Theorem legov 29030

Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑧, −   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝐺   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem legov

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	1, 2, 3, 4, 5	legval 29029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))})
7	6	breqd 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} (𝐶 − 𝐷)))
8		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ V
9		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝐶 − 𝐷) ∈ V
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → 𝑓 = (𝐶 − 𝐷))
11	10	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦)))
12		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → 𝑒 = (𝐴 − 𝐵))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (𝑒 = (𝑥 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
15	14	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
16	11, 15	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → ((𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
17	16	2rexbidv 3228	. . . 4 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))}
19	8, 9, 17, 18	braba 5511	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
20	7, 19	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
21		anass 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))))
22	21	anbi1i 636	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃))
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
24	5	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
28		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
31		legov.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	31	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
35		legov.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
36	35	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
39	1, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38	cgr3swap23 28969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑥𝑑”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
40		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
42	1, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41	tgbtwnxfr 28975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
43		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))
44	1, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39	cgr3simp1 28965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑐 − 𝑥) = (𝐶 − 𝑧))
45	43, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
46	42, 45	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
47		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
48		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
49	1, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40	btwncolg3 29002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ (𝑐(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝑐 = 𝑥))
50		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑))
51	50	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝑐 − 𝑑) = (𝐶 − 𝐷))
52	1, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51	lnext 29012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
53	46, 52	reximddv 3179	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
54	53	adantllr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
55	22, 54	sylanbr 594	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
56		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
57		eleq1w 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
58		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑐 − 𝑥) = (𝑐 − 𝑧))
59	58	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
60	57, 59	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))))
61	60	cbvrexvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
62	56, 61	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)))
63	55, 62	r19.29a 3171	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
64	63	adantl3r 763	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
65		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
66		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑑))
67	66	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑)))
68		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑑))
69	68	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑)))
70		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 − 𝑧) = (𝑥 − 𝑧))
71	70	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))
72	69, 71	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
73	72	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
74	67, 73	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
75		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑦))
76	75	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦)))
77		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑥𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑦))
78	77	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
79	78	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
80	79	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
81	76, 80	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
82	74, 81	cbvrex2vw 3246	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
83	65, 82	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))))
84	64, 83	r19.29vva 3223	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
85	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
86	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
87		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
88		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
89		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑦))
90	89	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦)))
91		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑦))
92	91	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦)))
93		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐶 − 𝑧))
94	93	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
95	92, 94	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
96	95	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
97	90, 96	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))))
98		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
99	98	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷)))
100		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝐷))
101	100	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
102	101	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
103	102	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
104	99, 103	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))))
105	97, 104	rspc2ev 3589	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
106	85, 86, 87, 88, 105	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
107	84, 106	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
108	20, 107	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  {copab 5167  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14973  Basecbs 17367  distcds 17417  TarskiGcstrkg 28871  Itvcitv 28877  LineGclng 28878  cgrGccgrg 28955  ≤Gcleg 29027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-trkgc 28892  df-trkgb 28893  df-trkgcb 28894  df-trkg 28897  df-cgrg 28956  df-leg 29028

This theorem is used by:  legov2  29031  legid  29032  btwnleg  29033  legtrd  29034  legtri3  29035  legtrid  29036  leg0  29037  mideulem  29194  opphllem3  29207