Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpwordi 25751
 Description: The second Chebyshev function is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpwordi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (ψ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐵))

Proof of Theorem chpwordi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13347 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (1...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin)
2 elfznn 12942 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵)) → 𝑛 ∈ ℕ)
32adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 vmacl 25712 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6 vmage0 25715 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
8 flword2 13189 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (⌊‘𝐵) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝐴)))
9 fzss2 12953 . . . 4 ((⌊‘𝐵) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝐴)) → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐵)))
111, 5, 7, 10fsumless 15153 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))(Λ‘𝑛))
12 chpval 25716 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
13123ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (ψ‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(Λ‘𝑛))
14 chpval 25716 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (ψ‘𝐵) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))(Λ‘𝑛))
15143ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (ψ‘𝐵) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐵))(Λ‘𝑛))
1611, 13, 153brtr4d 5085 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (ψ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   ≤ cle 10676  ℕcn 11636  ℤ≥cuz 12242  ...cfz 12896  ⌊cfl 13166  Σcsu 15044  Λcvma 25686  ψcchp 25687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-fac 13641  df-bc 13670  df-hash 13698  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-dvds 15610  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-lp 21750  df-perf 21751  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-haus 21929  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cncf 23492  df-limc 24478  df-dv 24479  df-log 25157  df-vma 25692  df-chp 25693 This theorem is referenced by:  chpeq0  25801  chpo1ubb  26074  selbergb  26142  selberg2b  26145  chpdifbndlem1  26146  selberg3lem2  26151  pntrmax  26157  pntrlog2bndlem2  26171  pntrlog2bnd  26177  pntibndlem2  26184
 Copyright terms: Public domain W3C validator