Theorem tgidinside 29040

Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgidinside.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
tgidinside.3	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
tgidinside	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
10		tgidinside.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
13	12	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 28934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		tgidinside.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15	tgcgreq 28950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
21	15, 20	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
25		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
28		lnxfr.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
29	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		lnxfr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
33	1, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10	btwncolg3 29026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
35	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
36		tgidinside.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
38	1, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37	lnid 29039	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
39	21, 38	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  LineGclng 28902  cgrGccgrg 28979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921  df-cgrg 28980

This theorem is used by:  miduniq  29163  ragflat2  29184