Theorem legtrd 28569

Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtrd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
legtrd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
legtrd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtrd.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
legtrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem legtrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12		legtrd.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
15		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
16		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
17	16	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
18	1, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17	btwncolg3 28537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19	lnext 28547	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
21	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		legtrd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
26	25	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
27	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
31	1, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30	cgr3swap23 28504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
32	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
33	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32	tgbtwnxfr 28510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
35	34	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
36	1, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35	tgbtwnexch 28478	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
38	37	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
39	1, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31	cgr3simp1 28500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐸 − 𝑧))
40	38, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))
41	36, 40	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
43	42	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
44	20, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
45		legtrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹))
46		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
47	1, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25	legov 28565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦))))
48	45, 47	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
49	48	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝑦)))
50	44, 49	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
51		legtrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
52		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		legid.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8	legov 28565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
55	51, 54	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
56	50, 55	r19.29a 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧)))
57	1, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25	legov 28565	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑧))))
58	56, 57	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ⟨“cs3 14784  Basecbs 17155  distcds 17205  TarskiGcstrkg 28407  Itvcitv 28413  LineGclng 28414  cgrGccgrg 28490  ≤Gcleg 28562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-trkgc 28428  df-trkgb 28429  df-trkgcb 28430  df-trkg 28433  df-cgrg 28491  df-leg 28563

This theorem is referenced by:  legso  28579