Theorem chpval2 27397

Description: Express the second Chebyshev function directly as a sum over the primes less than 𝐴 (instead of indirectly through the von Mangoldt function). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chpval2

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpval 27301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
2		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		elfznn 13592	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		vmacl 27297	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
9		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
10	2, 3, 8, 9	fsumvma2 27393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
12	11	elin2d 4161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
13		elfznn 13592	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14		vmappw 27295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
16	15	sumeq2dv 15764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝))
17		fzfid 14020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin)
18		prmuz2 16764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzelre 12883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
20		eluz2gt1 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑝)
21	19, 20	rplogcld 26809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
22	12, 18, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
24		fsumconst 15852	. . . . . 6 ⊢ (((1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
26		ppisval 27283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
27		inss1 4192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
28	26, 27	eqsstrdi 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)))
29	28	sselda 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
30		elfzuz2 13567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 11221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
34		2re 12325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℝ)
36		2pos 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 2)
38		eluzle 12885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (⌊‘𝐴))
39		2z 12636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		flge 13849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
41	39, 40	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
42	38, 41	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴))
43	42	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ≤ 𝐴)
44	33, 35, 32, 37, 43	ltletrd 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
45	32, 44	elrpd 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	31, 45	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 26803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47, 22	rerpdivcld 13101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
49		1red 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
50		1lt2 12423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 2)
52	49, 35, 32, 51, 43	ltletrd 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐴)
53	31, 52	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 1 < 𝐴)
54		rplogcl 26784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
55	53, 54	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
56	55, 22	rpdivcld 13087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ+)
57	56	rpge0d 13074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
58		flge0nn0 13864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
59	48, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
60		hashfz1 14393	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
61	59, 60	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
62	61	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)) = ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)))
63	59	nn0cnd 12577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℂ)
64	63, 23	mulcomd 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
65	25, 62, 64	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
66	16, 65	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
67	66	sumeq2dv 15764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
68	1, 10, 67	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11253   ≤ cle 11254   / cdiv 11881  ℕcn 12243  2c2 12305  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12872  ℝ⁺crp 13026  [,]cicc 13385  ...cfz 13545  ⌊cfl 13834  ↑cexp 14108  ♯chash 14377  Σcsu 15748  ℙcprime 16739  logclog 26734  Λcvma 27271  ψcchp 27272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ioo 13386  df-ioc 13387  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-bc 14350  df-hash 14378  df-shft 15115  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-limsup 15533  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-ef 16131  df-sin 16133  df-cos 16134  df-pi 16136  df-dvds 16321  df-gcd 16563  df-prm 16740  df-pc 16907  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-mulg 19144  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-fbas 21534  df-fg 21535  df-cnfld 21538  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cld 23191  df-ntr 23192  df-cls 23193  df-nei 23270  df-lp 23308  df-perf 23309  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-haus 23487  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-fil 24018  df-fm 24110  df-flim 24111  df-flf 24112  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-cncf 25052  df-limc 26040  df-dv 26041  df-log 26736  df-vma 27277  df-chp 27278

This theorem is used by:  chpchtsum  27398  chpub  27399