 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ©) |
19 | 18 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ©) |
20 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(hlGβπΊ) =
(hlGβπΊ) |
21 | 1, 2, 20, 4, 6, 8,
10, 12, 14, 16, 18 | cgrane2 27797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π΅ β πΆ) |
22 | 21 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΆ β π΅) |
23 | 22 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β πΆ β π΅) |
24 | 1, 2, 20, 4, 6, 8,
10, 12, 14, 16, 18 | cgrane1 27796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π΄ β π΅) |
25 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β π΄ β π΅) |
26 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β πΊ β TarskiG) |
27 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β π΄ β π) |
28 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β πΆ β π) |
29 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β π΅ β π) |
30 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β πΆ β (π΄πΌπ΅)) |
31 | 1, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30 | tgbtwncom 27472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β πΆ β (π΅πΌπ΄)) |
32 | 31 | orcd 872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ))) |
33 | 23, 25, 32 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ πΆ β (π΄πΌπ΅)) β (πΆ β π΅ β§ π΄ β π΅ β§ (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ)))) |
34 | 22 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β πΆ β π΅) |
35 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β π΅) |
36 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β πΊ β TarskiG) |
37 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β πΆ β π) |
38 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β π) |
39 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΅ β π) |
40 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β (πΆπΌπ΅)) |
41 | 1, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40 | tgbtwncom 27472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β (π΅πΌπΆ)) |
42 | 41 | olcd 873 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ))) |
43 | 34, 35, 42 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β (πΆ β π΅ β§ π΄ β π΅ β§ (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ)))) |
44 | 33, 43 | jaodan 957 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΆ β π΅ β§ π΄ β π΅ β§ (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ)))) |
45 | 1, 2, 20, 10, 6, 8, 4 | ishlg 27586 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (πΆ((hlGβπΊ)βπ΅)π΄ β (πΆ β π΅ β§ π΄ β π΅ β§ (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ))))) |
46 | 45 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΆ((hlGβπΊ)βπ΅)π΄ β (πΆ β π΅ β§ π΄ β π΅ β§ (πΆ β (π΅πΌπ΄) β¨ π΄ β (π΅πΌπΆ))))) |
47 | 44, 46 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΆ((hlGβπΊ)βπ΅)π΄) |
48 | 1, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47 | hlcomd 27588 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β π΄((hlGβπΊ)βπ΅)πΆ) |
49 | 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48 | cgrahl 27811 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β π·((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ) |
50 | 1, 2, 20, 13, 17, 15, 5 | ishlg 27586 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (π·((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ β (π· β πΈ β§ πΉ β πΈ β§ (π· β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ·))))) |
51 | 49, 50 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (π· β πΈ β§ πΉ β πΈ β§ (π· β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ·)))) |
52 | 51 | simp3d 1145 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (π· β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ·))) |
53 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β πΊ β TarskiG) |
54 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β πΈ β π) |
55 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β π· β π) |
56 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β πΉ β π) |
57 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β π· β (πΈπΌπΉ)) |
58 | 1, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57 | tgbtwncom 27472 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β π· β (πΉπΌπΈ)) |
59 | 58 | olcd 873 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π· β (πΈπΌπΉ)) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ))) |
60 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β πΊ β TarskiG) |
61 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β πΈ β π) |
62 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β πΉ β π) |
63 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β π· β π) |
64 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β πΉ β (πΈπΌπ·)) |
65 | 1, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64 | tgbtwncom 27472 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β πΉ β (π·πΌπΈ)) |
66 | 65 | orcd 872 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ πΉ β (πΈπΌπ·)) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ))) |
67 | 59, 66 | jaodan 957 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π· β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ·))) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ))) |
68 | 52, 67 | syldan 592 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ))) |
69 | 68 | orcd 872 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β ((πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ)) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ))) |
70 | | df-3or 1089 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ)) β ((πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ)) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ))) |
71 | 69, 70 | sylibr 233 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ))) |
72 | | cgracol.l |
. . . . . 6
β’ πΏ = (LineGβπΊ) |
73 | 1, 2, 4, 20, 6, 8,
10, 12, 14, 16, 18 | cgracom 27806 |
. . . . . . 7
β’ (π β β¨βπ·πΈπΉββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ΄π΅πΆββ©) |
74 | 1, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73 | cgrane1 27796 |
. . . . . 6
β’ (π β π· β πΈ) |
75 | 1, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16 | tgellng 27537 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉ β (π·πΏπΈ) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ)))) |
76 | 75 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΉ β (π·πΏπΈ) β (πΉ β (π·πΌπΈ) β¨ π· β (πΉπΌπΈ) β¨ πΈ β (π·πΌπΉ)))) |
77 | 71, 76 | mpbird 257 |
. . 3
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β πΉ β (π·πΏπΈ)) |
78 | 77 | orcd 872 |
. 2
β’ ((π β§ (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅))) β (πΉ β (π·πΏπΈ) β¨ π· = πΈ)) |
79 | 4 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β πΊ β TarskiG) |
80 | 12 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β π· β π) |
81 | 14 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β πΈ β π) |
82 | 16 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β πΉ β π) |
83 | 6 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β π΄ β π) |
84 | 8 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β π΅ β π) |
85 | 10 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β πΆ β π) |
86 | 18 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ©) |
87 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β π΅ β (π΄πΌπΆ)) |
88 | 1, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87 | cgrabtwn 27810 |
. . 3
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β πΈ β (π·πΌπΉ)) |
89 | 1, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88 | btwncolg3 27541 |
. 2
β’ ((π β§ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β (πΉ β (π·πΏπΈ) β¨ π· = πΈ)) |
90 | 24 | neneqd 2949 |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ π΄ = π΅) |
91 | | cgracol.2 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΆ β (π΄πΏπ΅) β¨ π΄ = π΅)) |
92 | 91 | orcomd 870 |
. . . . . 6
β’ (π β (π΄ = π΅ β¨ πΆ β (π΄πΏπ΅))) |
93 | 92 | ord 863 |
. . . . 5
β’ (π β (Β¬ π΄ = π΅ β πΆ β (π΄πΏπ΅))) |
94 | 90, 93 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β (π΄πΏπ΅)) |
95 | 1, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10 | tgellng 27537 |
. . . 4
β’ (π β (πΆ β (π΄πΏπ΅) β (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (π΄πΌπΆ)))) |
96 | 94, 95 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (π β (πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (π΄πΌπΆ))) |
97 | | df-3or 1089 |
. . 3
β’ ((πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (π΄πΌπΆ)) β ((πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β¨ π΅ β (π΄πΌπΆ))) |
98 | 96, 97 | sylib 217 |
. 2
β’ (π β ((πΆ β (π΄πΌπ΅) β¨ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β¨ π΅ β (π΄πΌπΆ))) |
99 | 78, 89, 98 | mpjaodan 958 |
1
β’ (π β (πΉ β (π·πΏπΈ) β¨ π· = πΈ)) |