Theorem nbrne2 5106

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2947	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087

This theorem is referenced by:  frfi  9189  ablsimpgfindlem1  20078  ablsimpgfindlem2  20079  hl2at  39868  2atjm  39908  atbtwn  39909  atbtwnexOLDN  39910  atbtwnex  39911  dalem21  40157  dalem23  40159  dalem27  40162  dalem54  40189  2llnma1b  40249  lhpexle1lem  40470  lhpexle3lem  40474  lhp2at0nle  40498  4atexlemunv  40529  4atexlemnclw  40533  4atexlemcnd  40535  cdlemc5  40658  cdleme0b  40675  cdleme0c  40676  cdleme0fN  40681  cdleme01N  40684  cdleme0ex2N  40687  cdleme3b  40692  cdleme3c  40693  cdleme3g  40697  cdleme3h  40698  cdleme7aa  40705  cdleme7b  40707  cdleme7c  40708  cdleme7d  40709  cdleme7e  40710  cdleme7ga  40711  cdleme11fN  40727  cdlemesner  40759  cdlemednpq  40762  cdleme19a  40766  cdleme19c  40768  cdleme21c  40790  cdleme21ct  40792  cdleme22cN  40805  cdleme22f2  40810  cdleme22g  40811  cdleme41sn3aw  40937  cdlemeg46rgv  40991  cdlemeg46req  40992  cdlemf1  41024  cdlemg27b  41159  cdlemg33b0  41164  cdlemg33c0  41165  cdlemh  41280  cdlemk14  41317  dia2dimlem1  41527