Theorem tgidinside 26365

Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgidinside.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
tgidinside.3	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
tgidinside	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
10		tgidinside.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
13	12	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 26260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		tgidinside.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15	tgcgreq 26276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
21	15, 20	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
23	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
25		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
28		lnxfr.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
29	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		lnxfr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
33	1, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10	btwncolg3 26351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
35	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
36		tgidinside.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
37	36	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
38	1, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37	lnid 26364	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
39	21, 38	pm2.61dane 3074	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  cgrGccgrg 26304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305

This theorem is referenced by:  miduniq  26479  ragflat2  26497