MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidinside Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgidinside 25680
Description: Law for finding a point inside a segment. Theorem 4.19 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgidinside.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
tgidinside.2 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
tgidinside.3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
Assertion
Ref Expression
tgidinside (𝜑𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem tgidinside
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
98adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍𝑃)
10 tgidinside.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
1110adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
1312oveq2d 6807 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑋) = (𝑋𝐼𝑌))
1411, 13eleqtrrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 25579 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑍)
16 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1716adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝐴𝑃)
18 tgidinside.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
1918adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 7, 17, 19, 15tgcgreq 25591 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝐴)
2115, 20eqtr3d 2807 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
22 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
234adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑃)
25 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2625adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌𝑃)
278adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍𝑃)
28 lnxfr.r . . 3 = (cgrG‘𝐺)
2916adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑃)
30 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐵𝑃)
32 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
331, 22, 3, 4, 6, 8, 25, 10btwncolg3 25666 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3433adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
3518adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
36 tgidinside.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
3736adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
381, 22, 3, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 2, 32, 34, 35, 37lnid 25679 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑍 = 𝐴)
3921, 38pm2.61dane 3030 1 (𝜑𝑍 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  distcds 16151  TarskiGcstrkg 25543  Itvcitv 25549  LineGclng 25550  cgrGccgrg 25619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-concat 13490  df-s1 13491  df-s2 13795  df-s3 13796  df-trkgc 25561  df-trkgb 25562  df-trkgcb 25563  df-trkg 25566  df-cgrg 25620
This theorem is referenced by:  miduniq  25794  ragflat2  25812
  Copyright terms: Public domain W3C validator