Theorem chp1 27362

Description: The second Chebyshev function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chp1	⊢ (ψ‘1) = 0

Proof of Theorem chp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11219	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		chpval 27317	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (ψ‘1) = Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))(Λ‘𝑥))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ψ‘1) = Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))(Λ‘𝑥)
4		elfz1eq 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → 𝑥 = 1)
5	4	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (Λ‘𝑥) = (Λ‘1))
6		vma1 27361	. . . . 5 ⊢ (Λ‘1) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (Λ‘𝑥) = 0)
8		1z 12635	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		flid 13855	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⌊‘1) = 1
11	10	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (1...(⌊‘1)) = (1...1)
12	7, 11	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘1)) → (Λ‘𝑥) = 0)
13	12	sumeq2i 15769	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))(Λ‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))0
14		fzfi 14022	. . . 4 ⊢ (1...(⌊‘1)) ∈ Fin
15	14	olci 880	. . 3 ⊢ ((1...(⌊‘1)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘1)) ∈ Fin)
16		sumz 15792	. . 3 ⊢ (((1...(⌊‘1)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘1)) ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))0 = 0)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘1))0 = 0
18	3, 13, 17	3eqtri 2792	1 ⊢ (ψ‘1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13547  ⌊cfl 13837  Σcsu 15757  Λcvma 27287  ψcchp 27288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-log 26752  df-vma 27293  df-chp 27294

This theorem is used by:  chpeq0  27403