Theorem chpval 27431

Description: Value of the second Chebyshev function, or summary von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem chpval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
2	1	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3	2	sumeq1d 15847	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Λ‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
4		df-chp 27408	. 2 ⊢ ψ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Λ‘𝑛))
5		sumex 15835	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6985	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182  ...cfz 13620  ⌊cfl 13910  Σcsu 15833  Λcvma 27401  ψcchp 27402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-iota 6487  df-fun 6533  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-seq 14125  df-sum 15834  df-chp 27408

This theorem is used by:  efchpcl  27434  chpfl  27459  chpp1  27464  chpwordi  27466  chp1  27476  chtlepsi  27515  chpval2  27527  vmadivsum  27791  selberg  27857  selberg3lem1  27866  selberg4  27870  pntsval2  27885  chpvalz  35240