Theorem tgbtwnconnln1 28673

Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconnln1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconnln1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconnln1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconnln1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	btwncolg2 28649	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
14	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	1, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19	tgbtwncom 28581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
21	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20	btwncolg3 28650	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		tgbtwnconn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23		tgbtwnconnln1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
24		tgbtwnconnln1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25		tgbtwnconnln1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26	1, 3, 4, 10, 22, 6, 8, 23, 24, 25	tgbtwnconn1 28668	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
27	13, 21, 26	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28520  Itvcitv 28526  LineGclng 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-trkgc 28541  df-trkgb 28542  df-trkgcb 28543  df-trkg 28546  df-cgrg 28604

This theorem is referenced by:  tglineeltr  28724