Theorem legov 26850

Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑧, −   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝐺   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem legov

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	1, 2, 3, 4, 5	legval 26849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))})
7	6	breqd 5081	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} (𝐶 − 𝐷)))
8		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ V
9		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝐶 − 𝐷) ∈ V
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → 𝑓 = (𝐶 − 𝐷))
11	10	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦)))
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → 𝑒 = (𝐴 − 𝐵))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (𝑒 = (𝑥 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))
14	13	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
15	14	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
16	11, 15	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → ((𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
17	16	2rexbidv 3228	. . . 4 ⊢ ((𝑒 = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 − 𝐷)) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))}
19	8, 9, 17, 18	braba 5443	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑓 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 − 𝑧)))} (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
20	7, 19	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
21		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))))
22	21	anbi1i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃))
23		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
24	5	ad5antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		simp-5r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
28		simpllr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
31		legov.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	31	ad5antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
35		legov.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
36	35	ad5antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
39	1, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38	cgr3swap23 26789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑥𝑑”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
40		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
42	1, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41	tgbtwnxfr 26795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
43		simplrr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))
44	1, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39	cgr3simp1 26785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑐 − 𝑥) = (𝐶 − 𝑧))
45	43, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
46	42, 45	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
47		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
48		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
49	1, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40	btwncolg3 26822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ (𝑐(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝑐 = 𝑥))
50		simpllr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑))
51	50	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → (𝑐 − 𝑑) = (𝐶 − 𝐷))
52	1, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51	lnext 26832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
53	46, 52	reximddv 3203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
54	53	adantllr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
55	22, 54	sylanbr 581	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
56		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
57		eleq1w 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
58		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑐 − 𝑥) = (𝑐 − 𝑧))
59	58	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
60	57, 59	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))))
61	60	cbvrexvw 3373	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))
62	56, 61	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑥)))
63	55, 62	r19.29a 3217	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
64	63	adantl3r 746	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
65		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
66		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑑))
67	66	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑)))
68		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑑))
69	68	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑)))
70		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 − 𝑧) = (𝑥 − 𝑧))
71	70	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))
72	69, 71	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
73	72	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
74	67, 73	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
75		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑦))
76	75	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦)))
77		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑥𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑦))
78	77	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
79	78	anbi1d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
80	79	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
81	76, 80	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))))
82	74, 81	cbvrex2vw 3386	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
83	65, 82	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑐 − 𝑑) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑐 − 𝑧))))
84	64, 83	r19.29vva 3263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
85	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
86	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
87		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
88		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
89		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑦))
90	89	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦)))
91		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑦))
92	91	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦)))
93		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐶 − 𝑧))
94	93	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
95	92, 94	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
96	95	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
97	90, 96	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))))
98		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
99	98	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷)))
100		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝐷))
101	100	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
102	101	anbi1d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
103	102	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
104	99, 103	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ↔ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))))
105	97, 104	rspc2ev 3564	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
106	85, 86, 87, 88, 105	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))))
107	84, 106	impbida 797	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐶 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
108	20, 107	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  {copab 5132  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ⟨“cs3 14483  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  cgrGccgrg 26775  ≤Gcleg 26847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-leg 26848

This theorem is referenced by:  legov2  26851  legid  26852  btwnleg  26853  legtrd  26854  legtri3  26855  legtrid  26856  leg0  26857  mideulem  27001  opphllem3  27014