Theorem chtlepsi 26946

Description: The first Chebyshev function is less than the second. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chtlepsi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐴))

Proof of Theorem chtlepsi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2		elfznn 13535	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4		vmacl 26859	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6		vmage0 26862	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
8		ppisval 26845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
9		inss1 4228	. . . . 5 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
10		2eluzge1 12883	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
11		fzss1 13545	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
13	9, 12	sstrid 3993	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
14	8, 13	eqsstrd 4020	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15	1, 5, 7, 14	fsumless 15747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(Λ‘𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
16		chtval 26851	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
18	17	elin2d 4199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℙ)
19		vmaprm 26858	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → (Λ‘𝑛) = (log‘𝑛))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑛) = (log‘𝑛))
21	20	sumeq2dv 15654	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(Λ‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
22	16, 21	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(Λ‘𝑛))
23		chpval 26863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
24	15, 22, 23	3brtr4d 5180	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ≤ cle 11254  ℕcn 12217  2c2 12272  ℤ_≥cuz 12827  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  ⌊cfl 13760  Σcsu 15637  ℙcprime 16613  logclog 26300  θccht 26832  Λcvma 26833  ψcchp 26834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840

This theorem is referenced by:  chprpcl  26947  chteq0  26949  chpchtlim  27219