Theorem legtrd 29067

Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtrd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
legtrd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
legtrd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtrd.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
legtrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem legtrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12		legtrd.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
15		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
16		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
17	16	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
18	1, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17	btwncolg3 29035	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19	lnext 29045	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
21	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		legtrd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
26	25	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
27	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
31	1, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30	cgr3swap23 29002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
32	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
33	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32	tgbtwnxfr 29008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
35	34	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
36	1, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35	tgbtwnexch 28976	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
38	37	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
39	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31	cgr3simp1 28998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐸 − 𝑧))
40	38, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))
41	36, 40	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
43	42	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
44	20, 43	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
45		legtrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))
46		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
47	1, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25	legov 29063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))))
48	45, 47	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
49	48	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
50	44, 49	r19.29a 3174	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
51		legtrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
52		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		legid.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8	legov 29063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
55	51, 54	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
56	50, 55	r19.29a 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
57	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25	legov 29063	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
58	56, 57	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ⟨“cs3 15007  Basecbs 17402  distcds 17452  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  LineGclng 28911  cgrGccgrg 28988  ≤Gcleg 29060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930  df-cgrg 28989  df-leg 29061

This theorem is used by:  legso  29077