Theorem nbrne2 5125

Description: Two classes are different if they don't have the same relationship to a third class. (Contributed by NM, 3-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nbrne2	⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem nbrne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
2	1	biimpcd 252	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵𝑅𝐶))
3	2	necon3bd 2969	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐵))
4	3	imp 412	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104

This theorem is used by:  frfi  9258  ablsimpgfindlem1  20239  ablsimpgfindlem2  20240  hl2at  40281  2atjm  40321  atbtwn  40322  atbtwnexOLDN  40323  atbtwnex  40324  dalem21  40570  dalem23  40572  dalem27  40575  dalem54  40602  2llnma1b  40662  lhpexle1lem  40883  lhpexle3lem  40887  lhp2at0nle  40911  4atexlemunv  40942  4atexlemnclw  40946  4atexlemcnd  40948  cdlemc5  41071  cdleme0b  41088  cdleme0c  41089  cdleme0fN  41094  cdleme01N  41097  cdleme0ex2N  41100  cdleme3b  41105  cdleme3c  41106  cdleme3g  41110  cdleme3h  41111  cdleme7aa  41118  cdleme7b  41120  cdleme7c  41121  cdleme7d  41122  cdleme7e  41123  cdleme7ga  41124  cdleme11fN  41140  cdlemesner  41172  cdlemednpq  41175  cdleme19a  41179  cdleme19c  41181  cdleme21c  41203  cdleme21ct  41205  cdleme22cN  41218  cdleme22f2  41223  cdleme22g  41224  cdleme41sn3aw  41350  cdlemeg46rgv  41404  cdlemeg46req  41405  cdlemf1  41437  cdlemg27b  41572  cdlemg33b0  41577  cdlemg33c0  41578  cdlemh  41693  cdlemk14  41730  dia2dimlem1  41940