Theorem nbrne2 5112

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2939	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093

This theorem is referenced by:  frfi  9174  ablsimpgfindlem1  19988  ablsimpgfindlem2  19989  hl2at  39394  2atjm  39434  atbtwn  39435  atbtwnexOLDN  39436  atbtwnex  39437  dalem21  39683  dalem23  39685  dalem27  39688  dalem54  39715  2llnma1b  39775  lhpexle1lem  39996  lhpexle3lem  40000  lhp2at0nle  40024  4atexlemunv  40055  4atexlemnclw  40059  4atexlemcnd  40061  cdlemc5  40184  cdleme0b  40201  cdleme0c  40202  cdleme0fN  40207  cdleme01N  40210  cdleme0ex2N  40213  cdleme3b  40218  cdleme3c  40219  cdleme3g  40223  cdleme3h  40224  cdleme7aa  40231  cdleme7b  40233  cdleme7c  40234  cdleme7d  40235  cdleme7e  40236  cdleme7ga  40237  cdleme11fN  40253  cdlemesner  40285  cdlemednpq  40288  cdleme19a  40292  cdleme19c  40294  cdleme21c  40316  cdleme21ct  40318  cdleme22cN  40331  cdleme22f2  40336  cdleme22g  40337  cdleme41sn3aw  40463  cdlemeg46rgv  40517  cdlemeg46req  40518  cdlemf1  40550  cdlemg27b  40685  cdlemg33b0  40690  cdlemg33c0  40691  cdlemh  40806  cdlemk14  40843  dia2dimlem1  41053