MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrd 28413
Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtrd.e (𝜑𝐸𝑃)
legtrd.f (𝜑𝐹𝑃)
legtrd.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtrd.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
legtrd (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
76ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐶𝑃)
8 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
98ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐷𝑃)
10 simp-4r 782 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥𝑃)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12 legtrd.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑃)
1312ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐸𝑃)
14 simplr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑦𝑃)
15 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
16 simpllr 774 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
1716simpld 493 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 28381 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19 simprr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 28391 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
215ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2213ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸𝑃)
23 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧𝑃)
24 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦𝑃)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
2625ad6antr 734 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹𝑃)
277ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶𝑃)
2810ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥𝑃)
299ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷𝑃)
30 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 28348 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
3217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 28354 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
3534simpld 493 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 28322 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37 simp-5r 784 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
3837simprd 494 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 28344 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 𝑥) = (𝐸 𝑧))
4038, 39eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))
4136, 40jca 510 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
4241ex 411 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4342reximdva 3165 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4420, 43mpd 15 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
45 legtrd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
46 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 28409 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))))
4845, 47mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
4948ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
5044, 49r19.29a 3159 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
51 legtrd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
52 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
53 legid.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 28409 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
5551, 54mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
5650, 55r19.29a 3159 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 28409 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
5856, 57mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  ⟨“cs3 14833  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGcstrkg 28251  Itvcitv 28257  LineGclng 28258  cgrGccgrg 28334  ≤Gcleg 28406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-trkgc 28272  df-trkgb 28273  df-trkgcb 28274  df-trkg 28277  df-cgrg 28335  df-leg 28407
This theorem is referenced by:  legso  28423
  Copyright terms: Public domain W3C validator