Theorem legtrd 28413

Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtrd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
legtrd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
legtrd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtrd.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
legtrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem legtrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simp-4r 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
11		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12		legtrd.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
15		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
16		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
17	16	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
18	1, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17	btwncolg3 28381	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19	lnext 28391	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
21	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		legtrd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
26	25	ad6antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
27	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
31	1, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30	cgr3swap23 28348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
32	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
33	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32	tgbtwnxfr 28354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
35	34	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
36	1, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35	tgbtwnexch 28322	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37		simp-5r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
38	37	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
39	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31	cgr3simp1 28344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐸 − 𝑧))
40	38, 39	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))
41	36, 40	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
42	41	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
43	42	reximdva 3165	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
44	20, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
45		legtrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))
46		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
47	1, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25	legov 28409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))))
48	45, 47	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
49	48	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
50	44, 49	r19.29a 3159	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
51		legtrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
52		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		legid.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8	legov 28409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
55	51, 54	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
56	50, 55	r19.29a 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
57	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25	legov 28409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
58	56, 57	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ⟨“cs3 14833  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGcstrkg 28251  Itvcitv 28257  LineGclng 28258  cgrGccgrg 28334  ≤Gcleg 28406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-trkgc 28272  df-trkgb 28273  df-trkgcb 28274  df-trkg 28277  df-cgrg 28335  df-leg 28407

This theorem is referenced by:  legso  28423