Theorem tgbtwnconnln1 28606

Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconnln1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconnln1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconnln1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconnln1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	btwncolg2 28582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
14	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	1, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19	tgbtwncom 28514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
21	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20	btwncolg3 28583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		tgbtwnconn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23		tgbtwnconnln1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
24		tgbtwnconnln1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25		tgbtwnconnln1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26	1, 3, 4, 10, 22, 6, 8, 23, 24, 25	tgbtwnconn1 28601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
27	13, 21, 26	mpjaodan 959	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537

This theorem is referenced by:  tglineeltr  28657