Theorem nbrne2 5186

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2960	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167

This theorem is referenced by:  frfi  9349  ablsimpgfindlem1  20151  ablsimpgfindlem2  20152  hl2at  39362  2atjm  39402  atbtwn  39403  atbtwnexOLDN  39404  atbtwnex  39405  dalem21  39651  dalem23  39653  dalem27  39656  dalem54  39683  2llnma1b  39743  lhpexle1lem  39964  lhpexle3lem  39968  lhp2at0nle  39992  4atexlemunv  40023  4atexlemnclw  40027  4atexlemcnd  40029  cdlemc5  40152  cdleme0b  40169  cdleme0c  40170  cdleme0fN  40175  cdleme01N  40178  cdleme0ex2N  40181  cdleme3b  40186  cdleme3c  40187  cdleme3g  40191  cdleme3h  40192  cdleme7aa  40199  cdleme7b  40201  cdleme7c  40202  cdleme7d  40203  cdleme7e  40204  cdleme7ga  40205  cdleme11fN  40221  cdlemesner  40253  cdlemednpq  40256  cdleme19a  40260  cdleme19c  40262  cdleme21c  40284  cdleme21ct  40286  cdleme22cN  40299  cdleme22f2  40304  cdleme22g  40305  cdleme41sn3aw  40431  cdlemeg46rgv  40485  cdlemeg46req  40486  cdlemf1  40518  cdlemg27b  40653  cdlemg33b0  40658  cdlemg33c0  40659  cdlemh  40774  cdlemk14  40811  dia2dimlem1  41021