Theorem nbrne2 4949

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4932	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 241	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2981	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 398	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ≠ wne 2967   class class class wbr 4929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2750

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-rab 3097  df-v 3417  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-br 4930

This theorem is referenced by:  frfi  8558  hl2at  35992  2atjm  36032  atbtwn  36033  atbtwnexOLDN  36034  atbtwnex  36035  dalem21  36281  dalem23  36283  dalem27  36286  dalem54  36313  2llnma1b  36373  lhpexle1lem  36594  lhpexle3lem  36598  lhp2at0nle  36622  4atexlemunv  36653  4atexlemnclw  36657  4atexlemcnd  36659  cdlemc5  36782  cdleme0b  36799  cdleme0c  36800  cdleme0fN  36805  cdleme01N  36808  cdleme0ex2N  36811  cdleme3b  36816  cdleme3c  36817  cdleme3g  36821  cdleme3h  36822  cdleme7aa  36829  cdleme7b  36831  cdleme7c  36832  cdleme7d  36833  cdleme7e  36834  cdleme7ga  36835  cdleme11fN  36851  cdlemesner  36883  cdlemednpq  36886  cdleme19a  36890  cdleme19c  36892  cdleme21c  36914  cdleme21ct  36916  cdleme22cN  36929  cdleme22f2  36934  cdleme22g  36935  cdleme41sn3aw  37061  cdlemeg46rgv  37115  cdlemeg46req  37116  cdlemf1  37148  cdlemg27b  37283  cdlemg33b0  37288  cdlemg33c0  37289  cdlemh  37404  cdlemk14  37441  dia2dimlem1  37651  ablsimpgfindlem1  40049  ablsimpgfindlem2  40050