MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracol 28551
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m = (dist‘𝐺)
cgracol.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (𝜑𝐴𝑃)
cgracol.b (𝜑𝐵𝑃)
cgracol.c (𝜑𝐶𝑃)
cgracol.d (𝜑𝐷𝑃)
cgracol.e (𝜑𝐸𝑃)
cgracol.f (𝜑𝐹𝑃)
cgracol.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgracol.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
cgracol.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cgracol (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 = (dist‘𝐺)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐵𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝑃)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐸𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑃)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 28536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
2221necomd 2988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐵)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 28535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2810adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 28211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
3231orcd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3323, 25, 323jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
3422adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
3524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
398adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 28211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
4241olcd 871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
4334, 35, 423jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
4433, 43jaodan 954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 28325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4744, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 28327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 28550 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 28325 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1141 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐸𝑃)
5512adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷𝑃)
5616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐹𝑃)
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 28211 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
6216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹𝑃)
6312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 28211 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 870 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 954 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 870 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1085 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 28545 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 28535 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 28276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 870 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
8114adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
8216adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
836adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
848adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
8510adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
8618adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
87 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 28549 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 28280 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 2937 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9291orcomd 868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9392ord 861 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 28276 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
9694, 95mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
97 df-3or 1085 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9896, 97sylib 217 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9978, 89, 98mpjaodan 955 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  ⟨“cs3 14791  Basecbs 17145  distcds 17207  TarskiGcstrkg 28150  Itvcitv 28156  LineGclng 28157  hlGchlg 28323  cgrAccgra 28530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-s1 14544  df-s2 14797  df-s3 14798  df-trkgc 28171  df-trkgb 28172  df-trkgcb 28173  df-trkg 28176  df-cgrg 28234  df-leg 28306  df-hlg 28324  df-cgra 28531
This theorem is referenced by:  cgrancol  28552  tgasa1  28581
  Copyright terms: Public domain W3C validator