Theorem nbrne2 5105

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5088	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2946	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086

This theorem is referenced by:  frfi  9195  ablsimpgfindlem1  20084  ablsimpgfindlem2  20085  hl2at  39851  2atjm  39891  atbtwn  39892  atbtwnexOLDN  39893  atbtwnex  39894  dalem21  40140  dalem23  40142  dalem27  40145  dalem54  40172  2llnma1b  40232  lhpexle1lem  40453  lhpexle3lem  40457  lhp2at0nle  40481  4atexlemunv  40512  4atexlemnclw  40516  4atexlemcnd  40518  cdlemc5  40641  cdleme0b  40658  cdleme0c  40659  cdleme0fN  40664  cdleme01N  40667  cdleme0ex2N  40670  cdleme3b  40675  cdleme3c  40676  cdleme3g  40680  cdleme3h  40681  cdleme7aa  40688  cdleme7b  40690  cdleme7c  40691  cdleme7d  40692  cdleme7e  40693  cdleme7ga  40694  cdleme11fN  40710  cdlemesner  40742  cdlemednpq  40745  cdleme19a  40749  cdleme19c  40751  cdleme21c  40773  cdleme21ct  40775  cdleme22cN  40788  cdleme22f2  40793  cdleme22g  40794  cdleme41sn3aw  40920  cdlemeg46rgv  40974  cdlemeg46req  40975  cdlemf1  41007  cdlemg27b  41142  cdlemg33b0  41147  cdlemg33c0  41148  cdlemh  41263  cdlemk14  41300  dia2dimlem1  41510