MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrd 26367
Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtrd.e (𝜑𝐸𝑃)
legtrd.f (𝜑𝐹𝑃)
legtrd.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtrd.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
legtrd (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2819 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
76ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐶𝑃)
8 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
98ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐷𝑃)
10 simp-4r 782 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥𝑃)
11 eqid 2819 . . . . . 6 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12 legtrd.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑃)
1312ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐸𝑃)
14 simplr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑦𝑃)
15 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
16 simpllr 774 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
1716simpld 497 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 26335 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19 simprr 771 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 26345 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
215ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2213ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸𝑃)
23 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧𝑃)
24 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦𝑃)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
2625ad6antr 734 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹𝑃)
277ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶𝑃)
2810ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥𝑃)
299ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷𝑃)
30 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 26302 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
3217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 26308 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
3534simpld 497 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 26276 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37 simp-5r 784 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
3837simprd 498 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 26298 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 𝑥) = (𝐸 𝑧))
4038, 39eqtrd 2854 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))
4136, 40jca 514 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
4241ex 415 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4342reximdva 3272 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4420, 43mpd 15 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
45 legtrd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
46 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 26363 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))))
4845, 47mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
4948ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
5044, 49r19.29a 3287 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
51 legtrd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
52 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
53 legid.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 26363 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
5551, 54mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
5650, 55r19.29a 3287 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 26363 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
5856, 57mpbird 259 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  ⟨“cs3 14196  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214  LineGclng 26215  cgrGccgrg 26288  ≤Gcleg 26360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-trkgc 26226  df-trkgb 26227  df-trkgcb 26228  df-trkg 26231  df-cgrg 26289  df-leg 26361
This theorem is referenced by:  legso  26377
  Copyright terms: Public domain W3C validator