MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracol 27812
Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgracol.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
cgracol.2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cgracol (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgracol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 cgracol.m . . . . . . . . . 10 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 cgracol.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgracol.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 cgracol.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 cgracol.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
16 cgracol.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
18 cgracol.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
211, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane2 27797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2221necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
241, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgrane1 27796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
264adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2810adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
298adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
311, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30tgbtwncom 27472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
3231orcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
3323, 25, 323jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
3422adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
3524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
364adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3710adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
386adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
398adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
411, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40tgbtwncom 27472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
4241olcd 873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
4334, 35, 423jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
4433, 43jaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
451, 2, 20, 10, 6, 8, 4ishlg 27586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
4744, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐢((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐴)
481, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47hlcomd 27588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐴((hlGβ€˜πΊ)β€˜π΅)𝐢)
491, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48cgrahl 27811 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
501, 2, 20, 13, 17, 15, 5ishlg 27586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))))
5251simp3d 1145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)))
534adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5414adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
5512adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
5616adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
57 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
581, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57tgbtwncom 27472 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
5958olcd 873 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
604adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6114adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6216adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
64 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
651, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64tgbtwncom 27472 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
6665orcd 872 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6759, 66jaodan 957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6852, 67syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)))
6968orcd 872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
70 df-3or 1089 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸)) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
7169, 70sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
72 cgracol.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
731, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18cgracom 27806 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
741, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73cgrane1 27796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
751, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16tgellng 27537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7675adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ↔ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))))
7771, 76mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
7877orcd 872 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
794adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8012adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8114adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
8216adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
836adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
848adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
8510adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8618adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
87 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
881, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87cgrabtwn 27810 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
891, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88btwncolg3 27541 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
9024neneqd 2949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
91 cgracol.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
9291orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9392ord 863 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
9490, 93mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
951, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10tgellng 27537 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
9694, 95mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
97 df-3or 1089 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9896, 97sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9978, 89, 98mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  hlGchlg 27584  cgrAccgra 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-cgra 27792
This theorem is referenced by:  cgrancol  27813  tgasa1  27842
  Copyright terms: Public domain W3C validator