Theorem chpval2 27527

Description: Express the second Chebyshev function directly as a sum over the primes less than 𝐴 (instead of indirectly through the von Mangoldt function). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chpval2

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpval 27431	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
2		fveq2 6877	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		elfznn 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		vmacl 27427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
9		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
10	2, 3, 8, 9	fsumvma2 27523	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
12	11	elin2d 4151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
13		elfznn 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14		vmappw 27425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
16	15	sumeq2dv 15849	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝))
17		fzfid 14096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin)
18		prmuz2 16851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzelre 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
20		eluz2gt1 13028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑝)
21	19, 20	rplogcld 26939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
22	12, 18, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 13147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
24		fsumconst 15936	. . . . . 6 ⊢ (((1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
26		ppisval 27413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
27		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
28	26, 27	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)))
29	28	sselda 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
30		elfzuz2 13642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
34		2re 12398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℝ)
36		2pos 12428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 2)
38		eluzle 12959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (⌊‘𝐴))
39		2z 12709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		flge 13925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
41	39, 40	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
42	38, 41	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴))
43	42	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ≤ 𝐴)
44	33, 35, 32, 37, 43	ltletrd 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
45	32, 44	elrpd 13142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	31, 45	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 26933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47, 22	rerpdivcld 13176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
49		1red 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
50		1lt2 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 2)
52	49, 35, 32, 51, 43	ltletrd 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐴)
53	31, 52	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 1 < 𝐴)
54		rplogcl 26914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
55	53, 54	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
56	55, 22	rpdivcld 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ+)
57	56	rpge0d 13149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
58		flge0nn0 13940	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
59	48, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
60		hashfz1 14470	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
61	59, 60	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
62	61	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)) = ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)))
63	59	nn0cnd 12650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℂ)
64	63, 23	mulcomd 11311	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
65	25, 62, 64	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
66	16, 65	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
67	66	sumeq2dv 15849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
68	1, 10, 67	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ℝ⁺crp 13101  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  ⌊cfl 13910  ↑cexp 14184  ♯chash 14454  Σcsu 15833  ℙcprime 16826  logclog 26864  Λcvma 27401  ψcchp 27402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-pc 16995  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-vma 27407  df-chp 27408

This theorem is used by:  chpchtsum  27528  chpub  27529