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Theorem hypcgrlem1 28050
Description: Lemma for hypcgr 28052, case where triangles share a cathetus. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hypcgr.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hypcgr.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hypcgr.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
hypcgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hypcgr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
hypcgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hypcgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hypcgr.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
hypcgr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
hypcgr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
hypcgr.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
hypcgrlem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
hypcgrlem1.s 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
hypcgrlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐢 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem1
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hypcgr.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hypcgr.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 hypcgr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 hypcgr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 hypcgr.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
16 hypcgr.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
17 hypcgr.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
181, 2, 3, 14, 15, 4, 8, 16, 6, 17ragcom 27949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
191, 2, 3, 14, 15, 4, 6, 16, 8israg 27948 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄))))
2018, 19mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
2120adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
22 hypcgrlem1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 = 𝐹)
2322eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐢)
2423adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐹 = 𝐢)
25 hypcgr.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
261, 2, 3, 4, 25, 8, 12, 15, 16ismidb 28029 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡))
2726biimpar 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄))
2824, 27oveq12d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
2921, 28eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
301, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29tgcgrcomlr 27731 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
31 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐴 = 𝐷)
3222ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐢 = 𝐹)
3331, 32oveq12d 7427 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
3417ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
354ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
368ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3716ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
386ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
391, 2, 3, 14, 15, 35, 36, 37, 38israg 27948 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
4034, 39mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
4125ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
42 hypcgrlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
4312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
441, 2, 3, 35, 41, 36, 43midcl 28028 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ 𝑃)
45 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡)
461, 3, 14, 35, 44, 37, 45tgelrnln 27881 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
47 eqid 2733 . . . . . . 7 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
48 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
491, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 47, 38mircl 27912 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
50 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
511, 2, 3, 35, 41, 36, 43midbtwn 28030 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐴𝐼𝐷))
521, 14, 3, 35, 36, 44, 43, 51btwncolg3 27808 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 ∈ (𝐴(LineGβ€˜πΊ)(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) ∨ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
53 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐷)
54 hypcgrlem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
5553, 54, 22s3eqd 14815 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
57 hypcgr.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
5956, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
601, 2, 3, 14, 15, 35, 43, 37, 38israg 27948 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
6159, 60mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
621, 14, 3, 35, 36, 43, 44, 48, 38, 49, 2, 50, 52, 40, 61lncgr 27820 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ 𝐢) = ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
631, 2, 3, 14, 15, 35, 44, 37, 38israg 27948 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œ(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ 𝐢) = ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
6462, 63mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œ(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
651, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx1 27884 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
661, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx2 27885 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
671, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 44, 47, 64, 65, 66, 38, 45lmimid 28045 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))
6867oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
6940, 68eqtr4d 2776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)))
701, 2, 3, 35, 41, 43, 36midcom 28033 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
7170, 65eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
7250necomd 2997 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
731, 3, 14, 35, 43, 36, 72tgelrnln 27881 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
741, 2, 3, 35, 36, 44, 43, 51tgbtwncom 27739 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐷𝐼𝐴))
751, 3, 14, 35, 43, 36, 44, 72, 74btwnlng1 27870 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
7665, 75elind 4195 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∩ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴)))
771, 3, 14, 35, 43, 36, 72tglinerflx2 27885 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
7845necomd 2997 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
794ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
808ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8225ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
8483eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐴)
851, 2, 3, 79, 82, 80, 81, 84midcgr 28031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
8685eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
871, 2, 3, 79, 80, 81, 80, 86axtgcgrid 27714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 = 𝐷)
8887ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐴 = 𝐷))
8988necon3d 2962 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐷 β†’ 𝐴 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
9089imp 408 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
91 hypcgr.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
92 hypcgr.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
931, 2, 3, 4, 8, 16, 12, 91, 92tgcgrcomlr 27731 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
9454oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
9593, 94eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
97 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
981, 2, 3, 35, 41, 36, 43, 15, 44ismidb 28029 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
9997, 98mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄))
10099oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄)))
10196, 100eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄)))
1021, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 44, 36israg 27948 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ΅(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄))))
103101, 102mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ΅(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1041, 2, 3, 14, 35, 46, 73, 76, 66, 77, 78, 90, 103ragperp 27968 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
105104orcd 872 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))
1061, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 36islmib 28038 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 = (π‘†β€˜π·) ↔ ((𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∧ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))))
10771, 105, 106mpbir2and 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜π·))
108107oveq1d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)))
1091, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 38lmiiso 28048 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
11022oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
111110ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
112108, 109, 1113eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11369, 112eqtrd 2773 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11433, 113pm2.61dane 3030 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11530, 114pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2c2 12267  βŸ¨β€œcs3 14793  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27682  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  cgrGccgrg 27761  pInvGcmir 27903  βˆŸGcrag 27944  βŸ‚Gcperpg 27946  midGcmid 28023  lInvGclmi 28024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkgld 27703  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947  df-mid 28025  df-lmi 28026
This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  28051
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