Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0fN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0fN 36293
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme0c.3 𝑉 = ((𝑃 𝑅) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme0fN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑉𝑃)

Proof of Theorem cdleme0fN
StepHypRef Expression
1 cdleme0c.3 . . 3 𝑉 = ((𝑃 𝑅) 𝑊)
2 simp1l 1260 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 35439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2l 1262 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdleme0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35364 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp3r 1265 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
105, 6atbase 35364 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
12 cdleme0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
135, 12latjcl 17404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
143, 8, 11, 13syl3anc 1496 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1r 1261 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊𝐻)
16 cdleme0.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
175, 16lhpbase 36073 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1815, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19 cdleme0.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 cdleme0.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
215, 19, 20latmle2 17430 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) 𝑊)
223, 14, 18, 21syl3anc 1496 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) 𝑊)
231, 22syl5eqbr 4908 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑉 𝑊)
24 simp2r 1263 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ 𝑃 𝑊)
25 nbrne2 4893 . 2 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑉𝑃)
2623, 24, 25syl2anc 581 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑉𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  joincjn 17297  meetcmee 17298  Latclat 17398  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  LHypclh 36059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-lat 17399  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-lhyp 36063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator