Theorem tgbtwnconnln1 28559

Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconnln1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconnln1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconnln1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconnln1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	btwncolg2 28535	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
14	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	1, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19	tgbtwncom 28467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
21	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20	btwncolg3 28536	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		tgbtwnconn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23		tgbtwnconnln1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
24		tgbtwnconnln1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25		tgbtwnconnln1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26	1, 3, 4, 10, 22, 6, 8, 23, 24, 25	tgbtwnconn1 28554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
27	13, 21, 26	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  distcds 17280  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  LineGclng 28413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-cgrg 28490

This theorem is referenced by:  tglineeltr  28610