Theorem legtrd 26950

Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtrd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
legtrd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
legtrd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtrd.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
legtrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem legtrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simp-4r 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12		legtrd.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
15		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
16		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
17	16	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
18	1, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17	btwncolg3 26918	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19	lnext 26928	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
21	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24		simp-4r 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		legtrd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
26	25	ad6antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
27	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	10	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
31	1, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30	cgr3swap23 26885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
32	17	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
33	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32	tgbtwnxfr 26891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
35	34	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
36	1, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35	tgbtwnexch 26859	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37		simp-5r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
38	37	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
39	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31	cgr3simp1 26881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐸 − 𝑧))
40	38, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))
41	36, 40	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
42	41	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
43	42	reximdva 3203	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
44	20, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
45		legtrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))
46		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
47	1, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25	legov 26946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))))
48	45, 47	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
49	48	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
50	44, 49	r19.29a 3218	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
51		legtrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
52		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		legid.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8	legov 26946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
55	51, 54	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
56	50, 55	r19.29a 3218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
57	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25	legov 26946	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
58	56, 57	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  cgrGccgrg 26871  ≤Gcleg 26943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944

This theorem is referenced by:  legso  26960