MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconnln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconnln1 25948
Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconnln1.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconnln1.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconnln1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln1
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwnconnln1.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
8 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
10 tgbtwnconn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
12 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg2 25924 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
144adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
168adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
1710adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
18 eqid 2778 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
201, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19tgbtwncom 25856 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
211, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20btwncolg3 25925 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 tgbtwnconn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
23 tgbtwnconnln1.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
24 tgbtwnconnln1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25 tgbtwnconnln1.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
261, 3, 4, 10, 22, 6, 8, 23, 24, 25tgbtwnconn1 25943 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2713, 21, 26mpjaodan 944 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  distcds 16358  TarskiGcstrkg 25798  Itvcitv 25804  LineGclng 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-concat 13667  df-s1 13692  df-s2 14005  df-s3 14006  df-trkgc 25816  df-trkgb 25817  df-trkgcb 25818  df-trkg 25821  df-cgrg 25879
This theorem is referenced by:  tglineeltr  25999
  Copyright terms: Public domain W3C validator