MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidinside Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgidinside 26361
Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgidinside.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
tgidinside.3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
Assertion
Ref Expression
tgidinside (𝜑𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍𝑃)
10 tgidinside.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
1312oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
1411, 13eleqtrrd 2919 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 26256 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐴𝑃)
18 tgidinside.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15tgcgreq 26272 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
2115, 20eqtr3d 2861 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
234adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑃)
25 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2625adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌𝑃)
278adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍𝑃)
28 lnxfr.r . . 3 = (cgrG‘𝐺)
2916adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑃)
30 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐵𝑃)
32 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
331, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10btwncolg3 26347 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3433adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3518adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
36 tgidinside.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
3736adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
381, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37lnid 26360 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
3921, 38pm2.61dane 3101 1 (𝜑𝑍 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  distcds 16570  TarskiGcstrkg 26220  Itvcitv 26226  LineGclng 26227  cgrGccgrg 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-xnn0 11961  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13919  df-s1 13946  df-s2 14206  df-s3 14207  df-trkgc 26238  df-trkgb 26239  df-trkgcb 26240  df-trkg 26243  df-cgrg 26301
This theorem is referenced by:  miduniq  26475  ragflat2  26493
  Copyright terms: Public domain W3C validator