Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconnln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconnln2 26384
 Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconnln1.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconnln1.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconnln2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwnconnln1.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
8 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
12 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg2 26359 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
144adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
168adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
1710adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
18 eqid 2824 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
201, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19tgbtwncom 26291 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
211, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20btwncolg3 26360 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 tgbtwnconn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
23 tgbtwnconnln1.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
24 tgbtwnconnln1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25 tgbtwnconnln1.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
261, 3, 4, 22, 10, 6, 8, 23, 24, 25tgbtwnconn2 26379 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
2713, 21, 26mpjaodan 956 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  distcds 16576  TarskiGcstrkg 26233  Itvcitv 26239  LineGclng 26240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-hash 13698  df-word 13869  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-trkgc 26251  df-trkgb 26252  df-trkgcb 26253  df-trkg 26256  df-cgrg 26314 This theorem is referenced by:  tglineeltr  26434
 Copyright terms: Public domain W3C validator