MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconnln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconnln2 26059
Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconnln1.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconnln1.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconnln2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwnconnln1.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
8 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
12 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg2 26034 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
144adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
168adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
1710adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
18 eqid 2772 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
201, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19tgbtwncom 25966 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
211, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20btwncolg3 26035 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 tgbtwnconn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
23 tgbtwnconnln1.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
24 tgbtwnconnln1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25 tgbtwnconnln1.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
261, 3, 4, 22, 10, 6, 8, 23, 24, 25tgbtwnconn2 26054 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
2713, 21, 26mpjaodan 941 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  distcds 16420  TarskiGcstrkg 25908  Itvcitv 25914  LineGclng 25915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-dju 9116  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-concat 13724  df-s1 13749  df-s2 14062  df-s3 14063  df-trkgc 25926  df-trkgb 25927  df-trkgcb 25928  df-trkg 25931  df-cgrg 25989
This theorem is referenced by:  tglineeltr  26109
  Copyright terms: Public domain W3C validator