Theorem nbrne2 5109

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5092	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2942	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090

This theorem is referenced by:  frfi  9169  ablsimpgfindlem1  20021  ablsimpgfindlem2  20022  hl2at  39514  2atjm  39554  atbtwn  39555  atbtwnexOLDN  39556  atbtwnex  39557  dalem21  39803  dalem23  39805  dalem27  39808  dalem54  39835  2llnma1b  39895  lhpexle1lem  40116  lhpexle3lem  40120  lhp2at0nle  40144  4atexlemunv  40175  4atexlemnclw  40179  4atexlemcnd  40181  cdlemc5  40304  cdleme0b  40321  cdleme0c  40322  cdleme0fN  40327  cdleme01N  40330  cdleme0ex2N  40333  cdleme3b  40338  cdleme3c  40339  cdleme3g  40343  cdleme3h  40344  cdleme7aa  40351  cdleme7b  40353  cdleme7c  40354  cdleme7d  40355  cdleme7e  40356  cdleme7ga  40357  cdleme11fN  40373  cdlemesner  40405  cdlemednpq  40408  cdleme19a  40412  cdleme19c  40414  cdleme21c  40436  cdleme21ct  40438  cdleme22cN  40451  cdleme22f2  40456  cdleme22g  40457  cdleme41sn3aw  40583  cdlemeg46rgv  40637  cdlemeg46req  40638  cdlemf1  40670  cdlemg27b  40805  cdlemg33b0  40810  cdlemg33c0  40811  cdlemh  40926  cdlemk14  40963  dia2dimlem1  41173