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Theorem hypcgrlem1 28317
Description: Lemma for hypcgr 28319, case where triangles share a cathetus. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hypcgr.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hypcgr.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hypcgr.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
hypcgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hypcgr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
hypcgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hypcgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hypcgr.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
hypcgr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
hypcgr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
hypcgr.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
hypcgrlem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
hypcgrlem1.s 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
hypcgrlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐢 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem1
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hypcgr.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hypcgr.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 hypcgr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 hypcgr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 hypcgr.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 eqid 2730 . . . . . . 7 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
15 eqid 2730 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
16 hypcgr.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
17 hypcgr.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
181, 2, 3, 14, 15, 4, 8, 16, 6, 17ragcom 28216 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
191, 2, 3, 14, 15, 4, 6, 16, 8israg 28215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄))))
2018, 19mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
2120adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
22 hypcgrlem1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 = 𝐹)
2322eqcomd 2736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐢)
2423adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐹 = 𝐢)
25 hypcgr.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
261, 2, 3, 4, 25, 8, 12, 15, 16ismidb 28296 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡))
2726biimpar 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄))
2824, 27oveq12d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π΄)))
2921, 28eqtr4d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
301, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29tgcgrcomlr 27998 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
31 simpr 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐴 = 𝐷)
3222ad2antrr 722 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ 𝐢 = 𝐹)
3331, 32oveq12d 7429 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
3417ad2antrr 722 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
354ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
368ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3716ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
386ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
391, 2, 3, 14, 15, 35, 36, 37, 38israg 28215 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
4034, 39mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
4125ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
42 hypcgrlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
4312ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
441, 2, 3, 35, 41, 36, 43midcl 28295 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ 𝑃)
45 simplr 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡)
461, 3, 14, 35, 44, 37, 45tgelrnln 28148 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
47 eqid 2730 . . . . . . 7 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
48 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
491, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 47, 38mircl 28179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
50 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
511, 2, 3, 35, 41, 36, 43midbtwn 28297 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐴𝐼𝐷))
521, 14, 3, 35, 36, 44, 43, 51btwncolg3 28075 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 ∈ (𝐴(LineGβ€˜πΊ)(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) ∨ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
53 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐷)
54 hypcgrlem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
5553, 54, 22s3eqd 14819 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
5655ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
57 hypcgr.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
5857ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
5956, 58eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
601, 2, 3, 14, 15, 35, 43, 37, 38israg 28215 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ·π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
6159, 60mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
621, 14, 3, 35, 36, 43, 44, 48, 38, 49, 2, 50, 52, 40, 61lncgr 28087 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ 𝐢) = ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
631, 2, 3, 14, 15, 35, 44, 37, 38israg 28215 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œ(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ 𝐢) = ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))))
6462, 63mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œ(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
651, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx1 28151 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
661, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx2 28152 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
671, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 44, 47, 64, 65, 66, 38, 45lmimid 28312 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))
6867oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐴 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ)))
6940, 68eqtr4d 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)))
701, 2, 3, 35, 41, 43, 36midcom 28300 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
7170, 65eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
7250necomd 2994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
731, 3, 14, 35, 43, 36, 72tgelrnln 28148 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
741, 2, 3, 35, 36, 44, 43, 51tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐷𝐼𝐴))
751, 3, 14, 35, 43, 36, 44, 72, 74btwnlng1 28137 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
7665, 75elind 4193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) ∈ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∩ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴)))
771, 3, 14, 35, 43, 36, 72tglinerflx2 28152 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
7845necomd 2994 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐡 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
794ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
808ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8112ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8225ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
83 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
8483eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = 𝐴)
851, 2, 3, 79, 82, 80, 81, 84midcgr 28298 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
8685eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
871, 2, 3, 79, 80, 81, 80, 86axtgcgrid 27981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)) β†’ 𝐴 = 𝐷)
8887ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐴 = 𝐷))
8988necon3d 2959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐷 β†’ 𝐴 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
9089imp 405 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 β‰  (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
91 hypcgr.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
92 hypcgr.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
931, 2, 3, 4, 8, 16, 12, 91, 92tgcgrcomlr 27998 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
9454oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
9593, 94eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
9695ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
97 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))
981, 2, 3, 35, 41, 36, 43, 15, 44ismidb 28296 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)))
9997, 98mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄))
10099oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄)))
10196, 100eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄)))
1021, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 44, 36israg 28215 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπ΅(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷))β€˜π΄))))
103101, 102mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ΅(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)π΄β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1041, 2, 3, 14, 35, 46, 73, 76, 66, 77, 78, 90, 103ragperp 28235 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
105104orcd 869 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))
1061, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 36islmib 28305 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 = (π‘†β€˜π·) ↔ ((𝐷(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∧ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐷(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))))
10771, 105, 106mpbir2and 709 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜π·))
108107oveq1d 7426 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)))
1091, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 38lmiiso 28315 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
11022oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
111110ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
112108, 109, 1113eqtrd 2774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘†β€˜πΆ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11369, 112eqtrd 2770 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) ∧ 𝐴 β‰  𝐷) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11433, 113pm2.61dane 3027 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
11530, 114pm2.61dane 3027 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  2c2 12271  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27949  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  cgrGccgrg 28028  pInvGcmir 28170  βˆŸGcrag 28211  βŸ‚Gcperpg 28213  midGcmid 28290  lInvGclmi 28291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkgld 27970  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-leg 28101  df-mir 28171  df-rag 28212  df-perpg 28214  df-mid 28292  df-lmi 28293
This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  28318
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