MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidinside Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgidinside 25890
Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgidinside.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
tgidinside.3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
Assertion
Ref Expression
tgidinside (𝜑𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍𝑃)
10 tgidinside.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
1110adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
1312oveq2d 6926 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
1411, 13eleqtrrd 2909 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 25785 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1716adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐴𝑃)
18 tgidinside.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
1918adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15tgcgreq 25801 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
2115, 20eqtr3d 2863 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
234adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑃)
25 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2625adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌𝑃)
278adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍𝑃)
28 lnxfr.r . . 3 = (cgrG‘𝐺)
2916adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑃)
30 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐵𝑃)
32 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
331, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10btwncolg3 25876 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3433adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3518adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
36 tgidinside.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
3736adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
381, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37lnid 25889 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
3921, 38pm2.61dane 3086 1 (𝜑𝑍 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  distcds 16321  TarskiGcstrkg 25749  Itvcitv 25755  LineGclng 25756  cgrGccgrg 25829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-concat 13638  df-s1 13663  df-s2 13976  df-s3 13977  df-trkgc 25767  df-trkgb 25768  df-trkgcb 25769  df-trkg 25772  df-cgrg 25830
This theorem is referenced by:  miduniq  26004  ragflat2  26022
  Copyright terms: Public domain W3C validator