Theorem tgidinside 28090

Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgidinside.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
tgidinside.3	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
tgidinside	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
10		tgidinside.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
13	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
14	11, 13	eleqtrrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 27985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		tgidinside.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15	tgcgreq 28001	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
21	15, 20	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
23	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
25		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
28		lnxfr.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
29	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		lnxfr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
33	1, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10	btwncolg3 28076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
35	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
36		tgidinside.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
38	1, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37	lnid 28089	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
39	21, 38	pm2.61dane 3028	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  Itvcitv 27952  LineGclng 27953  cgrGccgrg 28029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkg 27972  df-cgrg 28030

This theorem is referenced by:  miduniq  28204  ragflat2  28222