Theorem chpval 27100

Description: Value of the second Chebyshev function, or summary von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem chpval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
2	1	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3	2	sumeq1d 15635	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Λ‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
4		df-chp 27077	. 2 ⊢ ψ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Λ‘𝑛))
5		sumex 15623	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  Σcsu 15621  Λcvma 27070  ψcchp 27071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-iota 6456  df-fun 6502  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seq 13937  df-sum 15622  df-chp 27077

This theorem is referenced by:  efchpcl  27103  chpfl  27128  chpp1  27133  chpwordi  27135  chp1  27145  chtlepsi  27185  chpval2  27197  vmadivsum  27461  selberg  27527  selberg3lem1  27536  selberg4  27540  pntsval2  27555  chpvalz  34805