Theorem tgidinside 29016

Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgidinside.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
tgidinside.3	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
tgidinside	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
10		tgidinside.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
13	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 28910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		tgidinside.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15	tgcgreq 28926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
21	15, 20	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
25		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
28		lnxfr.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
29	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		lnxfr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
33	1, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10	btwncolg3 29002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
35	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
36		tgidinside.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
38	1, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37	lnid 29015	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
39	21, 38	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  distcds 17417  TarskiGcstrkg 28871  Itvcitv 28877  LineGclng 28878  cgrGccgrg 28955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-trkgc 28892  df-trkgb 28893  df-trkgcb 28894  df-trkg 28897  df-cgrg 28956

This theorem is used by:  miduniq  29139  ragflat2  29160