Theorem nbrne2 5120

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2947	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101

This theorem is referenced by:  frfi  9197  ablsimpgfindlem1  20050  ablsimpgfindlem2  20051  hl2at  39781  2atjm  39821  atbtwn  39822  atbtwnexOLDN  39823  atbtwnex  39824  dalem21  40070  dalem23  40072  dalem27  40075  dalem54  40102  2llnma1b  40162  lhpexle1lem  40383  lhpexle3lem  40387  lhp2at0nle  40411  4atexlemunv  40442  4atexlemnclw  40446  4atexlemcnd  40448  cdlemc5  40571  cdleme0b  40588  cdleme0c  40589  cdleme0fN  40594  cdleme01N  40597  cdleme0ex2N  40600  cdleme3b  40605  cdleme3c  40606  cdleme3g  40610  cdleme3h  40611  cdleme7aa  40618  cdleme7b  40620  cdleme7c  40621  cdleme7d  40622  cdleme7e  40623  cdleme7ga  40624  cdleme11fN  40640  cdlemesner  40672  cdlemednpq  40675  cdleme19a  40679  cdleme19c  40681  cdleme21c  40703  cdleme21ct  40705  cdleme22cN  40718  cdleme22f2  40723  cdleme22g  40724  cdleme41sn3aw  40850  cdlemeg46rgv  40904  cdlemeg46req  40905  cdlemf1  40937  cdlemg27b  41072  cdlemg33b0  41077  cdlemg33c0  41078  cdlemh  41193  cdlemk14  41230  dia2dimlem1  41440