MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cgracol 28582
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgracol.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
cgracol.2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cgracol (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 28567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2221necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 28566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2810adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 28242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
3231orcd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
3323, 25, 323jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
3422adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
3524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
398adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 28242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
4241olcd 871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
4334, 35, 423jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
4433, 43jaodan 954 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 28356 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4744, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 28358 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐢)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 28581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 28356 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
5512adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
5616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 28242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 871 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 28242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 870 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 954 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 870 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1085 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 28576 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 28566 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 28307 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 870 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8114adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
8216adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
836adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
848adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
8510adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8618adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
87 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 28580 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 28311 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 2939 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
9291orcomd 868 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9392ord 861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 28307 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
9694, 95mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
97 df-3or 1085 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9896, 97sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9978, 89, 98mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14796  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 28181  Itvcitv 28187  LineGclng 28188  hlGchlg 28354  cgrAccgra 28561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-s2 14802  df-s3 14803  df-trkgc 28202  df-trkgb 28203  df-trkgcb 28204  df-trkg 28207  df-cgrg 28265  df-leg 28337  df-hlg 28355  df-cgra 28562
This theorem is referenced by:  cgrancol  28583  tgasa1  28612
  Copyright terms: Public domain W3C validator