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Theorem krippenlem 25941
Description: Lemma for krippen 25942. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
krippen.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
krippen.n 𝑁 = (𝑆𝑌)
krippen.a (𝜑𝐴𝑃)
krippen.b (𝜑𝐵𝑃)
krippen.c (𝜑𝐶𝑃)
krippen.e (𝜑𝐸𝑃)
krippen.f (𝜑𝐹𝑃)
krippen.x (𝜑𝑋𝑃)
krippen.y (𝜑𝑌𝑃)
krippen.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
krippen.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
krippen.3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
krippen.4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
krippen.5 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
krippen.6 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
krippen.l = (≤G‘𝐺)
krippen.7 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐸))
Assertion
Ref Expression
krippenlem (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
21adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
3 mirval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 krippen.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
10 krippen.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
12 krippen.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
14 krippen.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
1514adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
16 krippen.l . . . . . . . 8 = (≤G‘𝐺)
17 krippen.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐸))
1817adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐸))
19 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐶)
2019oveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐶))
2118, 20breqtrd 4869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐶))
223, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21legeq 25844 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐴)
233, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22tgcgreq 25733 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
24 krippen.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
2524adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
2623, 22, 253eqtr3rd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
27 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
28 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
29 krippen.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
3029adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝑋𝑃)
31 krippen.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝑋)
323, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11mirinv 25917 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝑋 = 𝐴))
3326, 32mpbid 224 . . . 4 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝑋 = 𝐴)
34 krippen.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑃)
3534adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐹𝑃)
36 krippen.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
3736adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
3837, 20eqtr3d 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝐶 𝐹) = (𝐶 𝐶))
393, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38axtgcgrid 25714 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐹)
40 krippen.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
4140adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
4219, 39, 413eqtrrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝑁𝐸) = 𝐸)
43 krippen.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑃)
4443adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝑌𝑃)
45 krippen.n . . . . . 6 𝑁 = (𝑆𝑌)
46 krippen.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑃)
4746adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐸𝑃)
483, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47mirinv 25917 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → ((𝑁𝐸) = 𝐸𝑌 = 𝐸))
4942, 48mpbid 224 . . . 4 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝑌 = 𝐸)
5033, 49oveq12d 6896 . . 3 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → (𝑋𝐼𝑌) = (𝐴𝐼𝐸))
512, 50eleqtrrd 2881 . 2 ((𝜑𝐸 = 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
526adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5352ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
548adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐶𝑃)
55 eqid 2799 . . . . . . . 8 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
563, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55mirf 25911 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝑆𝐶):𝑃𝑃)
5743adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝑌𝑃)
5856, 57ffvelrnd 6586 . . . . . 6 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ 𝑃)
5958ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ 𝑃)
60 simplr 786 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑞𝑃)
6154ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐶𝑃)
6257ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑌𝑃)
63 simprl 788 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶))
643, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43mirbtwn 25909 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝑌))
6564ad3antrrr 722 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝑌))
663, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65tgbtwnexch3 25745 . . . 4 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝑞𝐼𝑌))
6729ad3antrrr 722 . . . . . 6 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑋𝑃)
6810adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐴𝑃)
6968ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐴𝑃)
7012adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐵𝑃)
7170ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐵𝑃)
72 eqid 2799 . . . . . . . 8 (𝑆𝑞) = (𝑆𝑞)
7346adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐸𝑃)
7456, 73ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐸) ∈ 𝑃)
7534adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐹𝑃)
7656, 75ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐹) ∈ 𝑃)
776ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7810ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
7974adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐸) ∈ 𝑃)
803, 4, 5, 77, 78, 79tgbtwntriv1 25742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
81 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
8281oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)) = (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
8380, 82eleqtrd 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
846ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8510ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
8674adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐸) ∈ 𝑃)
878ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
8846ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐸𝑃)
89 simplr 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐸𝐶)
903, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
9190ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
923, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88mirbtwn 25909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐸)𝐼𝐸))
933, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
943, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93tgbtwnconn2 25827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)) ∨ ((𝑆𝐶)‘𝐸) ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
9517adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐸))
963, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73mircgr 25908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐸)) = (𝐶 𝐸))
9795, 96breqtrrd 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐴) (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐸)))
9897adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐶 𝐴) (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐸)))
993, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98legbtwn 25845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
10083, 99pm2.61dane 3058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐸)))
1013, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐴 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐸)𝐼𝐶))
1026ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10312ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
10476adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐹) ∈ 𝑃)
1053, 4, 5, 102, 103, 104tgbtwntriv1 25742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
106 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
107106oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)) = (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
108105, 107eleqtrd 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1096ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11012ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝑃)
11176adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐹) ∈ 𝑃)
1128ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶𝑃)
11334ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐹𝑃)
1146adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1158adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
11646adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐸𝑃)
11736adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
118 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐹 = 𝐶)
119118oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → (𝐶 𝐹) = (𝐶 𝐶))
120117, 119eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐶))
1213, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120axtgcgrid 25714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐸)
122121eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐹 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐶)
123122adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐹 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐶)
124 simplr 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐹 = 𝐶) → 𝐸𝐶)
125124neneqd 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐹 = 𝐶) → ¬ 𝐸 = 𝐶)
126123, 125pm2.65da 852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐸𝐶) → ¬ 𝐹 = 𝐶)
127126neqned 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐹𝐶)
128127adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐹𝐶)
129 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
1303, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
131130ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
1323, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113mirbtwn 25909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐹)𝐼𝐹))
1333, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1343, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133tgbtwnconn2 25827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)) ∨ ((𝑆𝐶)‘𝐹) ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
13517, 14, 363brtr3d 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶 𝐵) (𝐶 𝐹))
136135adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐵) (𝐶 𝐹))
1373, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75mircgr 25908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐹)) = (𝐶 𝐹))
138136, 137breqtrrd 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐵) (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐹)))
139138adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐶 𝐵) (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1403, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139legbtwn 25845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
141108, 140pm2.61dane 3058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1423, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐹)𝐼𝐶))
14336adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
144143, 96, 1373eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐸)) = (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1453, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐸) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐹) 𝐶))
14614adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
1473, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶))
148 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆‘((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝑆‘((𝑆𝐶)‘𝑌))
1493, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74mircgr 25908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆‘((𝑆𝐶)‘𝑌))‘((𝑆𝐶)‘𝐸))) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆𝐶)‘𝐸)))
150 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝐶)‘𝑌) = ((𝑆𝐶)‘𝑌)
151 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝐶)‘𝐸) = ((𝑆𝐶)‘𝐸)
152 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝐶)‘𝐹) = ((𝑆𝐶)‘𝐹)
15340adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
15445fveq1i 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁𝐸) = ((𝑆𝑌)‘𝐸)
155153, 154syl6req 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆𝑌)‘𝐸) = 𝐹)
1563, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155mirauto 25935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆‘((𝑆𝐶)‘𝑌))‘((𝑆𝐶)‘𝐸)) = ((𝑆𝐶)‘𝐹))
157156oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆‘((𝑆𝐶)‘𝑌))‘((𝑆𝐶)‘𝐸))) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆𝐶)‘𝐹)))
158149, 157eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆𝐶)‘𝐸)) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) ((𝑆𝐶)‘𝐹)))
1593, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐸) ((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (((𝑆𝐶)‘𝐹) ((𝑆𝐶)‘𝑌)))
160 eqidd 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝑌)))
1613, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160tgifscgr 25759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐴 ((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝐵 ((𝑆𝐶)‘𝑌)))
1623, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐸𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐴) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐵))
163162ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐴) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐵))
16453adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16559adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ 𝑃)
16660adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → 𝑞𝑃)
16763adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → 𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶))
168 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶)
169168oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶))
170167, 169eleqtrrd 2881 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → 𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼((𝑆𝐶)‘𝑌)))
1713, 4, 5, 164, 165, 166, 170axtgbtwnid 25717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝑞)
172171oveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐴) = (𝑞 𝐴))
173171oveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐵) = (𝑞 𝐵))
174163, 172, 1733eqtr3d 2841 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝐶) → (𝑞 𝐴) = (𝑞 𝐵))
17552ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17658ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ 𝑃)
17754ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝐶𝑃)
17860adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝑞𝑃)
179 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
18068ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝐴𝑃)
18170ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝐵𝑃)
182 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶)
18359adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ 𝑃)
18463adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → 𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶))
1853, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184btwncolg3 25808 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → (𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐿𝑞) ∨ ((𝑆𝐶)‘𝑌) = 𝑞))
186162ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐴) = (((𝑆𝐶)‘𝑌) 𝐵))
187146ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
1883, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187lncgr 25820 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) ∧ ((𝑆𝐶)‘𝑌) ≠ 𝐶) → (𝑞 𝐴) = (𝑞 𝐵))
189174, 188pm2.61dane 3058 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → (𝑞 𝐴) = (𝑞 𝐵))
190189eqcomd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → (𝑞 𝐵) = (𝑞 𝐴))
191 simprr 790 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
1923, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191tgbtwncom 25739 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
1933, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192ismir 25910 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑞)‘𝐴))
194193eqcomd 2805 . . . . . 6 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → ((𝑆𝑞)‘𝐴) = 𝐵)
19524ad3antrrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
19631fveq1i 6412 . . . . . . 7 (𝑀𝐴) = ((𝑆𝑋)‘𝐴)
197195, 196syl6req 2850 . . . . . 6 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → ((𝑆𝑋)‘𝐴) = 𝐵)
1983, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197miduniq 25936 . . . . 5 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝑞 = 𝑋)
199198oveq1d 6893 . . . 4 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → (𝑞𝐼𝑌) = (𝑋𝐼𝑌))
20066, 199eleqtrd 2880 . . 3 ((((𝜑𝐸𝐶) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2013, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73mirbtwn 25909 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝑌 ∈ ((𝑁𝐸)𝐼𝐸))
202153oveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸𝐶) → (𝐹𝐼𝐸) = ((𝑁𝐸)𝐼𝐸))
203201, 202eleqtrrd 2881 . . . . . 6 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝑌 ∈ (𝐹𝐼𝐸))
2043, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203tgbtwncom 25739 . . . . 5 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
2053, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204mirbtwni 25922 . . . 4 ((𝜑𝐸𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐸)𝐼((𝑆𝐶)‘𝐹)))
2063, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205tgtrisegint 25750 . . 3 ((𝜑𝐸𝐶) → ∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝑌)𝐼𝐶) ∧ 𝑞 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
207200, 206r19.29a 3259 . 2 ((𝜑𝐸𝐶) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20851, 207pm2.61dane 3058 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  distcds 16276  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  LineGclng 25688  cgrGccgrg 25761  ≤Gcleg 25833  pInvGcmir 25903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-cgrg 25762  df-leg 25834  df-mir 25904
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