MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  krippenlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem krippenlem 28208
Description: Lemma for krippen 28209. We can assume krippen.7 "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
krippen.m 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
krippen.n 𝑁 = (π‘†β€˜π‘Œ)
krippen.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
krippen.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
krippen.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
krippen.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
krippen.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
krippen.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
krippen.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
krippen.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
krippen.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐹))
krippen.3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
krippen.4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
krippen.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
krippen.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘β€˜πΈ))
krippen.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
krippen.7 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
krippenlem (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
21adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
3 mirval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 mirval.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
5 mirval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 mirval.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 krippen.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 krippen.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12 krippen.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
14 krippen.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
16 krippen.l . . . . . . . 8 ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
17 krippen.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐸))
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐸))
19 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐸 = 𝐢)
2019oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
2118, 20breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐢))
223, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21legeq 28111 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 = 𝐴)
233, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22tgcgreq 28000 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 = 𝐡)
24 krippen.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
2623, 22, 253eqtr3rd 2779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
27 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
28 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
29 krippen.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
31 krippen.m . . . . . 6 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
323, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11mirinv 28184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 𝐴 ↔ 𝑋 = 𝐴))
3326, 32mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝑋 = 𝐴)
34 krippen.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
36 krippen.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
3837, 20eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
393, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38axtgcgrid 27981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 = 𝐹)
40 krippen.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘β€˜πΈ))
4140adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐹 = (π‘β€˜πΈ))
4219, 39, 413eqtrrd 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (π‘β€˜πΈ) = 𝐸)
43 krippen.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
4443adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
45 krippen.n . . . . . 6 𝑁 = (π‘†β€˜π‘Œ)
46 krippen.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4746adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
483, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47mirinv 28184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ ((π‘β€˜πΈ) = 𝐸 ↔ π‘Œ = 𝐸))
4942, 48mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ π‘Œ = 𝐸)
5033, 49oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = (𝐴𝐼𝐸))
512, 50eleqtrrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
526adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5352ad2antrr 722 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
548adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
55 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘†β€˜πΆ) = (π‘†β€˜πΆ)
563, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55mirf 28178 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (π‘†β€˜πΆ):π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
5743adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5856, 57ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
5958ad2antrr 722 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
60 simplr 765 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
6154ad2antrr 722 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
6257ad2antrr 722 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
63 simprl 767 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢))
643, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43mirbtwn 28176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
6564ad3antrrr 726 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
663, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65tgbtwnexch3 28012 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ (π‘žπΌπ‘Œ))
6729ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
6810adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6968ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7012adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7170ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
72 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘†β€˜π‘ž) = (π‘†β€˜π‘ž)
7346adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
7456, 73ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) ∈ 𝑃)
7534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
7656, 75ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
776ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7810ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7974adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) ∈ 𝑃)
803, 4, 5, 77, 78, 79tgbtwntriv1 28009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
81 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ 𝐴 = 𝐢)
8281oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ (𝐴𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) = (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
8380, 82eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 = 𝐢) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
846ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8510ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8674adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) ∈ 𝑃)
878ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8846ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
89 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
903, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
9190ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
923, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88mirbtwn 28176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)𝐼𝐸))
933, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐸𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
943, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93tgbtwnconn2 28094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) ∨ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
9517adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐸))
963, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73mircgr 28175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) = (𝐢 βˆ’ 𝐸))
9795, 96breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
9897adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
993, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98legbtwn 28112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐴 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
10083, 99pm2.61dane 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
1013, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)𝐼𝐢))
1026ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
10312ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10476adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
1053, 4, 5, 102, 103, 104tgbtwntriv1 28009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
106 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 = 𝐢)
107106oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ (𝐡𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)) = (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
108105, 107eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1096ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
11012ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
11176adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
1128ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11334ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1146adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11646adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
11736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
118 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐹 = 𝐢)
119118oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
120117, 119eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
1213, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120axtgcgrid 27981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐢 = 𝐸)
122121eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐸 = 𝐢)
123122adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐸 = 𝐢)
124 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
125124neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐹 = 𝐢) β†’ Β¬ 𝐸 = 𝐢)
126123, 125pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ Β¬ 𝐹 = 𝐢)
127126neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
129 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐹))
1303, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹𝐼𝐡))
131130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐹𝐼𝐡))
1323, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113mirbtwn 28176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)𝐼𝐹))
1333, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐹𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1343, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133tgbtwnconn2 28094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)) ∨ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) ∈ (𝐢𝐼𝐡)))
13517, 14, 363brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐹))
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐹))
1373, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75mircgr 28175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
138136, 137breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
139138adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1403, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139legbtwn 28112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
141108, 140pm2.61dane 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1423, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)𝐼𝐢))
14336adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
144143, 96, 1373eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) = (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1453, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144tgcgrcomlr 27998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) βˆ’ 𝐢) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) βˆ’ 𝐢))
14614adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
1473, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146tgcgrcomlr 27998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
148 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘†β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)) = (π‘†β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ))
1493, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74mircgr 28175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ))β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ))) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)))
150 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)
151 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)
152 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)
15340adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 = (π‘β€˜πΈ))
15445fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘β€˜πΈ) = ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜πΈ)
155153, 154eqtr2di 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘Œ)β€˜πΈ) = 𝐹)
1563, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155mirauto 28202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ))β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) = ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ))
157156oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ))β€˜((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ))) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
158149, 157eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
1593, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158tgcgrcomlr 27998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ) βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)))
160 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)) = (𝐢 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)))
1613, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160tgifscgr 28026 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)) = (𝐡 βˆ’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)))
1623, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161tgcgrcomlr 27998 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐴) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐡))
163162ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐴) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐡))
16453adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
16559adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
16660adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
16763adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢))
168 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢)
169168oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢))
170167, 169eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)))
1713, 4, 5, 164, 165, 166, 170axtgbtwnid 27984 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = π‘ž)
172171oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐴) = (π‘ž βˆ’ 𝐴))
173171oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐡) = (π‘ž βˆ’ 𝐡))
174163, 172, 1733eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = 𝐢) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝐴) = (π‘ž βˆ’ 𝐡))
17552ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
17658ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
17754ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17860adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
179 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
18068ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
18170ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
182 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢)
18359adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
18463adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢))
1853, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184btwncolg3 28075 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ (𝐢 ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)πΏπ‘ž) ∨ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) = π‘ž))
186162ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐴) = (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) βˆ’ 𝐡))
187146ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
1883, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187lncgr 28087 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) ∧ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) β‰  𝐢) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝐴) = (π‘ž βˆ’ 𝐡))
189174, 188pm2.61dane 3027 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝐴) = (π‘ž βˆ’ 𝐡))
190189eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝐡) = (π‘ž βˆ’ 𝐴))
191 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))
1923, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191tgbtwncom 28006 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘ž ∈ (𝐡𝐼𝐴))
1933, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192ismir 28177 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 = ((π‘†β€˜π‘ž)β€˜π΄))
194193eqcomd 2736 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘ž)β€˜π΄) = 𝐡)
19524ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
19631fveq1i 6891 . . . . . . 7 (π‘€β€˜π΄) = ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π΄)
197195, 196eqtr2di 2787 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)β€˜π΄) = 𝐡)
1983, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197miduniq 28203 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ π‘ž = 𝑋)
199198oveq1d 7426 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ (π‘žπΌπ‘Œ) = (π‘‹πΌπ‘Œ))
20066, 199eleqtrd 2833 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
2013, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73mirbtwn 28176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ π‘Œ ∈ ((π‘β€˜πΈ)𝐼𝐸))
202153oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ (𝐹𝐼𝐸) = ((π‘β€˜πΈ)𝐼𝐸))
203201, 202eleqtrrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (𝐹𝐼𝐸))
2043, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203tgbtwncom 28006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐼𝐹))
2053, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204mirbtwni 28189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ) ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΈ)𝐼((π‘†β€˜πΆ)β€˜πΉ)))
2063, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205tgtrisegint 28017 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑃 (π‘ž ∈ (((π‘†β€˜πΆ)β€˜π‘Œ)𝐼𝐢) ∧ π‘ž ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
207200, 206r19.29a 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐸 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
20851, 207pm2.61dane 3027 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  cgrGccgrg 28028  β‰€Gcleg 28100  pInvGcmir 28170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-leg 28101  df-mir 28171
This theorem is referenced by:  krippen  28209
  Copyright terms: Public domain W3C validator