MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpval2 26721
Description: Express the second Chebyshev function directly as a sum over the primes less than ๐ด (instead of indirectly through the von Mangoldt function). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpval2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘

Proof of Theorem chpval2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpval 26626 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(ฮ›โ€˜๐‘›))
2 fveq2 6892 . . 3 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
3 id 22 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6 vmacl 26622 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
75, 6syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
87recnd 11242 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9 simprr 772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)
102, 3, 8, 9fsumvma2 26717 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(ฮ›โ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™))
1211elin2d 4200 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
13 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
14 vmappw 26620 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
1512, 13, 14syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
1615sumeq2dv 15649 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(logโ€˜๐‘))
17 fzfid 13938 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โˆˆ Fin)
18 prmuz2 16633 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19 eluzelre 12833 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 eluz2gt1 12904 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
2119, 20rplogcld 26137 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
2212, 18, 213syl 18 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
2322rpcnd 13018 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
24 fsumconst 15736 . . . . . 6 (((1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โˆˆ Fin โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) ยท (logโ€˜๐‘)))
2517, 23, 24syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) ยท (logโ€˜๐‘)))
26 ppisval 26608 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) = ((2...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฉ โ„™))
27 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฉ โ„™) โŠ† (2...(โŒŠโ€˜๐ด))
2826, 27eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (2...(โŒŠโ€˜๐ด)))
2928sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜๐ด)))
30 elfzuz2 13506 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
32 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
33 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
34 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
36 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < 2)
38 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
39 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„ค
40 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โ‰ค ๐ด โ†” 2 โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
4139, 40mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 โ‰ค ๐ด โ†” 2 โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
4238, 41imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด))
4342imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
4433, 35, 32, 37, 43ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < ๐ด)
4532, 44elrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4631, 45syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4746relogcld 26131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4847, 22rerpdivcld 13047 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
49 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
50 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < 2)
5249, 35, 32, 51, 43ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐ด)
5331, 52syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 1 < ๐ด)
54 rplogcl 26112 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
5553, 54syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
5655, 22rpdivcld 13033 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
5756rpge0d 13020 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))
58 flge0nn0 13785 . . . . . . . 8 ((((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„•0)
5948, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„•0)
60 hashfz1 14306 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) = (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) = (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
6261oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) ยท (logโ€˜๐‘)))
6359nn0cnd 12534 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„‚)
6463, 23mulcomd 11235 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6525, 62, 643eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(logโ€˜๐‘) = ((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6616, 65eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6766sumeq2dv 15649 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
681, 10, 673eqtrd 2777 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) ยท (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3948   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632  โ„™cprime 16608  logclog 26063  ฮ›cvma 26596  ฯˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602  df-chp 26603
This theorem is referenced by:  chpchtsum  26722  chpub  26723
  Copyright terms: Public domain W3C validator