Theorem nbrne2 5168

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2952	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 406	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149

This theorem is referenced by:  frfi  9319  ablsimpgfindlem1  20142  ablsimpgfindlem2  20143  hl2at  39388  2atjm  39428  atbtwn  39429  atbtwnexOLDN  39430  atbtwnex  39431  dalem21  39677  dalem23  39679  dalem27  39682  dalem54  39709  2llnma1b  39769  lhpexle1lem  39990  lhpexle3lem  39994  lhp2at0nle  40018  4atexlemunv  40049  4atexlemnclw  40053  4atexlemcnd  40055  cdlemc5  40178  cdleme0b  40195  cdleme0c  40196  cdleme0fN  40201  cdleme01N  40204  cdleme0ex2N  40207  cdleme3b  40212  cdleme3c  40213  cdleme3g  40217  cdleme3h  40218  cdleme7aa  40225  cdleme7b  40227  cdleme7c  40228  cdleme7d  40229  cdleme7e  40230  cdleme7ga  40231  cdleme11fN  40247  cdlemesner  40279  cdlemednpq  40282  cdleme19a  40286  cdleme19c  40288  cdleme21c  40310  cdleme21ct  40312  cdleme22cN  40325  cdleme22f2  40330  cdleme22g  40331  cdleme41sn3aw  40457  cdlemeg46rgv  40511  cdlemeg46req  40512  cdlemf1  40544  cdlemg27b  40679  cdlemg33b0  40684  cdlemg33c0  40685  cdlemh  40800  cdlemk14  40837  dia2dimlem1  41047