Theorem nbrne2 5135

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5116	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 252	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2978	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 411	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114

This theorem is referenced by:  frfi  9245  ablsimpgfindlem1  20179  ablsimpgfindlem2  20180  hl2at  40069  2atjm  40109  atbtwn  40110  atbtwnexOLDN  40111  atbtwnex  40112  dalem21  40358  dalem23  40360  dalem27  40363  dalem54  40390  2llnma1b  40450  lhpexle1lem  40671  lhpexle3lem  40675  lhp2at0nle  40699  4atexlemunv  40730  4atexlemnclw  40734  4atexlemcnd  40736  cdlemc5  40859  cdleme0b  40876  cdleme0c  40877  cdleme0fN  40882  cdleme01N  40885  cdleme0ex2N  40888  cdleme3b  40893  cdleme3c  40894  cdleme3g  40898  cdleme3h  40899  cdleme7aa  40906  cdleme7b  40908  cdleme7c  40909  cdleme7d  40910  cdleme7e  40911  cdleme7ga  40912  cdleme11fN  40928  cdlemesner  40960  cdlemednpq  40963  cdleme19a  40967  cdleme19c  40969  cdleme21c  40991  cdleme21ct  40993  cdleme22cN  41006  cdleme22f2  41011  cdleme22g  41012  cdleme41sn3aw  41138  cdlemeg46rgv  41192  cdlemeg46req  41193  cdlemf1  41225  cdlemg27b  41360  cdlemg33b0  41365  cdlemg33c0  41366  cdlemh  41481  cdlemk14  41518  dia2dimlem1  41728