Theorem chpval2 27157

Description: Express the second Chebyshev function directly as a sum over the primes less than 𝐴 (instead of indirectly through the von Mangoldt function). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chpval2

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpval 27060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
2		fveq2 6828	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		elfznn 13455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		vmacl 27056	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
9		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
10	2, 3, 8, 9	fsumvma2 27153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
12	11	elin2d 4154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
13		elfznn 13455	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14		vmappw 27054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
16	15	sumeq2dv 15611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝))
17		fzfid 13882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin)
18		prmuz2 16609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzelre 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
20		eluz2gt1 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑝)
21	19, 20	rplogcld 26566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
22	12, 18, 21	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 12938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
24		fsumconst 15699	. . . . . 6 ⊢ (((1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
25	17, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)))
26		ppisval 27042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
27		inss1 4186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
28	26, 27	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)))
29	28	sselda 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
30		elfzuz2 13431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
34		2re 12206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ ℝ)
36		2pos 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 2)
38		eluzle 12751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (⌊‘𝐴))
39		2z 12510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		flge 13711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
41	39, 40	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝐴)))
42	38, 41	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ≤ 𝐴)
44	33, 35, 32, 37, 43	ltletrd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
45	32, 44	elrpd 12933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	31, 45	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 26560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47, 22	rerpdivcld 12967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
49		1red 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
50		1lt2 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 2)
52	49, 35, 32, 51, 43	ltletrd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐴)
53	31, 52	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 1 < 𝐴)
54		rplogcl 26541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
55	53, 54	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
56	55, 22	rpdivcld 12953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ+)
57	56	rpge0d 12940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))
58		flge0nn0 13726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
59	48, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0)
60		hashfz1 14255	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) = (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
62	61	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) · (log‘𝑝)) = ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)))
63	59	nn0cnd 12451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℂ)
64	63, 23	mulcomd 11140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) · (log‘𝑝)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
65	25, 62, 64	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(log‘𝑝) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
66	16, 65	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
67	66	sumeq2dv 15611	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
68	1, 10, 67	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)((log‘𝑝) · (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12892  [,]cicc 13250  ...cfz 13409  ⌊cfl 13696  ↑cexp 13970  ♯chash 14239  Σcsu 15595  ℙcprime 16584  logclog 26491  Λcvma 27030  ψcchp 27031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-pc 16751  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-vma 27036  df-chp 27037

This theorem is referenced by:  chpchtsum  27158  chpub  27159