MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracol 28836
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m = (dist‘𝐺)
cgracol.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (𝜑𝐴𝑃)
cgracol.b (𝜑𝐵𝑃)
cgracol.c (𝜑𝐶𝑃)
cgracol.d (𝜑𝐷𝑃)
cgracol.e (𝜑𝐸𝑃)
cgracol.f (𝜑𝐹𝑃)
cgracol.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgracol.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
cgracol.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cgracol (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 = (dist‘𝐺)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐵𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝑃)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐸𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑃)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 28821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐶)
2221necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐵)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 28820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2810adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
3231orcd 874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3323, 25, 323jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
3422adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝐵)
3524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
398adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
4241olcd 875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
4334, 35, 423jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
4433, 43jaodan 960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 28610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
4744, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 28612 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 28835 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 28610 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1145 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐸𝑃)
5512adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷𝑃)
5616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐹𝑃)
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 28496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
6216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹𝑃)
6312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 28496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 874 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 960 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 874 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1088 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 28830 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 28820 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 28561 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 874 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
8114adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
8216adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
836adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
848adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
8510adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
8618adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
87 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 28834 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 28565 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 2945 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9291orcomd 872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9392ord 865 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 28561 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
9694, 95mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
97 df-3or 1088 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9896, 97sylib 218 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9978, 89, 98mpjaodan 961 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608  cgrAccgra 28815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-hlg 28609  df-cgra 28816
This theorem is referenced by:  cgrancol  28837  tgasa1  28866
  Copyright terms: Public domain W3C validator