Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrd 25902
 Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtrd.e (𝜑𝐸𝑃)
legtrd.f (𝜑𝐹𝑃)
legtrd.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtrd.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
legtrd (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2826 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 726 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
76ad4antr 726 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐶𝑃)
8 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
98ad4antr 726 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐷𝑃)
10 simp-4r 805 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥𝑃)
11 eqid 2826 . . . . . 6 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12 legtrd.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑃)
1312ad4antr 726 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐸𝑃)
14 simplr 787 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑦𝑃)
15 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
16 simpllr 795 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
1716simpld 490 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 25870 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19 simprr 791 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 25880 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
215ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2213ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸𝑃)
23 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧𝑃)
24 simp-4r 805 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦𝑃)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
2625ad6antr 734 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹𝑃)
277ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶𝑃)
2810ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥𝑃)
299ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷𝑃)
30 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 25837 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
3217ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 25843 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
3534simpld 490 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 25811 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37 simp-5r 809 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
3837simprd 491 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 25833 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 𝑥) = (𝐸 𝑧))
4038, 39eqtrd 2862 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))
4136, 40jca 509 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
4241ex 403 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4342reximdva 3226 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4420, 43mpd 15 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
45 legtrd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
46 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 25898 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))))
4845, 47mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
4948ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
5044, 49r19.29a 3289 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
51 legtrd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
52 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
53 legid.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 25898 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
5551, 54mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
5650, 55r19.29a 3289 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 25898 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
5856, 57mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3119   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ⟨“cs3 13964  Basecbs 16223  distcds 16315  TarskiGcstrkg 25743  Itvcitv 25749  LineGclng 25750  cgrGccgrg 25823  ≤Gcleg 25895 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971  df-trkgc 25761  df-trkgb 25762  df-trkgcb 25763  df-trkg 25766  df-cgrg 25824  df-leg 25896 This theorem is referenced by:  legso  25912
 Copyright terms: Public domain W3C validator